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www.maths-es.fr-math´ematiques en Terminale ES –aide m´emoire chapitre 8 : loi `a densit´e
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TES-aide m´emoire Chapitre 8: Loi `a densit´e
1 Loi `a densit´e sur un intervalle
D´efinition : Loi de probabilit´e `a densit´e sur un intervalle
Soit Xune variable al´eatoire `a valeurs dans un intervalle I.
On dit que Xsuit la loi `a densit´e de fsur Isi :
•fest continue et positive sur I.
•Rb
af(x)dx = 1 avec I= [a;b]
•Pour tous r´eels αet βde I(α < β), on a p(α < X < β) = Rβ
αf(x)dx
La fonction fest appel´ee densit´e de probabilit´e de la variable al´eatoire X
M´ethode :
Pour justifier qu’une fonction fcorrespond bien `a une loi `a densit´e sur un intervalle [a;b], il faut donc
v´erifier que :
1. fcontinue sur [a;b].
2. f(x)≥0 pour tout r´eel xde [a;b]
3. R1
0f(x)dx = 1
Propri´et´es
Xest une variable al´eatoire suivant une loi `a densit´e fsur I.
•p(X=a)=0
•p(X≤a) = p(X < a)
•p(X≥a)=1−p(X < a)
•p(a≤X≤b) = p(x≤b)−p(x<a)
D´efinition :esp´erance math´ematique
Soit Xune variable al´eatoire de fonction de densit´e fsur un intervalle I= [a;b] (a<b), l’esp´erance
math´ematique de Xest E(X) = Rb
axf(x)dx
2 Loi uniforme
D´efinition : Loi uniforme
La loi uniforme sur [a;b] est la loi ayant pour densit´e la fonction constante fd´efinie par f(x) = 1
b−a
Propri´et´es
Soit Xsuivant la loi uniforme fsur I= [a;b], on a :
p(X≤α) = α−a
b−aet E(x) = a+b 2
3 Loi normale centr´ee r´eduite
D´efinition : Loi normale centr´ee r´eduite
Un variable al´eatoire Xsuit la loi normale centr´ee r´eduite, not´ee N(0; 1) si sa densit´e de probabilit´e
est la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = 1
√2πe−x2
2
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TES-aide m´emoire Chapitre 8: Loi `a densit´e
Repr´esentation graphique de f:
4 Loi normale N(µ;σ2)
D´efinition : Loi normale
Dire qu’une variable al´eatoire Xsuit une loi normale de param`etres µet σ2not´ee N(µ;σ2) signifie
que la variable al´eatoire T=X−µ
σsuit la loi normale centr´ee r´eduite N(0; 1)
Propri´et´e : param`etres de N(µ;σ2)(admise)
Si une variable al´eatoire suit une loi N(µ;σ2) alors son esp´erance est µet son ´ecart type est σ
Propri´et´e : valeur ”remarquable”
Si Xsuit une loi normale de param`etres µet σ, on a p(µ−2σ≤X≤µ+ 2σ)≈0,95
Graphiquement, on a :
Calculatrice (voir fiche m´ethode calculatrice et loi normale) :
•CASIO :
MENU STAT puis DIST
puis BINM pour la loi binomiale : Npd pour calculer p(X=k) et Bcd pour calculer p(X≤k)
et NORM pour la loi normale avec Npd pour calculer f(x) (loi de densit´e de X), Ncd pour calculer
p(a≤X≤b) et InvN pour d´eterminer ktel que p(X≤k) = pou p(X≥k) = p(pdonn´e)
•TEXAS :
Menu DISTR puis Binompdf pour calculer p(X=k) et Binomcdf pour calculer p(X≤k)
Syntaxe Binomcdf(n,p,k)
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et Normalcdf pour la loi normale pour calculer p(a≤X≤b) et InvNorm pour d´eterminer ktel que
p(X≤k) = pou p(X≥k) = p(pdonn´e)
Syntaxe Normalcdf(a,b,µ, σ)
4.1 Intervalle de fluctuation
Propri´et´e : Intervalle de fluctuation
Soit Xune variable al´eatoire suivant la loi binomiale B(n;p) (p∈]0; 1[)
L’intervalle IF="p−1,96pp(1 −p)
√n;p+ 1,96pp(1 −p) √n#est l’intervalle de fluctuation asympto-
tique au seuil de 95% de la variable al´eatoire F=X
n
On consid`ere que l’approximation effectu´ee avec l’intervalle Iest valable si :
–n≥30
–np ≥5
–n(1 −p)≥5
On observe la fr´equence fdans un ´echantillon de la population.
On note Il’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.
On ´emet l’hypoth`ese suivante : ”La proportion du caract`ere dans (toute) la population est p”
– Si f∈Ialors on peut consid´erer que l’hypoth`ese formul´ee est vraie au seuil de confiance de 95%
– Si f /∈Ialors on peut consid´erer que l’hypoth`ese formul´ee est fausse avec un risque d’erreur de 5%
5 Estimation d’une proportion `a partir d’un ´echantillon
On ´etudie la proportion fd’un caract`ere dans un ´echantillon et l’estimation consiste `a d´eterminer la
proportion pde ce caract`ere `a partir de cet ´echantillon.
D´efinition : Intervalle de confiance
Si on note donc fla fr´equence observ´ee d’un caract`ere dans un ´echantillon de taille nalors l’intervalle
IE="f−1,96pf(1 −f)
√n;f+ 1,96pf(1 −f) √n#
est l’intervalle de confiance de la proportion de ce caract`ere dans la population totale au niveau de
confiance 95%
Il faut aussi n≥30, nf ≥5 et n(1 −f)≥5
Cela signifie que la proportion pdu caract`ere dans la population totale est dans cet intervalle avec un
probabilit´e sup´erieure ou ´egale `a 0,95.
On peut aussi utiliser IEf−1
√n;f+1 √nqui est une approximation de l’intervalle satisfaisante.
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