Variables aléatoires à densité : fiche synthèse

PROBABILITES 1
RESUME DU COURS DE MATHEMATIQUES
DENSITE
DEFINITION : On appelle densit´e toute fonction fd´efinie sur Ret `a valeurs dans
Rtelle que :
i) fest continue sur Rsauf ´eventuellement en un nombre fini de points,
ii) fest positive ou nulle sur R,
iii) l’int´egrale Z+∞
−∞
f(x)dx converge et vaut 1.
VARIABLES A DENSITE
DEFINITION : Soit Xune variable al´eatoire de (Ω,T, P )`a valeurs dans R.
Notons Fsa fonction de r´epartition.
On dit que Xest une variable `a densit´e si et seulement s’il existe une fonction densit´e
ftelle que :
∀x∈R, F (x) = P(X≤x) = Zx
−∞
f(t)dt.
THEOREME : Soit (Ω,T, P )un espace probabilis´e et f
une densit´e ; il existe une variable al´eatoire Xde Ωdans
Rqui admet fpour densit´e.
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2 Variables al´eatoires `a densit´e
CARACTERISATION D’UNE FONCTION DE
REPARTITION D’UNE VARIABLE A DENSITE
THEOREME : Soit Fune fonction d´efinie sur R.Fest
la fonction de r´epartition d’une variable `a densit´e si et
seulement si :
(*) 
Fest croissante,
lim
x→−∞ F(x) = 0,
lim
x→+∞F(x) = 1,
(**) 
Fest continue sur R,
de classe C1sauf ´eventuellement en un nombre
fini de points.
Les propri´et´es (*) sont les propri´et´es d’une fonction de r´epartition d’une
variable al´eatoire quelconque, les propri´et´es (**) caract´erisent une vari-
able `a densit´e.
LIEN ENTRE REPARTITION ET DENSITE
Soit Fune fonction v´erifiant (*) et (**). Il existe une variable `a densit´e,
X, admettant Fpour fonction de r´epartition.
Notons fune densit´e de X.
En tout point xo`u Fest d´erivable, fest donn´ee par f(x) = F0(x).
Remarque :s’il existe des points x0en lesquels Fn’est pas d´erivable, on a
toute latitude pour y d´efinir f:f(x0)∈R+.
CALCULS DE PROBABILITES
RESULTAT FONDAMENTAL
Soit Xune variable `a densit´e. Alors ∀x∈R, P (X=x) = 0.
Cons´equences
Soit Xune variable al´eatoire `a densit´e, Fsa fonction de r´epartition et f
une densit´e.
∀(a, b)∈R2/ a < b, les quatre ´ev´enements suivants
(a < X < b),(a≤X < b),(a < X ≤b)et (a≤X≤b)ont la mˆeme probabilit´e.
Cette probabilit´e commune vaut F(b)−F(a) = Zb
a
f(t)dt.
Une variable `a densit´e admet une infinit´e de densit´es. On ne change pas
la loi d’une telle variable en modifiant une de ses densit´es en un nombre
fini de points.
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PROBABILITES 3
LOI UNIFORME SUR UN INTERVALLE
DEFINITION : Soit aet bdeux r´eels tels que a<bet Xune variable al´eatoire
de (Ω,T, P )`a valeurs dans R.
On dit que Xsuit la loi uniforme sur [a, b]si Xadmet pour densit´e fd´efinie par :
f(x) = (0si x6∈ [a, b]
1
b−asi x∈[a, b].
Remarque : on aurait pu d´efinir la loi uniforme sur les intervalles
]a;b],]a;b[,ou [a;b[. Il n’y aurait eu aucune diff´erence majeure car, nous
l’avons vu, pour une variable `a densit´e il n y a pas de diff´erence entre
in´egalit´es larges ou strictes.
Remarque : comme une densit´e de Xest nulle `a l’ext´erieur de [a, b], on
dira que X(Ω) = [a, b].
FONCTION DE REPARTITION
Notons Fla fonction de r´epartition de X.
• ∀x≤a, F (x) = 0,
• ∀x∈[a, b], F (x) = x−a
b−a
• ∀x≥b, F (x) = 1
LOI EXPONENTIELLE SUR R+
DEFINITION : Soit λun r´eel strictement positif et Xune variable al´eatoire
de (Ω,T, P )`a valeurs dans R.
On dit que Xsuit la loi exponentielle de param`etre λsur R+si Xadmet pour densit´e
fd´efinie par :
f(x) = ½0si x < 0
λe−λx si x≥0.
Remarque : on aurait pu prendre f(x) = ½0si x≤0
λe−λx si x > 0.
Nous dirons que X(Ω) = R+.
FONCTION DE REPARTITION
Nous noterons Fla fonction de r´epartition de X.
•Si x≤0, F (x) = 0.
•Si x≥0,F(x) = 1 −e−λx
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