Intégration des fonctions continues par morceaux

Chapitre 4
Int´egration des fonctions
continues par morceaux
4.1 Introduction
Dans cette section, on fixe a < b deux r´eels, on note I= [a, b] et on consid`ere
f:I→Rune application continue. On suppose en outre que fest positive sur
[a, b], c’est `a dire que ∀x∈[a, b], f(x)≥0. On veut calculer l’aire de la r´egion
du plan comprise entre le graphe de f, l’axe des abcisses et les droites d’´equation
x=aet x=b. Autrement dit, on veut calculer l’aire de l’ensemble
Ωa,b(f) = {(x, y)∈R2, a ≤x≤b, 0≤y≤f(x)}.
x
f(x)
a b
Ωa,b(f)
Domaine dont on veut calculer l’aire
Dans quelques cas particuliers, il est possible de faire ce calcul simplement.
Par exemple, si fest la fonction constante f(x) = cpour un certain c≥0.
Le domaine Ωa,b(f) est un rectangle dont les cot´es sont de longueurs respectives
cet b−a. Donc, son aire vaut c(b−a).
1

2CHAPITRE 4. INT ´ EGRATION DES FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX
a b
x
f(x)
Cas d’une fonction constante
Si fest la fonction lin´eaire, f(x) = c+d(x−a), pour deux constantes c≥0
et d≥0. Le domaine Ωa,b(f) est un trap`eze de petite base c, de grande base
c+d(b−a) et de hauteur b−a. Son aire vaut donc
1
2(petite base + grande base) ∗hauteur = (c+d 2(b−a))(b−a).
a b
x
f(x)
Cas d’une fonction lin´eaire
Si fest une fonction plus compliqu´ee. Par exemple, f(x)=(x−a)2. Il
n’y a pas de mani`ere ´el´ementaire de calculer. Une premi`ere approche consiste
`a essayer de calculer l’aire de mani`ere approch´ee en d´ecoupant le domaine en
petits morceaux en remplacant chaque petit morceau par un morceau “proche”
dont on sait calculer l’aire (par exemple un rectangle ou un trap`eze !).

4.2. D ´ EFINITION DE L’INT ´ EGRALE 3
x
f(x)
a b
Approximation par d´ecoupage en petits rectangles
Si on prend des morceaux de plus en plus petits, on “s’appercoit” que les
approximations successives convergent vers une valeur limite.
4.2 D´efinition de l’int´egrale
4.2.1 Cas des fonctions en escalier
D´efinition 4.2.1 Soit f: [a, b]→Rune fonction. On dit que fest une fonction
en escalier s’il existe une subdivision de [a, b]a=a1< a2< . . . < aN+1 =bet
des r´eels α1, . . . , αNtels que pour tout k∈ {1, . . . , N }on ait
∀x∈]ak, ak+1[, f (x) = αk.
Remarque 4.2.1 Dans la d´efinition pr´ec´edente , on demande juste que fsoit
constante sur chaque intervalle ]ak, ak+1[.
D´efinition 4.2.2 Soit fune fonction en escalier. Soit a=a1< a2< . . . <
aN+1 =bune subdivision de [a, b]telle que fest constante ´egale `a αksur chaque
intervalle ]ak, ak+1[. On d´efinit l’int´egrale entre aet bde fpar
Zb
a
f(x)dx :=
N
X
k=1
αk(ak+1 −ak).
Proposition 4.2.1 Soient fet gdeux fonctions en escalier sur [a, b]et λ∈R.
Alors f+get λf sont aussi des fonctions en escalier et on a
Zb
a
f(x)dx =λZb
a
f(x)dx. (4.1)
et
Zb
a
(f+g)(x)dx =Zb
a
f(x)dx +Zb
a
g(x)dx. (4.2)
Preuve. Soient fet λcomme ci dessus. Il existe une subdivision a=a1< . . . <
aN+1 et des r´eels α1, . . . , αNtels que
∀x∈]ak, ak+1[, f (x) = αk.

4CHAPITRE 4. INT ´ EGRATION DES FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX
Par suite,
∀x∈]ak, ak+1[,(λf )(x) = βk
avec β=λαk. Par d´efinition de l’int´egrale, il vient
Zb
a
(λf)(x)dx =
N
X
k=1
βk(ak+1 −ak) =
N
X
k=1
λαk(ak+1 −ak)
=λ
N
X
k=1
αk(ak+1 −ak) = λZb
a
f(x)dx
(4.3)
Ceci prouve (4.12). La preuve de (4.13) est un peu plus d´elicate et laiss´ee en
exercice.
¤
Proposition 4.2.2 Soient a<b<ctrois r´eels et fune fonction en escalier
sur [a, c]. Alors f|[a,b]et f|[b,c]sont aussi des fonctions en escalier et
Zc
a
f(x)dx =Zb
a
f(x)dx +Zc
b
f(x)dx.
Preuve. C’est une cons´equence imm´ediate du fait que pour tout N, M ∈N, on
a
N+M
X
k=1
ak=
N
X
k=1
ak+
M+N
X
k=N+1
ak.
¤
4.2.2 Cas des fonction continues par morceaux
Supposons pour commencer que f: [a, b]→Rest continue. On lui associe
des fonctions en escalier de mani`ere naturelle comme `a la figure ... en posant
pour tout n∈N,
fn(x) =
2n
X
k=1
αn
k1[an k, an k+1[,
avec an
k=a+ (k−1)b−a
2net αn
k=f(an k).
Il est clair que pour tout n∈N;fnest une fonction en escalier. Pour tout
n∈N, on d´efinit In(f)∈Rpar
In(f) = Zb
a
fn(x)dx.
Th´eor`eme 4.2.1 Soit fune fonction continue. Soit (In(f))n∈Nla suite de r´eels
construite ci-dessus. Alors la suite (In(f))n∈Nconverge vers une limite finie
lorsque ntend vers l’infini. Cette limite est appel´ee int´egrale de fentre aet b
et not´ee Rb
af(x)dx.

4.2. D ´ EFINITION DE L’INT ´ EGRALE 5
Preuve. Pour montrer que la suite (In(f))n∈Na une limite quand ntend vers
l’infini, il suffit de montrer que cette suite est de Cauchy (c.f. Th ??).
Prenons ² > 0 quelconque. On cherche N∈Ntel que
∀n, m ∈N,(n≥N=⇒ |In(f)−In+m(f)|< ²).(4.4)
Or, la fonction fest continue sur [a, b] qui est un intervalle ferm´e et born´e,
donc elle est uniform´ement continue, d’apr`es le Th´eor`eme ??. Par cons´equent,
il existe δ > 0 tel que
∀x, y ∈[a, b],(|x−y|< δ =⇒ |f(x)−f(y)|<²
b−a) (4.5)
Prenons N∈Ntel que (b−a)2−N≤δ(c’est possible car la suite (2n)n∈Ntend
vers 0) et supposons que n, m ∈Nv´erifient n≥N. On va montrer que (4.4) est
v´erifi´ee.
Par d´efinition, on a
In(f) = b−a
2n
2n
X
j=1
f(a+j−1
2n(b−a)) = b−a 2n
2n
X
j=1
1
2m
2m
X
k=1
f(a+j−1
2n(b−a))
(4.6)
et
In+m(f) = b−a
2n+m
2n+m
X
i=1
f(a+i−1
2n+m(b−a))
=b−a
2n
2n
X
j=1
1
2m
2m
X
k=1
f(a+j−1
2n(b−a) + k−1 2n+m(b−a))
(4.7)
Par suite,
|In(f)−In+m(f)| ≤ b−a
2n+m
2n
X
j=1
2m
X
k=1 |f(xj,k)−f(yj,k )|(4.8)
avec xj,k =a+j−1
2n(b−a) et yj,k =a+j−1 2n(b−a) + k−1 2n+m(b−a). En particulier,
pour tout 1 ≤j≤2net 1 ≤k≤2m, on a
|xj,k −yj,k|=k−1
2n+m(b−a)≤b−a 2n≤δ(4.9)
car n≥N. Par cons´equent, en combinant (4.5) et (4.9), on obtient
|f(xj,k)−f(yj,k )| ≤ ²
b−a(4.10)
En utilisant cette in´egalit´e dans (4.8), il vient
|In(f)−In+m(f)| ≤ b−a
2n+m
2n
X
j=1
2m
X
k=1
²
b−a=². (4.11)
Ceci prouve (4.4) et ach`eve la d´emonstration. ¤