TD sur la génération de variables aléatoires de loi continue

RICM 4 robabilit´ es et Simulation
G´ en´ eration de variables al´ eatoires ` a valeur dans R
Exercice 1 Inverse de la fonction de r´ epartition
Soit Xvariable al´ eatoire de fonction de r´ epartition F.
1. Montrer que si Fest continue et strictement monotone alors Fest inversible. On note F−1la fonction
r´ eciproque de F.
2. Soit Uune variable al´ eatoire de loi uniforme sur [0,1[. Montrer que F−1(U)a la mˆ eme loi que X.
3. En d´ eduire un algorithme de g´ en´ eration pour X:
(a) de loi uniforme sur [a, b[;
(b) de loi exponentielle de param` etre λ;
(c) de loi de Weibull de fonction de r´ epartition F(x) = 1−exp(−αxβ)11(x>0).
Si Fn’est pas strictement monotone ou n’est pas continue on g´ en´ eralise la notion de fonction inverse par
F−1(u) = sup {x∈R/ F (x)< u}.
1. Montrer que pour Ude loi uniforme sur [0,1[,F−1(U)a la mˆ eme loi que X.
2. Retrouver le r´ esultat obtenu en cours pour les lois discr` etes (loi de Bernoulli, g´ eom´ etrique,...).
Exercice 2 M´ ethode de rejet
Soit Xune variable al´ eatoire de fonction de r´ epartition F, et dont les valeurs sont dans l’intervalle [a, b]. On note
fsa densit´ e et Fsa fonction de r´ epartition. On supposera qu’il existe un majorant hde fsur l’intervalle [a, b].
repeter
x= uniform(a,b); /*genere une variable aleatoire uniforme sur [a,b[ */
y= uniform(0,1)*h ;
jusqu’a (y <= f(x));
return x
1. Faire un ou des dessins.
2. Montrer que la valeur g´ en´ er´ ee est distribu´ ee selon la densit´ ef.
3. Quelle est la complexit´ e de cet algorithme en nombre de passages dans la boucle ? Quelle est la ”meilleure”
valeur de h?
4. Donner sur des dessins des exemples ou la complexit´ e est faible, importante.
5. Utiliser cette m´ ethode pour g´ en´ erer une variable al´ eatoire de densit´ e
(a) f(x) = 2x11[0,1](x);
(b) f(x) = π
2sin(πx)11[0,1](x);
(c) f(x) = 2
π√1−x211[−1,1](x).
6. Soit fune fonction de densit´ e d’une variable al´ eatoire Xque l’on sait g´ en´ erer par un algorithme. Montrer
que l’algorithme suivant g´ en` ere un point distribu´ e uniform´ ement sur la surface d´ efinie entre la courbe fet
l’axe des abscisses.
X = genere_X() /*genere un ´ echantillon de X */
Y= uniform(0,1)*f(X);
return M=(X,Y);
7. Soit Xde densit´ ef. On suppose qu’il existe gune densit´ e et un coefficient htel que pour tout x,f(x)6
h∗g(x). On suppose ´ egalement que l’on est capable de g´ en´ erer une variable al´ eatoire Yde densit´ eg.
Montrer que l’algorithme suivant g´ en` ere une variable al´ eatoire de densit´ ef.
2012 1/ 2

RICM 4 robabilit´ es et Simulation
repeter
x= genere_Y(); /*genere une variable aleatoire de densite g */
y= uniform(0,1)*h*g(x) ;
jusqu’a (y <= f(x));
return x
On pourra faire un dessin.
Exercice 3 Loi triangulaire
On d´ efinit la distribution triangulaire par la densit´ ef(x) = x11[0,1](x) + (2 −x)11[1,2](x).
1. V´ erifier que fest bien une densit´ e, calculer sa fonction de r´ epartition et en d´ eduire un premier algorithme
de simulation.
2. Proposer un algorithme de rejet pour g´ en´ erer cette loi et calculer son coˆ ut. Peut-on l’am´ eliorer ?
3. Soit U, V des variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi uniforme sur [0,1[. Calculer la densit´ e de U+V. En
d´ eduire un algorithme de simulation.
4. Comparer ces 3 algorithmes.
Exercice 4 Loi Normale
La loi normale N(0,1) de densit´ ef(x) = 1
2πe−x2
2a une fonction de r´
epartition F(x) = Rx
−∞ f(x)dx difficile `
a
inverser autrement que num´ eriquement.
1. Trouver une valeur htelle que 2
2πe−x2
26h∗e−x. Proposer un algorithme de g´
en´ eration d’une variable de
densit´ e2
2πe−x2
211[0,+∞[(x). En d´
eduire un algorithme pour g´ en´ erer une variable de loi N(0,1).
2. Soit X, Y des variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi N(0,1). Quelle est la loi du couple (X, Y )? Par
passage en coordonn´ ees polaires, on note ρ=√X2+Y2et θ=Arctan Y
X. Faire un dessin.
Donner la loi de ρ, la loi de θ. Montrer que ρet θsont ind´ ependants. En d´ eduire un algorithme de g´ en´ eration
de loi N(0,1).
2012 2/ 2