Chapitre 5 : Intégration sur un segment 1 Propriétés générales

Universit´es Paris 6 et Paris 7
M1 MEEF
Analyse (UE 3)
2013-2014
Chapitre 5 : Int´egration sur un segment
1 Propri´et´es g´en´erales
Pour la d´efinition des fonctions int´egrables au sens de Riemann et de leurs int´egrales on
pourra consulter le polycopi´e, en notant que seul le cas des fonctions continues par morceaux
figure au programme du CAPES.
D´efinition 1 Soient a<bdeux r´eels. On appelle subdivision du segment [a , b ]toute suite
finie (xk)16k6ntelle que :
a=x0< x1<· · · < xn−1< xn=b .
Le r´eel σ(x) = max
06k6n−1(xk+1 −xk)est appel´e le pas de la subdivision. Pour toute fonction
f: [ a , b ]→R, on appelle somme de Riemann associ´ee `a cette subdivision toute somme :
Sx,c(f) =
n
X
k=0
(xk+1 −xk)fk(ck)
o`u ck∈[xk, xk+1 ]pour tout 06k6n−1.
D´efinition 2 Une fonction f: [ a , b ]→Rest dite continue par morceaux s’il existe une
subdivision (yk)16k6n, de [a , b ]dite adapt´ee `a f, et pour tout 06k6n−1une fonction
continue fk: [ yk, yk+1 ]→Rtelle que :
f(x) = fk(x)pour tout x∈]yk, yk+1 [.
Th´eor`eme 1 Sommes de Riemann. Si f: [ a , b ]→Rest continue par morceaux, on a :
lim
σ(x)→0Sx,c(f) = Zb
a
f(t)dt
o`u la limite est prise sur l’ensemble des subdivisions de [a , b ]dont le pas tend vers 0.
Proposition 1 Relation de Chasles. Si I⊂Rest un intervalle et si f:I→Rest
continue par morceaux, alors pour tous a , b , c ∈I, on a :
Zc
a
f(t)dt =Zb
a
f(t)dt +Zc
b
f(t)dt .
Proposition 2 Lin´earit´e de l’int´egrale. Si les fonctions f , g : [ a , b ]→Rsont continues
par morceaux et si λ , µ ∈R, on a :
Zb
aλ f(t) + µ g(t)dt =λZb a
f(t)dt +µZb
a
g(t)dt .
Proposition 3 Continuit´e de l’int´egrale. Si f: [ a , b ]→Rest continue par morceaux,
la fonction F: [ a , b ]→Rd´efinie par :
F(x) = Zx
a
f(t)dt
est continue.
Proposition 4 Positivit´e de l’int´egrale. Si f: [ a , b ]→Rest continue par morceaux et
v´erifie : f(t)>0pour tout t∈[a , b ], alors on a :
Zb
a
f(t)dt >0.
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2 Cas des fonctions continues
Th´eor`eme 2 Int´egrales et primitives. Si la fonction f: [ a , b ]→Rest continue, la
fonction F: [ a , b ]→Rd´efinie par :
H(x) = Zx
a
f(t)dt
est d´erivable et v´erifie : H0=f.
Exercice 1 Montrer que ce r´esultat est faux si on suppose seulement que la fonction fest
continue par morceaux.
Corollaire 1 Si f: [ a , b ]→Rest continue et si F: [ a , b ]→Rest une primitive de f,
c’est `a dire v´erifie F0=f, alors on on a :
Zb
a
f(t)dt = [F(t)]b
a=F(b)−F(a).
Corollaire 2 Si la fonction f: [ a , b ]→Rest de classe C1, on a :
f(b)−f(a) = Zb
a
f0(t)dt .
Exercice 2 D´emontrer ces corollaires.
Pour calculer l’int´egrale d’une fonction continue par morceaux, on peut cependant utiliser
la relation de Chasles pour obtenir avec les notations de la d´efinition 2 :
Zb
a
f(t)dt =
n−1
X
k=0 Zyk+1
yk
fk(t)dt =
n−1
X
k=0
Fk(yk+1)−Fk(yk)
o`u Fkest une primitive de la fonction continue fkpour chaque 0 6k6n−1 .
Proposition 5 Si f: [ a , b ]→Rest continue et v´erifie : f(t)>0pour tout t∈[a , b ]et
Zb
a
f(t)dt = 0 , alors on a : f= 0 .
Exercice 3 Montrer que ce r´esultat est faux si on suppose seulement que la fonction fest
continue par morceaux. Le d´emontrer.
3 Calcul des primitives
Proposition 6 Changement de variable. Si ϕ: [ a , b ]→Rest de classe C1et si fest
continue sur le segment ϕ([ a , b ]) , alors on a :
Zϕ(b)
ϕ(a)
f(t)dt =Zb
a
f(ϕ(s)) ϕ0(s)ds .
Proposition 7 Int´egration par parties. Si u , v : [ a , b ]→Rsont de classe C1, on a :
Zb
a
u(t)v0(t)dt = [u(t)v(t)]b
a−Zb
a
u0(t)v(t)dt .
Exercice 4 D´emontrer ces propositions.
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4 Exercices essentiels
Exercice 5 Soit pun entier naturel. En utilisant une somme de Riemann, calculer :
lim
n→+∞
1
np+1
n
X
k=1
kp.
Exercice 6 Soit f: [a , b]→Rune fonction de classe C1. Montrer que :
lim
λ→+∞Zb
a
f(t) sin(λ t)dt = 0 .
Exercice 7 Calculer Zb
a
dt
t(ln2t+ 1) pour tous r´eels b>a > 1 .
Exercice 8 Pour tout n∈N, on pose : In=Zπ
2
0
sinn(t)dt . En int´egrant par parties, trouver
une relation entre In+2 et In. En d´eduire la valeur de Inen fonction de n.
Exercice 9 Calculer Z1
0p1−t2dt .
5 Exercices compl´ementaires
Exercice 10 Calculer Z1
0
1
(1 + x2)2dx .
Exercice 11 Calculer Zπ
2
0
sin 2x
1 + 2 sin xdx .
Exercice 12 Soit f: [0 ,+∞[→Rune fonction continue par morceaux admettant une
limite finie `en +∞. Montrer que lim
x→+∞
1
xZx
0
f(t)dt =`.
Exercice 13 Soient a < b deux r´eels et f: [a , b]→R+une fonction continue. Montrer que
lim
n→+∞Zb
a
(f(t))ndt1
n= sup
t∈[a,b]
f(t).
Exercice 14 Soient a<bdeux r´eels et f: [a , b]→R∗
+une fonction continue.
a) Soit nun entier naturel non nul. Montrer qu’il existe d’uniques r´eels xk , n pour 0 6k6n
avec a=x0, n < x1, n <· · · < xn,n =btels que
Zxk , n
xk−1, n
f(t)dt =1
nZb
a
f(t)dt pour tout 1 6k6n .
b) Soit g: [a , b]→Rune fonction continue. Calculer lim
n→+∞
1
n
n
X
k=1
g(xk , n) .
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