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Chapitre 8: Loi à densité
Loi à densité sur un intervalle
Méthode :
Pour justifier qu’une fonction f correspond bien à une loi à densité sur un intervalle [a; b], il faut donc
vérifier que :
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R
F
.
S
E
-
1. f continue sur [a; b].
S
2. f (x) ≥ 0 pour tout réel x de [a; b]
R1
3. 0 f (x)dx = 1
H
AT
.M
Propriétés
X est une variable aléatoire suivant une loi à densité f sur I.
• p(X = a) = 0
• p(X ≤ a) = p(X < a)
• p(X ≥ a) = 1 − p(X < a)
• p(a ≤ X ≤ b) = p(x ≤ b) − p(x < a)
W
W
W
Définition :espérance mathématique
Soit X une variable aléatoire de fonction de densité f sur un intervalle I = [a; b] (a < b), l’espérance
Rb
mathématique de X est E(X) = a xf (x)dx
2
Loi uniforme
R
F
S.
Définition : Loi uniforme
E
S
La loi uniforme sur [a; b] est la loi ayant pour densité la fonction constante f définie par f (x) =
H
1
b−a
AT
Propriétés
Soit X suivant la loi uniforme f sur I = [a; b], on a :
α−a
a+b
p(X ≤ α) =
et E(x) =
b−a
2
.M
3
W
W réduite
Loi normale centrée
W
Définition : Loi normale centrée réduite
Un variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, notée N (0; 1) si sa densité de probabilité
−x2
1
est la fonction f définie sur R par f (x) = √ e 2
2π
Chapitre 8: Loi à densité
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Définition : Loi de probabilité à densité sur un intervalle
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle I.
On dit que X suit la loi à densité de f sur I si :
• fR est continue et positive sur I.
b
• a f (x)dx = 1 avec I = [a; b]
Rβ
• Pour tous réels α et β de I (α < β), on a p(α < X < β) = α f (x)dx
La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X
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Chapitre 8: Loi à densité
Représentation graphique de f :
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S
E
-
2
Loi normale N (µ; σ )
S
H
AT
Définition : Loi normale
Dire qu’une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres µ et σ 2 notée N (µ; σ 2 ) signifie
X −µ
que la variable aléatoire T =
suit la loi normale centrée réduite N (0; 1)
σ
W
W
.M
Propriété : paramètres de N (µ; σ 2 ) (admise)
Si une variable aléatoire suit une loi N (µ; σ 2 ) alors son espérance est µ et son écart type est σ
W
Propriété : valeur ”remarquable”
Si X suit une loi normale de paramètres µ et σ, on a p(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ≈ 0, 95
Graphiquement, on a :
R
F
S.
H
E
S
AT
.M
W
Calculatrice (voir fiche méthode
W calculatrice et loi normale) :
• CASIO :
W
MENU STAT puis DIST
puis BINM pour la loi binomiale : Npd pour calculer p(X = k) et Bcd pour calculer p(X ≤ k)
et NORM pour la loi normale avec Npd pour calculer f (x) (loi de densité de X), Ncd pour calculer
p(a ≤ X ≤ b) et InvN pour déterminer k tel que p(X ≤ k) = p ou p(X ≥ k) = p (p donné)
• TEXAS :
Menu DISTR puis Binompdf pour calculer p(X = k) et Binomcdf pour calculer p(X ≤ k)
Syntaxe Binomcdf(n,p,k)
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R
F
.
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Chapitre 8: Loi à densité
et Normalcdf pour la loi normale pour calculer p(a ≤ X ≤ b) et InvNorm pour déterminer k tel que
p(X ≤ k) = p ou p(X ≥ k) = p (p donné)
Syntaxe Normalcdf(a,b,µ, σ)
Intervalle de fluctuation
Propriété : Intervalle de fluctuation
Soit X une variable
B(n; p)
" aléatoirepsuivant la loi binomiale
# (p ∈]0; 1[)
p
p(1 − p)
p(1 − p)
√
√
L’intervalle IF = p − 1, 96
; p + 1, 96
est l’intervalle de fluctuation asympton
n
X
tique au seuil de 95% de la variable aléatoire F =
n
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R
F
.
S
E
-
On considère que l’approximation effectuée avec l’intervalle I est valable si :
– n ≥ 30
– np ≥ 5
– n(1 − p) ≥ 5
On observe la fréquence f dans un échantillon de la population.
On note I l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.
On émet l’hypothèse suivante : ”La proportion du caractère dans (toute) la population est p”
– Si f ∈ I alors on peut considérer que l’hypothèse formulée est vraie au seuil de confiance de 95%
– Si f ∈
/ I alors on peut considérer que l’hypothèse formulée est fausse avec un risque d’erreur de 5%
S
H
AT
W
5
W
W
.M
Estimation d’une proportion à partir d’un échantillon
On étudie la proportion f d’un caractère dans un échantillon et l’estimation consiste à déterminer la
proportion p de ce caractère à partir de cet échantillon.
Définition : Intervalle de confiance
Si on "
note donc p
f la fréquence observée
dans un échantillon de taille n alors l’intervalle
#
p d’un caractère
f (1 − f )
f (1 − f )
√
√
IE = f − 1, 96
; f + 1, 96
n
n
est l’intervalle de confiance de la proportion de ce caractère dans la population totale au niveau de
confiance 95%
R
F
S.
H
E
S
Il faut aussi n ≥ 30, nf ≥ 5 et n(1 − f ) ≥ 5
Cela signifie que la proportion p du caractère dans la population totale est dans cet intervalle avec un
probabilité supérieure ou égale
à 0,95.
1
1
qui est une approximation de l’intervalle satisfaisante.
On peut aussi utiliser IE f − √ ; f + √
n
n
AT
W
Chapitre 8: Loi à densité
W
W
.M
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