Ecricome 2012

ECRICOME 2012
PROBL` EME 1
Partie 1 - Taux de panne d’une variable discr`ete
Pour toute variable al´eatoire Xd´efinie sur l’espace probabilis´e (Ω,A,P), `a valeurs dans N∗v´erifiant la condition
(H) :
(H)∀n∈N∗,P(X>n)>0
on appelle taux de panne associ´e `a Xla suite r´eelle (xn)n∈N∗d´efinie par :
∀n∈N∗, xn=P(X=n|X>n)
(probabilit´e conditionnelle de l’´ev´enement [X=n] sachant que [X>n] est r´ealis´e).
1. Montrer que pour tout entier nnon nul :
xn=P(X=n)
P(X>n)
2. On suppose dans cette question que Ysuit une loi g´eom´etrique de param`etre p. D´eterminer alors le taux
de panne associ´e `a Y.
3. On suppose dans cette question que la loi de Zest donn´ee par :
∀n∈N∗,P(Z=n) = 1
n(n+ 1)
(a) D´eterminer deux r´eels aet btels que, pour tout ndans N∗,
1
n(n+ 1) =a n+b n+ 1
(b) V´erifier que Zest une variable al´eatoire, c’est-`a-dire que :
+∞
X
n=1
P(Z=n) = 1
(c) La variable Zadmet-elle une esp´erance ?
(d) Pour tout ndans N∗, calculer la probabilit´e P(Z>n). D´eterminer alors le taux de panne associ´e `a
Z.
4. Soient Xune variable al´eatoire sur (Ω,A,P) `a valeurs dans N∗v´erifiant (H), et (xn) son taux de panne.
(a) Montrer que :
∀n>2,P(X>n) =
n−1
Y
k=1
(1 −xk)
(b) Exprimer, pour tout ndans N∗,pn=P(X=n) `a l’aide des ´el´ements de la suite (xk), et plus
pr´ecis´ement montrer que :
pn=xn
n−1
Y
k=1
(1 −xk)
(c) D´eterminer les lois des variables al´eatoires `a valeurs dans N∗v´erifiant (H) et ayant un taux de panne
constant.
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Partie 2 - Taux de panne d’une variable `a densit´e
Soit (Ω,A,P) un espace probabilis´e. On note Sl’ensemble des variables al´eatoires r´eelles `a densit´e, sur (Ω,A,P),
qui poss`edent une densit´e nulle sur ] − ∞,0] et continue sur ]0,+∞[ et qui v´erifient la condition (R) :
(R)∀x∈R+∗,P(X > x)>0
1. Soit Xun ´el´ement de S. Montrer que Xposs`ede une unique densit´e nulle sur ] − ∞,0] et continue sur
]0,+∞[.
2. Soit Xun ´el´ement de S. On note Fsa fonction de r´epartition et fsa densit´e.
Pour tout xdans R+∗, justifier l’existence de
φ(x) = lim
h→0+1
hP(X>x)(X6x+h)
et v´erifier que :
ϕ(x) = f(x)
1−F(x)
On appelle taux de panne associ´e `a Xla fonction ϕainsi d´efinie sur R+∗.
3. Montrer que, pour tout r´eel strictement positif x, l’int´egrale Zx
0
ϕ(t)dt converge et que :
∀x∈R+, F (x) = 1 −exp −Zx
0
ϕ(t)dt
4. Soit deux r´eels αet βstrictement positifs.
(a) D´eterminer la constante Ken fonction de αet βpour que la fonction gd´efinie par :
∀x∈R+∗, g(x) = K
(1 + βx)α+1
∀x∈R−, g(x)=0
soit une densit´e de probabilit´e.
(b) Soit Tune variable al´eatoire r´eelle sur (Ω,A,P) admettant gpour densit´e. Montrer que Tappartient
`a S, et calculer son taux de panne.
5. Soit Zune variable al´eatoire r´eelle sur (Ω,A,P) qui suit la loi exponentielle de param`etre λ. Montrer que
Zappartient `a S, et calculer son taux de panne.
6. R´eciproquement, soit Uun ´el´ement de S. On suppose que son taux de panne est constant. Montrer que
Usuit une loi exponentielle.
7. Soit Wun ´el´ement de Sdont le taux de panne est la fonction hd´efinie par :
∀x∈R+∗, h(x) = aλaxa−1
o`u aet λsont des r´eels strictement positifs.
Trouver la fonction de r´epartition FWde Wet donner une densit´e de W. Que trouve-t-on pour a= 1 ?
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PROBL` EME 2
Partie 1 - ´ Etude d’une fonction
Soit la fonction fd´efinie sur −1
2,+∞par :
f(x) = 
ln(1 + 2x)
x−1 si x∈−1
2,0∪]0,+∞[
1 si x= 0
1. Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 de f(x) au voisinage de 0.
2. Montrer que fest continue sur son ensemble de d´efinition.
3. Montrer que fest d´erivable en 0 et donner f0(0).
4. Prouver l’existence d’une fonction htelle que :
∀x∈−1
2,0∪]0,+∞[, f0(x) = h(x) x2
´
Etudier les variations de h, puis en d´eduire le tableau de variations de f.
5. Montrer que fs’annule en un unique point α(on admettra que α'1,26).
6. Tracer l’allure de la courbe repr´esentative de fdans un rep`ere orthonorm´e.
Partie 2 - ´ Etude d’une suite convergente
Soit la suite (un)n∈Ntelle que :
u0>0
∀n∈N, un+1 = ln(1 + 2un) = g(un)
1. V´erifier que la suite (un) est strictement positive.
2. On suppose que (un)n∈Nconverge. Que vaut alors sa limite `?
3. On suppose que u0est dans l’intervalle ]0, α].
(a) Montrer que pour tout entier naturel n,unest dans l’intervalle ]0, α]
(b) Puis, montrer que la suite (un)n∈Nest strictement monotone et convergente vers α.
(c) Prouver, de mani`ere analogue, que (un)n∈Nconverge aussi vers αsi on suppose u0dans l’intervalle
]α, +∞[.
4. On pose u0= 1.
(a) En utilisant l’in´egalit´e des accroissements finis, montrer que, pour tout ndans N,
|un+1 −α|62
3|un−α|
(b) En d´eduire que, pour tout ndans N,|un−α|62
3n
(c) ` A partir de quel rang nest-on sˆur que unrepr´esente une valeur approch´ee de α`a 10−4pr`es ?
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Partie 3 - ´ Etude d’une primitive de f
On pose, pour xappartenant `a l’intervalle −1
2,+∞, F (x) = Zx
0
f(t)dt.
1. ´ Etudier les variations de F.
2. Montrer que F(x) est ´equivalent `a xpour xau voisinage de 0. En d´eduire l’´equation de la tangente `a la
courbe repr´esentative de Fau point d’abscisse x= 0.
3. Donner un ´equivalent de fau voisinage de +∞. En d´eduire la limite de F(x) quand xtend vers +∞.
4. Donner un ´equivalent de fau voisinage de −1
2. En d´eduire l’existence de la limite de F(x) quand xtend
vers −1
2
+
.
5. Le prolongement de Fest-il d´erivable `a droite de −1
2?
6. On donne le tableau de valeurs suivant :
x−0.5−0.25 0.5 1 α2 4 5
F(x)−1.14 −0.33 0.3 0.43 0.45 0.37 −0.31 −0.80
Donner l’allure de la repr´esentation graphique de F. On placera en particulier les tangentes `a la courbe
aux points d’abscisses x= 0 et x=−1
2.
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