CHAPITRE 2 : Formes diff´erentielles, Int´egrales curvilignes
Soit Ω un ouvert du plan R2, c’est-`a-dire un ensemble qui ne contient aucun point de sa fronti`ere, par exemple
R2entier, un disque ouvert D={(x, y)|(x−a)2+ (y−b)2< R2}, un demi-plan sans sa fronti`ere etc ...
D´efinitions : a) On appelle forme diff´erentielle sur Ω l’expression ω=M(x, y)dx +N(x, y)dy (1) o`u
M, N : Ω →R2sont deux fonctions continues (souvent suppos´ees diff´erentiables).
b) Soit V: Ω →Rune fonction de classe C1. On appelle diff´erentielle totale de Vla forme diff´erentielle
dV =∂V
∂x (x, y)dx +∂V
∂y (x, y)dy (c’est-`a-dire qu’alors M=∂V
∂x et N=∂V
∂y dans (1))
c) La forme ωest ferm´ee si ∂M
∂y (x, y) = ∂N
∂x (x, y)∀(x, y)∈Ω (2)
d) La forme ωest exacte s’il existe V: Ω →Rde classe C1telle que ω=dV . On dit aussi que ωest la
diff´erentielle totale de Vou que Vest un potentiel pour (ou dont d´erive) ω.
Exemple thermodynamique : Un gaz parfait est compress´e d’une certaine fa¸con, son ´etat est caract´eris´e par
vle volume, tla temp´erature et pla pression. Pour de petits accroissements dt et dp de la temp´erature et de la
pression, l’accroissement d’´echange de chaleur est δQ =M(t, p)dt +N(t, p)dp =cdt −vdt o`u cest la capacit´e
calorifique et pv =nRt (´equation des gaz parfaits) qui est une forme diff´erentielle.
Exemple : Ω = R2et ω= (y−3x2)dx + (x−4y)dy
•ωest ferm´ee car ∂(y−3x2)
∂y =1= ∂(x−4y)
∂x ·
•ωest exacte car ∃V: Ω →Rtelle que ∂V
∂x =y−3x2(1) et ∂V
∂y =x−4y(2)
V=xy −x3+f(y) v´erifie (1) pour toute fde classe C1. En reportant dans (2), la fonction fdoit satisfaire :
∂V
∂y =x+f0(y) = x−4y⇐⇒ f0(y) = −4y⇐⇒ f(y) = −2y2+ Cte.
Finalement, avec V(x, y) = xy −x3−2y2+ Cte on a dV =ω.
Remarque : Le potentiel V, quand il existe, est d´efini `a constante pr`es.
Proposition : Si ωest C1et exacte, elle est ferm´ee.
ω=dV =∂V
∂x dx +∂V
∂y dy avec ∂V
∂x et ∂V
∂y C1. D’apr`es le th´eor`eme de Schwartz, on a :
∂
∂y ∂V
∂x =∂2V
∂y∂x =∂2V
∂x∂y =∂V
∂x ∂V
∂y soit ∂M
∂y =∂N
∂x avec M=∂V
∂x et N=∂V
∂y ·
D´efinition : L’application X: Ω →R2d´efinie par X(x, y)=(M(x, y), N(x, y)) est un champ de vecteurs.
D´efinition : Une courbe param´etr´ee γ:t∈I7→ (x(t), y(t)) de classe C1est une courbe int´egrale de
ω=M(x, y)dx +N(x, y)dy si M(x(t), y(t))x0(t) + N(x(t), y(t))y0(t)=0 ∀t∈I. Cette condition revient `a
orthogonalit´e des vecteurs γ0(t) = (x0(t), y0(t)) et X(x(t), y(t)) = (M(x(t), y(t)), N(x(t), y(t))),∀t∈I.
Proposition : Si ω=dV , une courbe int´egrale de ωest une courbe de niveau de V.
D´erivons la fonction d’une variable h(t) = V(x(t), y(t)) par rapport `a t. On a
h0(t) = ∂V
∂x (x(t), y(t)) x0(t) + ∂V
∂y (x(t), y(t)) y0(t) = 0.
D´efinition : On appelle chemin allant de A`a B∈R2une courbe param´etr´ee de classe C1par morceaux
γ: [a, b]→R2telle que γ(a) = A(origine du chemin) et γ(b) = B(extr´emit´e du chemin).
D´efinition : L’int´egrale curviligne de la forme ω=M(x, y)dx +N(x, y)dy le long du chemin γest
Zγ
ω=Zb
a
Mdx +Ndy
dt dt =Zb
a
(M(x(t), y(t))x0(t) + N(x(t), y(t))y0(t))dt =Zb
a
< X(x(t), y(t)), γ0(t)> dt
On dit aussi que le nombre trouv´e est la circulation du champs de vecteurs X(x, y) le long γ.
L’int´egrale curviligne Rγωne d´epend pas de la param´etrisation du chemin γcar changer de param`etre revient
`a faire un changement de variable pour calculer la mˆeme int´egrale : v´erifiez le !
1