Master MEEF mathématiques 2015/2016 MW Document 5

Master MEEF mathématiques 2015/2016
M.W
Document 5 : Primitives et intégrales
Dans ce document, nous nous intéressons aux primitives et aux intégrales de fonctions
continues.
Exo 1. — Soit f : I → R une fonction. Donnez la définition d’une primitive de f .
Complétez cette définition avec quelques exemples.
Exo 2. — Deux primitives diffèrent d’une constante. Donnez un énoncé rigoureux de
ce théorème. Puis, montrez qu’il est équivalent au théorème disant que les primitives de
la fonction nulle sont les fonctions constantes. Démontrez ce dernier théorème à l’aide du
théorème des accroissements fins.
On admettera le théorème suivant.
THÉORÈME. — Toute fonction continue sur un intervalle de R y admet une primitive.
Soit f : I → R une fonction continue et F : I → R une primitive de f . Pour tout a, b ∈ I,
on note
Z b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
Ce qui se lit intégrale de f entre a et b.
Rb
Exo 3. — Montrer que le réel a f (x)dx ne dépend pas du choix de la primitive F de f .
*Exo 4. — Expliquez ce qu’est l’intégrale de Riemann*.
Exo 5. — Enoncez et démontrez la relation de Chasles** pour l’intégrale. Puis, appliquezla à un exemple de calcul.
Exo 6. — Enoncez et démontrez les propriétés de linéarité de l’intégrale. Puis, appliquez-les
à un exemple de calcul.
Exo 7. — Enoncez et démontrez la formule d’intégration par partie. Puis, appliquez-la à
un exemple de calcul.
Exo 8. — Enoncez et démontrez la formule de changement de variable. Puis, appliquez-la
à un exemple de calcul.
Exo 9. — Supposons qu’on a la notion usuelle d’aire dans le plan. On suppose que le plan
P est muni d’un repère orthonormé. Soit f : I → R une fonction continue positive et soient
a, b ∈ I avec a < b. On admet que l’ensemble
Et = {M (x, y) ∈ P | a ≤ x ≤ t , 0 ≤ y ≤ f (x)}
admet une aire. On pose A(t) = A(Et ).
1) Sur un même dessin, représentez A(t) et A(t + h) où t, t + h ∈ [a, b].
* Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) mathématicien allemand. Ses travaux de géométrie ont
profondément influencé la physique théorique moderne.
** Michel Chasles (1793–1880) mathématicien français ayant principalement travaillé en Géométrie.
2) Démontrez l’inégalité h × f (t1 ) ≤ A(t + h) − A(t) ≤ h × f (t2 ) où f (t1 ) et f (t2 ) sont
respectivement le minimum et le maximum de la fonction f sur l’intervalle [t, t + h].
3) En déduire que A : [a,R b] → R est dérivable de dérivée f . En déduire une interprétation
b
géométrique de l’intégrale a f (t)dt.
4) Qu’a-t-on admis pour cette démonstration ? Où le fait que la fonction est continue
intervient-il ?
Exo 10. — Soient
R b a ≤ b deux réels. Soit f : [a, b] → R une fonction continue positive.
Montrez que l’on a a f (x)dx ≥ 0. En déduire que « l’intégration conserve les inégalités entre
fonctions ».
Exo 11. — Donnez un exemple d’utilisation du calcul intégral en physique (par exemple
en électricité).