Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées UFR de Mathématiques Licence Informatique S4 Probabilités-Statistique Année 2015-2016 TD n◦ 3 : Partie 1 (semaine du 07/03) : Variables aléatoires à densité. 1 Loi uniforme Exo 1. Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [a, b]. Calculer l’ésperance et la variance de X. Quelle condition doit on donner sur les réels a et b pour que la variable aléatoire −X suive la même loi que X ? Exo 2. Existe t’il une variable aléatoire réelle X, telle que : ∀a, b ∈ R (a ≤ b), on ait P[{X ∈ [a, b]}] = b − a ? Exo 3. Soit X une variable uniforme sur [0, 1]. Comment construire, en fonction de X, une variable aléatoire Y suivant une loi de Poisson de paramètre λ ? 2 Loi à densité, loi exponentielle, loi normale Exo 4. Soit X une variable aléatoire réelle à densité f sur R, donner une condition nécéssaire et suffisante sur f pour que −X suive la même loi que X. Exo 5. Soit X une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ > 0. Démontrer la propriété suivante (absence de mémoire) : ∀t, s ∈ R∗+ , P[X > t + s | X > t] = P[X > s] Exo 6. On se donne X une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ . On définit la suite (un )n≥1 où un = E[X n ]. En utilisant une intégration par partie, déterminer une expression numérique pour la suite (un )n≥1 . Exo 7. On se donne X,Y , deux variables aléatoire normale centrées réduites indépendantes, a, b ∈ R. Quelle est la loi de aX + bY ? 3 Convergence, loi faible des grands nombres Exo 8. Soit (Xi )i≥1 une suite de variable aléatoire géometrique indépendante de paramètre p ∈ ]0, 1[. Pour tout n ≥ 1, on définit Tn = ∑ 1 ≤ i ≤ nXi et Yn = Tnn . Calculer les limites suivantes : (i) limn→∞ P[Tn > np ] (ii) limn→∞ P[Yn > np ]. Exo 9. Soit (Xi )i≥1 une suite de variables I.I.D suivant la loi uniforme sur [0, θ ] où θ > 0. On pose Yn = max(X1 , X2 , ..., Xn ). (i) Pour n ≥ 1, calculer la fonction de répartition de Yn . (ii) En déduire la loi de Yn et calculer E[Yn ] et Var(Yn =. (iii) Montrer, à l’aide de (i), que la suite Yn converge en probabilité vers une limite que l’on précisera. Converge t’elle presque sûrement ? (on pourra s’intéresser à la monotonie de (Yn )n . 2