Centres étrangers juin 2004

Classes de Terminales 9 et 10 Jeudi 1er octobre 2009
Devoir de spé maths n°1
Exercice 1 : vrai ou faux (on justifiera sa réponse, 8 points)
Dans tout l’exercice,  et  désignent des entiers relatifs,  un entier naturel
1. Si 8 divise , alors 4 divise a.
2. Si 6 divise , alors 6 divise  ou .
3.  et  ont le même nombre de diviseurs.
4. Si  et  ont le même reste dans la division par , alors  divise   
Exercice 2 : d’après Liban juin 1999, 4 points
Le nombre n est un entier relatif. On pose : a = 4n +3, b = 5n +2, d est un diviseur commun à a et b.
1. Calculer 5a −4b et en déduire les valeurs possibles de d.
2. Trouver une valeur de  telle que 7 ne divise ni  ni .
3. Montrer que si le reste de la division euclidienne de  par 7 est 1, alors 7 divise et .
Exercice 3 : d’après Centres étrangers, juin 2004, 8 points
On se propose dans cet exercice d’étudier le problème suivant :
« Les nombres dont l’écriture décimale n’utilise que le seul chiffre 1 peuvent-ils être premiers ? »
Pour tout entier naturel   , on pose     où le chiffre 1 apparaît p fois.
On rappelle dès lors que    .
On pourra utiliser, dans tout l’exercice, l’identité valable pour tout réel  et tout entier  :
1. Les nombres , ,  sont-ils premiers ?
2. Prouver que 
 . Peut-on être certain que   est divisible par 9 ?
3. On se propose de démontrer que si p n’est pas premier, alors Np n’est pas premier.
a. On suppose que p est pair et on pose p = 2q, où q est un entier naturel plus grand que 1.
Montrer que          . En déduire que  est
divisible par .
Les questions suivantes sont hors barème.
b. On suppose que p est multiple de 3 et on pose p = 3q, où q est un entier naturel plus grand
que 1. Montrer que  est divisible par .
c. On suppose p non premier et on pose    où k et q sont des entiers naturels plus grands
que 1. En déduire que  est divisible par  .
4. Énoncer une condition nécessaire pour que Np soit premier. Cette condition est-elle
suffisante ?