Lois à densité

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Ch.8 Lois `a densit´e
I- Objectifs du chapitre
Probabilit´es, aires et int´egrales
Lois uniformes
Lois exponentielles
Lois normales
II- Pr´e-requis
Histogrammes et notion de densit´e
Loi de probabilit´e d’une variable al´eatoire, esp´erance
Int´egration
III- Cours
1) D´efinitions
On dit qu’une fonction f, d´efinie sur un intervalle Ide R, est une densit´e de probabilit´e sur I
lorsque :
•fest continue et `a valeurs positives sur I
•l’aire sous la courbe de fest ´egale `a 1 u.a.
D´efinition 1
•I= [a;b]
Zb
a
f(t)dt = 1
1
1
ab
•I= [a; +∞[
Z+∞
a
f(t)dt = 1
1
1
a
•I=] − ∞;b]

Zb
−∞
f(t)dt = 1
1
b
•I= [−∞; +∞[
Z+∞
−∞
f(t)dt = 1
1
1
On dit que la variable al´eatoire Xsuit la loi de densit´e fsur l’intervalle I(ou est ≪`a densit´e
fsur I≫) lorsque, pour tout ´ev´enement Jinclus dans I, la probabilit´e de l’´ev´enement (X∈J)
est la mesure, en unit´es d’aire, de l’aire du domaine : {M(x;y); x∈J et 0≤y≤f(x)}.
D´efinition 2
Remarques :
•P(X∈I) = 1
•La notion de densit´e est `a rapprocher de celle des histogrammes `a pas constant. La courbe est
l’”allure limite” d’un histogramme dont le pas tend vers 0. (Activit´e 2 p 377)
•En g´en´eral, les probabilit´es seront calcul´ees `a l’aide d’int´egrales.
Soit Xune variable al´eatoire qui suit la loi de densit´e fsur l’intervalle I, on a les propri´et´es
suivantes :
•Pour tout intervalle J= [c;d] de I, on a :
P(c≤X≤d) = Zd
c
f(x)dx
•Pour tout r´eel αde I, on a : P(X=α) = 0
•Pour tous r´eels cet dde I,
P(c≤X≤d) = P(c < X ≤d) = P(c≤X < d) = P(c < X < d)
•Soit Jun intervalle, on a :
PÄX∈Jä= 1 −P(X∈J)
Propri´et´e 3
Exemples :
Exercices 3, 4, 6 p 379

Soit I′un intervalle de Itel que P(X∈I′)6= 0, et soit Jun autre intervalle de I.
On d´efinit la probabilit´e conditionnelle
P(X∈I′)(X∈J) = P(X∈J∩I′)
P(X∈I′)
D´efinition 4 (Probabilit´es conditionnelles)
L’esp´erance d’une variable al´eatoire `a densit´e fsur [a;b] est d´efinie par
E(X) = Zb
a
xf(x)dx
D´efinition 5 (Esp´erance)
Remarque :
On rappelle que l’esp´erance dans le cas d’une v.a. discr`ete (nombre fini d’issues) s’´ecrit
E(X) =
n
X
k=1
xkpk
2) Lois uniformes
On dit qu’une variable al´eatoire Xsuit la loi uniforme sur l’intervalle [0; 1] si sa densit´e est la
fonction d´efinie sur [0; 1] par f(x) = 1.
1
1
D´efinition 6
Pour tout intervalle [c;d] inclus dans [0; 1], on a :
P(X∈[c;d]) = P(c≤X≤d) = d−c
1
1
cd
Propri´et´e 7

On dit qu’une variable al´eatoire Xsuit la loi uniforme sur l’intervalle [a;b] si sa densit´e est la
fonction d´efinie sur [0; 1] par f(x) = 1
b−a.
1
1
0,25
a=−1b= 3
Loi uniforme sur [−1; 3]
D´efinition 8
Pour tout intervalle [c;d] inclus dans [a;b], on a :
P(X∈[c;d]) = P(c≤X≤d) = d−c
b−a
Propri´et´e 9
L’esp´erance E(X) d’une variable al´eatoire Xsuivant une loi uniforme sur [a;b] est telle que :
E(X) = a+b
2
Propri´et´e 10
Exemples :
Exercices 33, 34, 40, 45 p 386, 81 p 395
3) Lois exponentielles
Soit λun nombre r´eel strictement positif.
Une variable `a densit´e Xsuit la loi exponentielle de param`etre λsi sa densit´e est la fonction f
d´efinie sur [0; +∞[ par f(x) = λe−λx.
λ
1
D´efinition 11

Quels que soient les nombres a,cet dpositifs,
•P(X∈[c;d]) = e−λc −e−λd
•P(X≤a) = 1 −e−λa
•P(X≥a) = e−λa
Propri´et´e 12
On d´efinit l’esp´erance E(X) d’une variable al´eatoire suivant la loi exponentielle de param`etre
λen posant
E(X) = lim
x→+∞Zx
0
t×λe−λtdt =1
λ
D´efinition 13
Exemples :
Exercices 48, 50, 52 p 387, 58 p 389 (type bac), 70 p 393, 79 p 395
IV- D´emonstrations
L’esp´erance E(X) d’une variable al´eatoire suivant une loi exponentielle de param`etre λvaut
E(X) = 1
λ
Propri´et´e 14 (page 382)
•On cherche d’abord sur [0; +∞[ une primitive de la fonction
f:t7→ λte−λt sous la forme F(t) = (at +b)e−λt.
La fonction Fest d´erivable sur [0; +∞[ et
F′(t) = (a−λ(at +b))e−λt = (−λat + (a−λb))e−λt
Pour que l’´egalit´e f(t) = F′(t) soit vraie pour tout r´eel tpositif, il suffit que :
(−λa =λ
a−λb = 0
Il suffit donc que a=−1 et b=−1
λ, soit que F(t) = Ç−t−1 λåe−λt .
•Ensuite on calcule l’int´egrale :
Zx
0
tλe−λtdt =ñÇ−t−1
λåe−λtôx
0
=Ç−x−1
λåe−λx −Ç−0−1 λåe−λ×0
=1
λÄ1−e−λx −λxe−λxä