TD 2 : fonctions de répartition de fonctions densité.

TD 2 : fonctions de r´epartition de fonctions densit´e.
Exercice 1.
Pour chacun des fonctions fsuivantes, montrer qu’elle est un densit´e de proba-
bilit´e et calculer la fonction de r´epartition correspondante.
(1) f(x) = 0 si x≤aet f(x) = 3a3
x4si x≥a, ou a0.
(2) f(x) = xe−xsi x≥0, f(x) = 0 si x≤0.
(3) f(x) = e−(x+ex.
(4) f(x) = 0 si x≤0, f(x) = x2n+1e−x2/2
2nn!si x≥0 (Utiliser une r´ecurrence sur n
pour la premi`ere partie).
Exercice 2.
Soient U1, U2,...,Undes variables r´eelles independentes identiquement distribu´ees
de fonction de r´epartition Fet fonction densit´e f. On suppose que Fest d´erivable
en dehors d’un nombre fini de points. Trouver la fonction de r´epartition et la fonc-
tion densit´e de U= max(U1,...,Un).
Exercice 3.
Soit Xune variable r´eelle de fonction de r´epartition F. Trouver les fonctions de
r´epartition des variables r´eelles suivantes:
X3,log X, eX, X2, X2−4X+ 1
En supposant que Fest d´erivable en dehors d’un nombre fini de points, trouver la
fonction densit´e de ces variables al´eatoires.
Exercice 4.
Soit Xune variable al´eatoire r´eelle de fonction de r´epartition F. Donner la fonction
de r´epartition de X′, la troncation de Xdonn´ee par X′=−asi X≤ −a,X′=X
si −a≤X≤aet X′=asi X≥a, ou aest un nombre r´eel positif.
Exercice 5.
Soit Xun variable uniforme sur [1,5]. Donner la fonction de r´epartition et la fonc-
tion densit´e du variable Y=X
5−X.
Exercice 6.
Soit Xune variable al´eatoire r´eelle telle que la fonction de r´eparition de Xest con-
tinue. On suppose que P(X≥t+s|X≥s) = P(X≥t) pour tout t, s ≥0. Montrer
que Xa une distribution exponentielle.
Exercice 7.
Soient X1,...,Xndes variables al´eatoires independentes uniformement distribu´ees
sur [0,1]. Soit (X(1), X(2),...,X(n)) les nombres Xiorganis´e en taille croissante.
Calculer la fonction de r´epartition de X(k)(laissez cette expression en forme d’une
somme). Montrer que pour kfixe la fonction de r´epartition de nX(k)converge quand
n→ ∞.
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