Lois à densité

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I-
Ch.8 Lois à densité
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Objectifs du chapitre
Probabilités, aires et intégrales
Lois uniformes
Lois exponentielles
Lois normales
II-
Pré-requis
Histogrammes et notion de densité
Loi de probabilité d’une variable aléatoire, espérance
Intégration
III1)
Cours
Définitions
Définition 1
On dit qu’une fonction f , définie sur un intervalle I de R, est une densité de probabilité sur I
lorsque :
• f est continue et à valeurs positives sur I
• l’aire sous la courbe de f est égale à 1 u.a.
• I = [a; b]
1
Z
b
f (t)dt = 1
a
a
1
• I = [a; +∞[
Z
1
+∞
f (t)dt = 1
a
a
• I =] − ∞; b]
1
b
1
Z
b
f (t)dt = 1
−∞
b
• I = [−∞; +∞[
1
Z
+∞
f (t)dt = 1
−∞
1
Définition 2
On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur l’intervalle I (ou est ≪ à densité
f sur I ≫) lorsque, pour tout événement J inclus dans I, la probabilité de l’événement (X ∈ J)
est la mesure, en unités d’aire, de l’aire du domaine : {M(x; y); x ∈ J et 0 ≤ y ≤ f (x)}.
Remarques :
• P (X ∈ I) = 1
• La notion de densité est à rapprocher de celle des histogrammes à pas constant. La courbe est
l’”allure limite” d’un histogramme dont le pas tend vers 0. (Activité 2 p 377)
• En général, les probabilités seront calculées à l’aide d’intégrales.
Propriété 3
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur l’intervalle I, on a les propriétés
suivantes :
• Pour tout intervalle J = [c; d] de I, on a :
P (c ≤ X ≤ d) =
Z
d
f (x)dx
c
• Pour tout réel α de I, on a : P (X = α) = 0
• Pour tous réels c et d de I,
P (c ≤ X ≤ d) = P (c < X ≤ d) = P (c ≤ X < d) = P (c < X < d)
• Soit J un intervalle, on a :
Ä
ä
P X ∈ J = 1 − P (X ∈ J)
Exemples :
Exercices 3, 4, 6 p 379
Définition 4 (Probabilités conditionnelles)
Soit I ′ un intervalle de I tel que P (X ∈ I ′ ) 6= 0, et soit J un autre intervalle de I.
On définit la probabilité conditionnelle
P (X ∈ J ∩ I ′ )
P (X ∈ I ′ )
P(X∈I ′ ) (X ∈ J) =
Définition 5 (Espérance)
L’espérance d’une variable aléatoire à densité f sur [a; b] est définie par
E(X) =
Z
b
x f (x)dx
a
Remarque :
On rappelle que l’espérance dans le cas d’une v.a. discrète (nombre fini d’issues) s’écrit
E(X) =
n
X
xk pk
k=1
2)
Lois uniformes
Définition 6
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle [0; 1] si sa densité est la
fonction définie sur [0; 1] par f (x) = 1.
1
1
Propriété 7
Pour tout intervalle [c; d] inclus dans [0; 1], on a :
P (X ∈ [c; d]) = P (c ≤ X ≤ d) = d − c
1
c
d
1
Définition 8
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle [a; b] si sa densité est la
1
fonction définie sur [0; 1] par f (x) =
.
b−a
1
0,25
1
a = −1
b=3
Loi uniforme sur [−1; 3]
Propriété 9
Pour tout intervalle [c; d] inclus dans [a; b], on a :
P (X ∈ [c; d]) = P (c ≤ X ≤ d) =
d−c
b−a
Propriété 10
L’espérance E(X) d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur [a; b] est telle que :
E(X) =
a+b
2
Exemples :
Exercices 33, 34, 40, 45 p 386, 81 p 395
3)
Lois exponentielles
Définition 11
Soit λ un nombre réel strictement positif.
Une variable à densité X suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa densité est la fonction f
définie sur [0; +∞[ par f (x) = λe−λx .
λ
1
Propriété 12
Quels que soient les nombres a, c et d positifs,
• P (X ∈ [c; d]) = e−λc − e−λd
• P (X ≤ a) = 1 − e−λa
• P (X ≥ a) = e−λa
Définition 13
On définit l’espérance E(X) d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre
λ en posant
Z x
1
t × λe−λt dt =
E(X) = lim
x→+∞ 0
λ
Exemples :
Exercices 48, 50, 52 p 387, 58 p 389 (type bac), 70 p 393, 79 p 395
IV-
Démonstrations
Propriété 14 (page 382)
L’espérance E(X) d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ vaut
E(X) =
1
λ
• On cherche d’abord sur [0; +∞[ une primitive de la fonction
f : t 7→ λte−λt sous la forme F (t) = (at + b)e−λt .
La fonction F est dérivable sur [0; +∞[ et
F ′ (t) = (a − λ(at + b))e−λt = (−λat + (a − λb))e−λt
Pour que l’égalité f (t) = F ′ (t) soit vraie pour tout réel t positif, il suffit que :
(
− λa = λ
a − λb = 0
1 −λt
1
Il suffit donc que a = −1 et b = − , soit que F (t) = −t −
e
.
λ
λ
Ç
• Ensuite on calcule l’intégrale :
å
ñÇ
ô
Z x
1 −λt x
−λt
e
tλe dt = −t −
λ
0
0
å
Ç
å
Ç
1 −λ×0
1 −λx
e
− −0 −
e
= −x −
λ
λ
ä
1Ä
1 − e−λx − λxe−λx
=
λ
å
• Enfin, on étudie la limite quand x tend vers +∞ par composition et par différence :
lim λxe−λx = 0
x→+∞
lim e−λx = 0
x→+∞
ä
1
1Ä
1 − e−λx − λxe−λx =
x→+∞ λ
λ
Donc lim
On conclut donc E(X) = lim
Z
x→+∞ 0
x
tλe−λt dt =
1
λ