CHAPITRE 2 : Formes différentielles, Intégrales curvilignes Soit Ω

CHAPITRE 2 : Formes différentielles, Intégrales curvilignes
Soit Ω un ouvert du plan R2 , c’est-à-dire un ensemble qui ne contient aucun point de sa frontière, par exemple
R2 entier, un disque ouvert D = {(x, y)|(x − a)2 + (y − b)2 < R2 }, un demi-plan sans sa frontière etc ...
Définitions : a) On appelle forme différentielle sur Ω l’expression ω = M (x, y)dx + N (x, y)dy
(1) où
2
M, N : Ω → R sont deux fonctions continues (souvent supposées différentiables).
b) Soit V : Ω → R une fonction de classe C 1 . On appelle différentielle totale de V la forme différentielle
∂V
∂V
∂V
∂V
dV =
(x, y) dx +
(x, y) dy (c’est-à-dire qu’alors M =
et N =
dans (1))
∂x
∂y
∂x
∂y
c) La forme ω est fermée si
∂M
∂N
(x, y) =
(x, y) ∀(x, y) ∈ Ω
∂y
∂x
(2)
d) La forme ω est exacte s’il existe V : Ω → R de classe C 1 telle que ω = dV . On dit aussi que ω est la
différentielle totale de V ou que V est un potentiel pour (ou dont dérive) ω.
Exemple thermodynamique : Un gaz parfait est compressé d’une certaine façon, son état est caractérisé par
v le volume, t la température et p la pression. Pour de petits accroissements dt et dp de la température et de la
pression, l’accroissement d’échange de chaleur est δQ = M (t, p)dt + N (t, p)dp = cdt − vdt où c est la capacité
calorifique et pv = nRt (équation des gaz parfaits) qui est une forme différentielle.
Exemple : Ω = R2 et ω = (y − 3x2 )dx + (x − 4y)dy
∂(y − 3x2 )
∂(x − 4y)
=1=
·
∂y
∂x
∂V
∂V
= y − 3x2 (1) et
= x − 4y (2)
• ω est exacte car ∃V : Ω → R telle que
∂x
∂y
• ω est fermée car
V = xy − x3 + f (y) vérifie (1) pour toute f de classe C 1 . En reportant dans (2), la fonction f doit satisfaire :
∂V
= x + f 0 (y) = x − 4y ⇐⇒ f 0 (y) = −4y ⇐⇒ f (y) = −2y 2 + Cte.
∂y
Finalement, avec V (x, y) = xy − x3 − 2y 2 + Cte on a dV = ω.
Remarque : Le potentiel V , quand il existe, est défini à constante près.
Proposition : Si ω est C 1 et exacte, elle est fermée.
∂V
∂V
∂V 1
∂V
dx +
dy avec
et
C . D’après le théorème de Schwartz, on a :
ω = dV =
∂x
∂y
∂x
∂y
∂ ∂V ∂2V
∂2V
∂V ∂V ∂M
∂N
∂V
∂V
=
=
=
soit
=
avec M =
et N =
·
∂y ∂x
∂y∂x
∂x∂y
∂x ∂y
∂y
∂x
∂x
∂y
Définition : L’application X : Ω → R2 définie par X(x, y) = (M (x, y), N (x, y)) est un champ de vecteurs.
Définition : Une courbe paramétrée γ : t ∈ I 7→ (x(t), y(t)) de classe C 1 est une courbe intégrale de
ω = M (x, y)dx + N (x, y)dy si M (x(t), y(t))x0 (t) + N (x(t), y(t))y 0 (t) = 0 ∀t ∈ I . Cette condition revient à
orthogonalité des vecteurs γ 0 (t) = (x0 (t), y 0 (t)) et X(x(t), y(t)) = (M (x(t), y(t)), N (x(t), y(t))), ∀t ∈ I.
Proposition : Si ω = dV , une courbe intégrale de ω est une courbe de niveau de V .
Dérivons la fonction d’une variable h(t) = V (x(t), y(t)) par rapport à t. On a
h0 (t) =
∂V
∂V
(x(t), y(t)) x0 (t) +
(x(t), y(t)) y 0 (t) = 0.
∂x
∂y
Définition : On appelle chemin allant de A à B ∈ R2 une courbe paramétrée de classe C 1 par morceaux
γ : [a, b] → R2 telle que γ(a) = A (origine du chemin) et γ(b) = B (extrémité du chemin).
Définition : L’intégrale curviligne de la forme ω = M (x, y)dx + N (x, y)dy le long du chemin γ est
Z
Z
ω=
γ
a
b
M dx + N dy
dt =
dt
Z
b
(M (x(t), y(t))x0 (t) + N (x(t), y(t))y 0 (t))dt =
a
Z
b
< X(x(t), y(t)), γ 0 (t) > dt
a
On dit aussi que le nombre trouvé est la circulation du champs de vecteurs X(x, y) le long γ.
R
L’intégrale curviligne γ ω ne dépend pas de la paramétrisation du chemin γ car changer de paramètre revient
à faire un changement de variable pour calculer la même intégrale : vérifiez le !
1
R
Proposition : Si ω est exacte c’est-à-dire si ω = dV où V est de classe C 2 , on a γ ω = V (B) − V (A).
Z b
Z
Z
Z b
h
ib
dV (x(t), y(t))
∂V dx ∂V dy dt =
+
dt = V (x(t), y(t)) = V (B) − V (A).
ω=
dV =
∂x dt
∂y dt
dt
a
a
γ
γ
a
R
En particulier, si le chemin γ est fermé , c’est-à-dire si A = B, on a γ dV = 0.
R
Proposition (admise) : ω est exacte ⇐⇒ γ ω = 0 ∀γ chemin fermé et si ω est définie sur R2 , un disque
ou un rectangle, on a : ω est fermée ⇐⇒ ω est exacte.
Exemple : ω = (1 + y)dx + (2 − x)dy on veut calculer l’intégrale de ω du point A = (0, 0) au point B = (2, 4)
le long des chemins suivants :
i) γ1 : La droite y = 2x.
ii) γ2 : La parabole y = x2 .
iii) γ3 : La ligne brisée constituée des droites y = 0 et x = 2.
R
R2
R2
i) t = x, y = 2x on a γ1 ω = 0 (1 + 2x)dx + (2 − x)2dx = 0 5dx = 10.
2
R
R2
R2
ii) t = x, y = x2 on a γ2 ω = 0 (1 + x2 )dx + (2 − x)2xdx = 0 (1 + 4x − x2 )dx = x + 2x2 − x3 /3 0 = 22/3.
R
R2
R4
iii) Paramétrons le premier segment par x → (x, 0) et le second par y → (0, y) on a γ3 ω = 0 dx + 0 0.dy = 2.
Conclusion : L’intégrale curviligne d’une forme non exacte ω dépend vraiment du chemin allant de A à B.
Exemple de forme fermée non exacte : Sur l’anneau Ω = {(x, y) ∈ R2 |R12 < x2 +y 2 < R22 } où 0 < R1 < R2 ,
xdy − ydx
est bien définie et de classe C ∞ .
la forme ω =
x2 + y 2
y
y 2 −x2
∂
x
∂
a) La forme ω est fermée car ∂x
x2 +y 2 = (x2 +y 2 )2 = − ∂y x2 +y 2
b) La forme ω n’est pas exacte car si on pose γ(θ) = (R cos θ, R sin θ) où R est fixé avec R1 < R < R2 , on a :
Z
Z 2π
Z 2π 2
Z 2π
x(θ)y 0 (θ) − x0 (θ)y(θ)
R cos2 θ + R2 sin2 θ
ω=
dθ
=
dθ
=
dθ = 2π 6= 0
x2 (θ) + y 2 (θ)
R2
γ
0
0
0
Définition : On dit qu’une fonction f : Ω → R∗ de classe C 1 est un facteur intégrant de la forme différentielle
ω si la forme f ω est exacte.
∂f
∂
∂
∂M
∂N
Une condition nécessaire est que f ω soit fermée soit : ∂y
(f M ) = ∂x
(f N ) ⇐⇒ M ∂f
∂y − N ∂x = f ∂x − ∂y .
Remarque : Les courbes intégrales de ω sont alors les mêmes que celles de f ω = dV qui sont les courbes de
niveau de V .
Exemple thermodynamique : Le second principe énonce que l’inverse de la température 1/t est un facteur
intégrant de ω = δQ et δQ
t = dS où S est la fonction entropie.
Théorème de Stokes : Soit ω = M (x, y)dx + N (x, y)dy uneRforme RR
différentielle de classe C 1 et γ un chemin
∂M
directement orienté encadrant un domaine A. On a l’égalité : γ ω = A dω où dω = ( ∂N
∂x − ∂y )dxdy.
On peut ramener la démonstration au cas particulier où γ est le bord du rectangle A = [a, b] × [α, β].
Dans ce cas particulier, on vérifie le résultat par le calcul :
RR ∂N
RR
Rβ Rb
RR
RR
∂M
dω = A ( ∂N
dxdy− A ∂M
∂x − ∂y )dxdy =
∂y dxdy = α ( a
A ∂x
A
Ra
Rα
Rb
R
M (x, β)dx + β N (a, y)dy + a M (x, α)dx = γ ω
b
R b R β ∂M
∂N
∂x dx)dy− a ( α ∂y dy)dx
=
Rβ
α
N (b, y)dy+
Dans le cas général, pour chaque n entier, on recouvre au mieux le domaine A par des carrés de côté 1/n et on
passe à la limite en faisant n → ∞.
Exercice : Soit ω = (y 2 − x2 )dx − 2xydy définie sur Ω = R2 .
1) ω est elle fermée ? exacte ?
2) Soit les points O = (0, 0), A = (0, π).
R
a) Calculer I1 = γ1 ω où γ1 est le segment OA paramétré par x → (x, 0) avec 0 ≤ x ≤ π.
R
b) Calculer I2 = γ2 ω où γ2 est le chemin allant de O à A d’équation y = sin x avec 0 ≤ x ≤ π.
c) Comparer I1 et I2 . Retrouver que ω n’est pas exacte.
1
0
2 ∗
(le plan privé de l’origine O)
3) Vérifier que f (x, y) = (x2 +y
2 )2 est un facteur intégrant de ω sur Ω = (R )
0
c’est-à-dire trouver une fonction V (x, y) telle que f ω = dV sur Ω .
4) Décrire les courbes intégrales de ω.
2