CHAPITRE 2 : Formes différentielles, Intégrales curvilignes Soit Ω

CHAPITRE 2 : Formes diff´erentielles, Int´egrales curvilignes
Soit Ω un ouvert du plan R2, c’est-`a-dire un ensemble qui ne contient aucun point de sa fronti`ere, par exemple
R2entier, un disque ouvert D={(x, y)|(x−a)2+ (y−b)2< R2}, un demi-plan sans sa fronti`ere etc ...
D´efinitions : a) On appelle forme diff´erentielle sur Ω l’expression ω=M(x, y)dx +N(x, y)dy (1) o`u
M, N : Ω →R2sont deux fonctions continues (souvent suppos´ees diff´erentiables).
b) Soit V: Ω →Rune fonction de classe C1. On appelle diff´erentielle totale de Vla forme diff´erentielle
dV =∂V
∂x (x, y)dx +∂V ∂y (x, y)dy (c’est-`a-dire qu’alors M=∂V ∂x et N=∂V ∂y dans (1))
c) La forme ωest ferm´ee si ∂M
∂y (x, y) = ∂N ∂x (x, y)∀(x, y)∈Ω (2)
d) La forme ωest exacte s’il existe V: Ω →Rde classe C1telle que ω=dV . On dit aussi que ωest la
diff´erentielle totale de Vou que Vest un potentiel pour (ou dont d´erive) ω.
Exemple thermodynamique : Un gaz parfait est compress´e d’une certaine fa¸con, son ´etat est caract´eris´e par
vle volume, tla temp´erature et pla pression. Pour de petits accroissements dt et dp de la temp´erature et de la
pression, l’accroissement d’´echange de chaleur est δQ =M(t, p)dt +N(t, p)dp =cdt −vdt o`u cest la capacit´e
calorifique et pv =nRt (´equation des gaz parfaits) qui est une forme diff´erentielle.
Exemple : Ω = R2et ω= (y−3x2)dx + (x−4y)dy
•ωest ferm´ee car ∂(y−3x2)
∂y =1= ∂(x−4y) ∂x ·
•ωest exacte car ∃V: Ω →Rtelle que ∂V
∂x =y−3x2(1) et ∂V ∂y =x−4y(2)
V=xy −x3+f(y) v´erifie (1) pour toute fde classe C1. En reportant dans (2), la fonction fdoit satisfaire :
∂V
∂y =x+f0(y) = x−4y⇐⇒ f0(y) = −4y⇐⇒ f(y) = −2y2+ Cte.
Finalement, avec V(x, y) = xy −x3−2y2+ Cte on a dV =ω.
Remarque : Le potentiel V, quand il existe, est d´efini `a constante pr`es.
Proposition : Si ωest C1et exacte, elle est ferm´ee.
ω=dV =∂V
∂x dx +∂V ∂y dy avec ∂V ∂x et ∂V ∂y C1. D’apr`es le th´eor`eme de Schwartz, on a :
∂
∂y ∂V ∂x =∂2V ∂y∂x =∂2V ∂x∂y =∂V ∂x ∂V ∂y soit ∂M ∂y =∂N ∂x avec M=∂V ∂x et N=∂V ∂y ·
D´efinition : L’application X: Ω →R2d´efinie par X(x, y)=(M(x, y), N(x, y)) est un champ de vecteurs.
D´efinition : Une courbe param´etr´ee γ:t∈I7→ (x(t), y(t)) de classe C1est une courbe int´egrale de
ω=M(x, y)dx +N(x, y)dy si M(x(t), y(t))x0(t) + N(x(t), y(t))y0(t)=0 ∀t∈I. Cette condition revient `a
orthogonalit´e des vecteurs γ0(t) = (x0(t), y0(t)) et X(x(t), y(t)) = (M(x(t), y(t)), N(x(t), y(t))),∀t∈I.
Proposition : Si ω=dV , une courbe int´egrale de ωest une courbe de niveau de V.
D´erivons la fonction d’une variable h(t) = V(x(t), y(t)) par rapport `a t. On a
h0(t) = ∂V
∂x (x(t), y(t)) x0(t) + ∂V ∂y (x(t), y(t)) y0(t) = 0.
D´efinition : On appelle chemin allant de A`a B∈R2une courbe param´etr´ee de classe C1par morceaux
γ: [a, b]→R2telle que γ(a) = A(origine du chemin) et γ(b) = B(extr´emit´e du chemin).
D´efinition : L’int´egrale curviligne de la forme ω=M(x, y)dx +N(x, y)dy le long du chemin γest
Zγ
ω=Zb
a
Mdx +Ndy
dt dt =Zb
a
(M(x(t), y(t))x0(t) + N(x(t), y(t))y0(t))dt =Zb
a
< X(x(t), y(t)), γ0(t)> dt
On dit aussi que le nombre trouv´e est la circulation du champs de vecteurs X(x, y) le long γ.
L’int´egrale curviligne Rγωne d´epend pas de la param´etrisation du chemin γcar changer de param`etre revient
`a faire un changement de variable pour calculer la mˆeme int´egrale : v´erifiez le !
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Proposition : Si ωest exacte c’est-`a-dire si ω=dV o`u Vest de classe C2, on a Rγω=V(B)−V(A).
Zγ
ω=Zγ dV =Zb
a∂V
∂x
dx
dt +∂V ∂y
dy
dt dt =Zb
a
dV (x(t), y(t))
dt dt =hV(x(t), y(t))ib
a=V(B)−V(A).
En particulier, si le chemin γest ferm´e , c’est-`a-dire si A=B, on a RγdV = 0.
Proposition (admise) : ωest exacte ⇐⇒ Rγω= 0 ∀γchemin ferm´e et si ωest d´efinie sur R2, un disque
ou un rectangle, on a : ωest ferm´ee ⇐⇒ ωest exacte.
Exemple : ω= (1 + y)dx + (2 −x)dy on veut calculer l’int´egrale de ωdu point A= (0,0) au point B= (2,4)
le long des chemins suivants :
i) γ1: La droite y= 2x.
ii) γ2: La parabole y=x2.
iii) γ3: La ligne bris´ee constitu´ee des droites y= 0 et x= 2.
i) t=x,y= 2xon a Rγ1ω=R2
0(1 + 2x)dx + (2 −x)2dx =R2 05dx = 10.
ii) t=x,y=x2on a Rγ2ω=R2
0(1 + x2)dx + (2 −x)2xdx =R2 0(1 + 4x−x2)dx =x+ 2x2−x3/32
0= 22/3.
iii) Param´etrons le premier segment par x→(x, 0) et le second par y→(0, y) on a Rγ3ω=R2
0dx +R4 00.dy = 2.
Conclusion : L’int´egrale curviligne d’une forme non exacte ωd´epend vraiment du chemin allant de A`a B.
Exemple de forme ferm´ee non exacte : Sur l’anneau Ω = {(x, y)∈R2|R2
1< x2+y2< R2 2}o`u 0 < R1< R2,
la forme ω=xdy −ydx
x2+y2est bien d´efinie et de classe C∞.
a) La forme ωest ferm´ee car ∂
∂x x x2+y2=y2−x2 (x2+y2)2=−∂ ∂y y x2+y2
b) La forme ωn’est pas exacte car si on pose γ(θ) = (Rcos θ, R sin θ) o`u Rest fix´e avec R1< R < R2, on a :
Zγ
ω=Z2π
0
x(θ)y0(θ)−x0(θ)y(θ)
x2(θ) + y2(θ)dθ =Z2π
0
R2cos2θ+R2sin2θ
R2dθ =Z2π
0
dθ = 2π6= 0
D´efinition : On dit qu’une fonction f: Ω →R∗de classe C1est un facteur int´egrant de la forme diff´erentielle
ωsi la forme fω est exacte.
Une condition n´ecessaire est que fω soit ferm´ee soit : ∂
∂y (fM) = ∂ ∂x (fN)⇐⇒ M∂f ∂y −N∂f ∂x =f∂N ∂x −∂M ∂y .
Remarque : Les courbes int´egrales de ωsont alors les mˆemes que celles de fω =dV qui sont les courbes de
niveau de V.
Exemple thermodynamique : Le second principe ´enonce que l’inverse de la temp´erature 1/t est un facteur
int´egrant de ω=δQ et δQ
t=dS o`u Sest la fonction entropie.
Th´eor`eme de Stokes : Soit ω=M(x, y)dx +N(x, y)dy une forme diff´erentielle de classe C1et γun chemin
directement orient´e encadrant un domaine A. On a l’´egalit´e : Rγω=RRAdω o`u dω = (∂N
∂x −∂M ∂y )dxdy.
On peut ramener la d´emonstration au cas particulier o`u γest le bord du rectangle A= [a, b]×[α, β].
Dans ce cas particulier, on v´erifie le r´esultat par le calcul :
RRAdω =RRA(∂N
∂x −∂M ∂y )dxdy =RRA
∂N
∂x dxdy−RRA
∂M
∂y dxdy =Rβ
α(Rb a
∂N
∂x dx)dy−Rb
a(Rβ α
∂M
∂y dy)dx =Rβ
αN(b, y)dy+
Ra
bM(x, β)dx +Rα βN(a, y)dy +Rb aM(x, α)dx =Rγω
Dans le cas g´en´eral, pour chaque nentier, on recouvre au mieux le domaine Apar des carr´es de cˆot´e 1/n et on
passe `a la limite en faisant n→ ∞.
Exercice : Soit ω= (y2−x2)dx −2xydy d´efinie sur Ω = R2.
1) ωest elle ferm´ee ? exacte ?
2) Soit les points O= (0,0), A= (0, π).
a) Calculer I1=Rγ1ωo`u γ1est le segment OA param´etr´e par x→(x, 0) avec 0 ≤x≤π.
b) Calculer I2=Rγ2ωo`u γ2est le chemin allant de O`a Ad’´equation y= sin xavec 0 ≤x≤π.
c) Comparer I1et I2. Retrouver que ωn’est pas exacte.
3) V´erifier que f(x, y) = 1
(x2+y2)2est un facteur int´egrant de ωsur Ω0= (R2)∗(le plan priv´e de l’origine O)
c’est-`a-dire trouver une fonction V(x, y) telle que fω =dV sur Ω0.
4) D´ecrire les courbes int´egrales de ω.
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