TD n 3 : Partie 1 (semaine du 07/03) : Variables aléatoires `a densité

Universit´ e des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Math´ ematiques Pures et Appliqu´ ees
UFR de Math´ ematiques
Licence Informatique S4
Probabilit´ es-Statistique Ann´ ee 2015-2016
TD n◦3 : Partie 1 (semaine du 07/03) : Variables al´ eatoires ` a densit´ e.
1 Loi uniforme
Exo 1. Soit Xune variable al´ eatoire suivant une loi uniforme sur [a,b]. Calculer l’´ esperance et
la variance de X. Quelle condition doit on donner sur les r´ eels aet bpour que la variable
al´ eatoire −Xsuive la mˆ eme loi que X?
Exo 2. Existe t’il une variable al´ eatoire r´ eelle X, telle que :
∀a,b∈R(a≤b), on ait P[{X∈[a,b]}] = b−a?
Exo 3. Soit Xune variable uniforme sur [0,1]. Comment construire, en fonction de X, une va-
riable al´ eatoire Ysuivant une loi de Poisson de param` etre λ?
2 Loi ` a densit´ e, loi exponentielle, loi normale
Exo 4. Soit Xune variable al´ eatoire r´ eelle ` a densit´ efsur R, donner une condition n´ ec´ essaire et
suffisante sur fpour que −Xsuive la mˆ eme loi que X.
Exo 5. Soit Xune variable al´ eatoire exponentielle de param` etre λ>0. D´ emontrer la propri´ et´ e
suivante (absence de m´ emoire) :
∀t,s∈R∗
+,P[X>t+s|X>t] = P[X>s]
Exo 6. On se donne Xune variable al´ eatoire exponentielle de param` etre λ. On d´ efinit la suite
(un)n≥1o` uun=E[Xn]. En utilisant une int´ egration par partie, d´ eterminer une expression
num´ erique pour la suite (un)n≥1.
Exo 7. On se donne X,Y, deux variables al´ eatoire normale centr´ ees r´ eduites ind´ ependantes, a,b∈
R. Quelle est la loi de aX +bY ?
3 Convergence, loi faible des grands nombres
Exo 8. Soit (Xi)i≥1une suite de variable al´ eatoire g´ eometrique ind´ ependante de param` etre p∈
]0,1[. Pour tout n≥1, on d´ efinit Tn=∑1≤i≤nXiet Yn=Tn
n. Calculer les limites sui-
vantes :
(i) limn→∞P[Tn>n
p]
(ii) limn→∞P[Yn>n
p].
Exo 9. Soit (Xi)i≥1une suite de variables I.I.D suivant la loi uniforme sur [0,θ]o` uθ>0. On
pose Yn=max(X1,X2, ..., Xn).
(i) Pour n≥1, calculer la fonction de r´ epartition de Yn.

(ii) En d´ eduire la loi de Ynet calculer E[Yn]et Var(Yn=.
(iii) Montrer, ` a l’aide de (i), que la suite Ynconverge en probabilit´ e vers une limite que
l’on pr´ ecisera. Converge t’elle presque sˆ urement ? (on pourra s’int´ eresser ` a la monotonie
de (Yn)n.
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