Analyse pour l`ingénieur

Analyse pour l’ing´enieur
ENSIMAG 1`ere Ann´ee 1er semestre
S. Meignen,V. Perrier
20010/2011

Table des mati`eres
1 Int´egration 5
1.1 El´ements de th´eorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Ensembles mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Int´egration des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 D´efinition de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Th´eor`eme de convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Propri´et´es des fonctions int´egrables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Fonctions int´egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 L’espace des fonctions int´egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Int´egration sur un sous-ensemble, int´egrale p.p. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Th´eor`eme de convergence domin´ee de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Calcul pratique d’int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Lien avec l’int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Primitive et int´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3 Int´egrales complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 L’espace L1(RN) ...................................... 16
1.5.1 Motivation pour une norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 L’espace L1..................................... 16
1.5.3 Les espaces Lp................................... 17
1.6 Int´egrales d´efinies par un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Int´egrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.1 Intervertion des int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Transform´ee de Fourier dans L1(R)21
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Int´erˆet de l’int´egrale de Fourier pour la resolution d’´equations lin´eraires . . . 21
2.1.3 Motivation pour le traitement du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Transformation de Fourier dans L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Th´eor`emes de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 D´efinition de la transform´ee de Fourier dans L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Propri´et´e (Th´eor`eme de Riemann-Lebesgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3

4TABLE DES MATI ` ERES
2.2.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.5 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Inversion de la transform´ee de Fourier dans L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Produit de convolution et principe du filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 Produit de convolution dans L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2 Exemple de filtrage : les moyennes glissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.3 Convolution et transform´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Transform´ee de Fourier dans L2(R)31
3.1 L’espace L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Convolution dans L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Transform´ee de Fourier dans L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1 L’espace L1(R)TL2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2 D´efinition de la transform´ee de Fourier dans L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Propri´et´e de la transform´ee de Fourier dans L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Th´eorie ´el´ementaire des distributions 35
4.1 L’espace des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 Support d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.3 D´efinition des fonctions test D(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.4 Convergence dans D(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 D´efinition des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Convergence des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.3 Support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Op´erations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.1 D´erivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.2 Multiplication par les fonctions C∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Convolution d’une fonction et d’une distribution : D(R)∗ D′(R) . . . . . . . . . . . . 45

Chapitre 1
Int´egration
R+= [0,+∞[∪{+∞} ={x∈R;x≥0} ∪ {+∞}.
Convention :
∀x∈R+, x + (+∞) = +∞
x×(+∞) = +∞si x > 0
0 si x= 0
1.1 El´ements de th´eorie de la mesure
1.1.1 Ensembles mesurables
D´efinition 1 Une tribu sur RN(N≥1) est une famille de parties de RNcontenant ∅, stable par
passage au compl´ementaire et par r´eunion d´enombrable (et donc par intersection d´enombrable).
Si Bd´esigne une tribu sur RN, les ´el´ements de Bs’appellent les ensembles mesurables. On dit que
(RN,B)est un espace mesurable.
Exemples :
(i) (∅,RN) est la tribu grossi`ere de RN.
(ii) P(RN) ensemble des parties de RNest la tribu discr`ete.
(iii) La tribu des bor´eliens sur RNest la tribu engendr´ee par les ouverts (et donc par les ferm´es)
de RN. On peut montrer que cette tribu not´ee BRNest engendr´ee par les pav´es :
N
Y
j=1
[aj, bj] avec − ∞ < aj< bj<+∞
1.1.2 Mesures
D´efinition 2 Soit Bune tribu de RN. Une mesure positive µsur Best une application de Bdans
R+v´erifiant :
(i) µ(∅) = 0
(ii) Pour toute famille d´enombrable (Bi)d’´el´ements de Bdeux `a deux disjoints on a :
µ(
∞
[
1
Bi) =
∞
X
1
µ(Bi)
5