Master MEEF mathématiques 2015/2016 MW Document 5

Master MEEF math´ematiques 2015/2016 M.W
Document 5 : Primitives et int´egrales
Dans ce document, nous nous int´eressons aux primitives et aux int´egrales de fonctions
continues.
Exo 1. — Soit f:I→Rune fonction. Donnez la d´efinition d’une primitive de f.
Compl´etez cette d´efinition avec quelques exemples.
Exo 2. — Deux primitives diff`erent d’une constante. Donnez un ´enonc´e rigoureux de
ce th´eor`eme. Puis, montrez qu’il est ´equivalent au th´eor`eme disant que les primitives de
la fonction nulle sont les fonctions constantes. D´emontrez ce dernier th´eor`eme `a l’aide du
th´eor`eme des accroissements fins.
On admettera le th´eor`eme suivant.
TH´ EOR ` EME. — Toute fonction continue sur un intervalle de Ry admet une primitive.
Soit f:I→Rune fonction continue et F:I→Rune primitive de f. Pour tout a, b ∈I,
on note
Zb
a
f(x)dx =F(b)−F(a)
Ce qui se lit int´egrale de fentre aet b.
Exo 3. — Montrer que le r´eel Rb
af(x)dx ne d´epend pas du choix de la primitive Fde f.
*Exo 4. — Expliquez ce qu’est l’int´egrale de Riemann*.
Exo 5. — Enoncez et d´emontrez la relation de Chasles** pour l’int´egrale. Puis, appliquez-
la `a un exemple de calcul.
Exo 6. — Enoncez et d´emontrez les propri´et´es de lin´earit´e de l’int´egrale. Puis, appliquez-les
`a un exemple de calcul.
Exo 7. — Enoncez et d´emontrez la formule d’int´egration par partie. Puis, appliquez-la `a
un exemple de calcul.
Exo 8. — Enoncez et d´emontrez la formule de changement de variable. Puis, appliquez-la
`a un exemple de calcul.
Exo 9. — Supposons qu’on a la notion usuelle d’aire dans le plan. On suppose que le plan
Pest muni d’un rep`ere orthonorm´e. Soit f:I→Rune fonction continue positive et soient
a, b ∈Iavec a < b. On admet que l’ensemble
Et={M(x, y)∈ P | a≤x≤t , 0≤y≤f(x)}
admet une aire. On pose A(t) = A(Et).
1) Sur un mˆeme dessin, repr´esentez A(t) et A(t+h) o`u t, t +h∈[a, b].
*Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) math´ematicien allemand. Ses travaux de g´eom´etrie ont
profond´ement influenc´e la physique th´eorique moderne.
** Michel Chasles (1793–1880) math´ematicien fran¸cais ayant principalement travaill´e en G´eom´etrie.

2) D´emontrez l’in´egalit´e h×f(t1)≤A(t+h)−A(t)≤h×f(t2) o`u f(t1) et f(t2) sont
respectivement le minimum et le maximum de la fonction fsur l’intervalle [t, t +h].
3) En d´eduire que A: [a, b]→Rest d´erivable de d´eriv´ee f. En d´eduire une interpr´etation
g´eom´etrique de l’int´egrale Rb
af(t)dt.
4) Qu’a-t-on admis pour cette d´emonstration ? O`u le fait que la fonction est continue
intervient-il ?
Exo 10. — Soient a≤bdeux r´eels. Soit f: [a, b]→Rune fonction continue positive.
Montrez que l’on a Rb
af(x)dx ≥0. En d´eduire que «l’int´egration conserve les in´egalit´es entre
fonctions ».
Exo 11. — Donnez un exemple d’utilisation du calcul int´egral en physique (par exemple
en ´electricit´e).