T SI1 Année 2011-2012 COURS :INTEGRATION -DERIVATION - Table des matières I- Intégrale d’une fonction en escalier I-1 Subdivision . . . . . . . . . . . . . . I-2 Fonction en escalier . . . . . . . . . I-3 Intégrale d’une fonction en escalier . I-4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 3 II- intégrale d’une fonction continue par morceaux II-1 Fonction continue par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2 Approximation d’une fonction continue par morceaux sur un segment par une fction en escalier II-3 Définition de l’intégrale d’une fcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 4 III-propriétés de l’integrale III-1 linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III-2 Relation de chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III-3 Croissance de l’intégrale- la valeur moyenne-inégalité de la III-4 Invariance par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 6 IV-Calcul approché d’intégrales IV-1 Méthode des rectangles : Sommes de RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV-2 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 7 V- Extension aux fonctions à valeurs complexes 7 VI-Primitive et intégrale d’une fonction continue 8 Méthode de calcul VIIVII-1Formule d’intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII-2Formule de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 VIIICalcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 10 IX-Formules de Taylor IX-1 Formule de Taylor Avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 IX-2 Inégalité de Taylor- Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 MOHAMED SAHROURDI 1 T SI1 Année 2011-2012 COURS :INTEGRATION -DERIVATION Intégration sur un segment n ∈ N∗ , a et b deux réels tel que a < b I- Intégrale d’une fonction en escalier I-1 Subdivision Définition 1 : • On appelle subdivision du segment [a, b] toute famille σ = (xi )0≤i≤n d’élément de [a, b] telle que a = x0 < x1 < x2 .... < xn−1 < xn = b • On appelle pas ou module de la subdivision σ = (xi )0≤i≤n le réel : δ(σ) = max (xi+1 − xi ) 0≤i≤n • On dit que la subdivision σ = (xi )0≤i≤n est plus fine que la subdivision σ ′ = (yi )0≤i≤p et on note σ ′ ≪ σ si tout élément de la famille σ ′ est est un élément de σ (( σ ′ est une sous- famille de σ)) σ = (xi ) : a = x0 x1 σ ′ = (yi ) : a = y0 b b b b x2 b b x3 y1 b x4 y2 b b xi yi b xn = b yp = b b b Exemple 1 1 1 8 1 < < < < < 1 est une subdivison du segment [0, 1] quel est son pas ? 1 : σ : 0 < 9 7 6 2 9 1 1 8 σ ′ : 0 < < < < 1 une est une autre subdivision de [0, 1] qui vérifie σ ′ ≪ σ 6 2 9 Exemple 2 : on pose ∀k ∈ [[0, n]] : Proposition b−a ; σ = (xk )0≤k≤n est un subdivision de [a, b] n 1 : Si σ et σ ′ deux subdivision de [a,b] alors σ ∪ σ ′ est plus fine que σ et σ ′ σ = (xi ) : a = x0 x1 σ ′ = (yi ) : y0 = a σ ∪ σ′ : b b b b I-2 xk = a + k b b b x2 y1 b b x3 b b xi b xi+1 b b b b xn−1 b b y2 b b b b yj yi b xn = b yp = b b b Fonction en escalier Définition 2 : on dit qu ’une fonction φ est en escalier sur [a,b] si il existe une subduvision σ = (xi )0≤i≤n telle que φ est constante sur chacun des intervalles ]xi , xi+1 [, (0 ≤ i ≤ n − 1)) , une telle subdivision σ est dite subdivision subordonnée à φ b b a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 = b b Exemple 3 : la partie entière sur un segment [a, b] .une subdivision subordonnée à la partie entière est formée de a, b et tous les entiers compris entre a et b MOHAMED SAHROURDI 2 T SI1 Année 2011-2012 COURS :INTEGRATION -DERIVATION Exemple 4 : une fonction constante sur un segment Remarque 1 : • Toute fonction en escalier sur un segment prend un nombre fini de valeurs , donc elle est bornée • Si σ subordonnée à φ et σ ≪ σ ′ alors σ ′ subordonnée à φ • Si φ et ψ deux fonctions en escaliers sur [a, b] alors λφ + ψ est en escalier , car σ1 associe à φ et σ2 associe àψ alors σ1 ∪ σ2 est plus fine est associe à λφ + ψ • E([a, b], R) l’ensemble des fonction en escaliers sur [a,b] est un sev de F ([a, b], R) I-3 Intégrale d’une fonction en escalier Définition 3 : Soit φ une fonction en escalier sur [a,b] et σ = (xi )0≤i≤n une subdivision subordonnée à φ et et telle que ∀0 ≤ i ≤ n − 1, ci est la valeur de φ sur ]xi , xi + 1[ Z b Z i=n−1 X (xi+1 − xi )ci φ= φ(t)dt = On appelle integrale deφ sur le segment [a, b] le réel noté par [a,b] a Remarque i=0 2 : cette intégrale est indépendant de la subdivision subordonnée en effet : • si σ ′ = (x0 = a < x1 ... < xi < c < xi+1 < ... < xn = b) = σ∪c alors ((xi+1 −xi )ci = (c−xi )ci +(xi+1 −c)ci donc l’intégrale ne change pas si on prend une subdivision en ajoutant à σ un élément , donc de même en ajoutant un nombre fini d’éléments • si σ et σ ′ deux subdivisions subordonnées à φ ,on prend σ ∪ σ ′ b b b b b b b b b b a = x0 b b x1 b b x2 b x3 Exemple 5 : Calculer Z [0, I-4 b x4 b b b b x5 x6 = b b b 3 E(x)dx ] 2 Propriétés Proposition 2 : (linéarité , croissance ,Relation de chasles ) Soit φ et ψ deux fonctions en escaliers sur [a,b] on a les propriétés suivantes : Z Z Z ψ φ+ λφ + ψ = λ 1. linéarité : ∀λ ∈ R : 2. positivité : φ ≥ 0 ⇒ [a,b] 3. Croissance : φ ≥ ψ ⇒ φ≥0 Z [a,b] Z R 4. Inégalité : φ ≤ [a,b] |φ| [a,b] φ≥ 5. Relation de Chasles : ∀c ∈ [a, b] : MOHAMED SAHROURDI [a,b] [a,b] [a,b] Z Z Z [a,b] 3 ψ [a,b] φ= Z [a,c] φ+ Z [c,b] φ T SI1 Année 2011-2012 COURS :INTEGRATION -DERIVATION II- intégrale d’une fonction continue par morceaux II-1 Fonction continue par morceaux sur un segment Définition 4 : On dit qu ’une fonction f est continue par morceaux sur [a, b] s’il existe un subdivision σ = (xi )0≤i≤n telle que pour tout i ∈ [|0, n − 1|]la restriction de f à ]xi , xi+1 [ soit continue et admette des limites finies en xi et xi+1 b b b b b b b x0 x1 x2 x3 x4 Exemple 6 : Une fonction continue sur [a,b] est continue par morceaux Exemple 7 : Une fonction en escalier sur [a,b]est continue par morceaux Exemple 8 : f : x 7→= Remarque II-2 x 1 x+1 x2 0 si si x ∈ [0, 1] x ∈]1, 2[ est continue par morceau sur [0, 3] si x ∈ [2, 3[ si x = 3 3 : Toute fonction continue par morceaux sur un segment est bornée Approximation d’une fonction continue par morceaux sur un segment par une fction en escalier Théorème 1 :(admis pour TSI : théorème d’approximation ) Soit f une fonction continue par morceaux sur [a,b], ∀ε > 0 il existe deux fonction φ et ψen escaliers sur [a, b] telles que : φ ≤ f ≤ ψ et ψ − φ ≤ ε II-3 Définition de l’intégrale d’une fcm Proposition 3 : Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b] on a : (Z ) φ | φen escalier et φ ≤ f admet une borne supérieure S (Z[a,b] ) ψ [a,b] | ψen escalier et f ≤ ψ admet une borne inférieure I de plus I=S Définition 5 : on appelle intégrale de f le réel qu’on note par Z f ou [a,b] Z [a,b] MOHAMED SAHROURDI f= sup φen escalier et φ≤f 4 Z [a,b] φ= inf Rb a ψen escalier et f ≤ψ f (t)dt et qui vaut : Z [a,b] ψ T SI1 Année 2011-2012 COURS :INTEGRATION -DERIVATION III- propriétés de l’integrale III-1 linéarité Proposition Z continue par morceaux sur [a,b] Z fonctions Z4 : Soit f et g deux g, f+ (λf + g) = λ pour toutλ ∈ R, [a,b] [a,b] [a,b] Démonstration. Soit f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a, b] et λ ∈ R. Soit ε > 0. d’après le théorème d’approximation il existe φ1 , φ1 , ψ1, ψ2 quatre fonction en escalier sur [a, b] telle que On pose θi = ψi + φi 2 pour i=1 φ1 ≤ f ≤ ψ1 φ2 ≤ g ≤ ψ2 et et ψ1 − φ1 ≤ ε ψ2 − φ2 ≤ ε i=2 , et h = λf + g, θ = λθ1 + θ2 ε |f − θ1 | ≤ 2 Z Z ε 2 Z [a,b] Z[a,b] ε θ2 | ≤ (b − a) g− | 2 [a,b] [a,b] | f− (∗∗) θ1 | ≤ (b − a) ε |g − θ2 | ≤ puis 2 Z Z ε ε |h − θ| ≤ (|λ| + 1) θ| ≤ (b − a)(|λ| + 1) h− | 2 2 [a,b] [a,b] Donc en utilisant la linéarité de l’integrale des fonction en escaliers on a Z Z Z Z Z Z Z Z Z h−λ f− g = h− θ+λ θ1 + θ2 − λ f− g = [a,b] [a,b] [a,b] [a,b] [a,b] [a,b] Z ! [a,b] ! ![a,b] Z [a,b] Z Z Z Z θ + h− g −λ θ2 − θ1 , en utilisant l’inégalité triangulaire et les f− [a,b] [a,b] [a,b] [a,b] [a,b] [a,b] majorations dans (∗∗) on obtient Z Z Z g ≤ (|λ| + 1)(b − a)ε f− h−λ [a,b] [a,b] [a,b] on vérifie que Z h−λ [a,b] Z en remplaçant h par son expression : ceux ci pour tout ε > 0 doù Z [a,b] III-2 Z g = 0 et parsuite Z Z (λf + g) = λ f+ g [a,b] f− [a,b] [a,b] [a,b] Relation de chasles Proposition 5 : Z Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b] et c ∈]a, b[ On a : f= [a,b] Démonstration. Soit φ Zune fonction inférieure à f Z Z Z en escalier f φ≤ φ+ φ= on a : [a,b] [a,c] [c,b] [a,b] Z Z f+ [a,c] Z Z f [c,b] Z φ et d’autre part f − f ≤ en utilisant la définition de la borne sup on obtient d’une part [c,b] [a,b] [a,c] Z Z Z f f− f≤ [a,c] Z [a,b] Z [c,b] Z f f≤ f+ donc [a,c] [c,b] Z Z[a,b] Z f lorsqu on fixe une fonction en escalier ψ telle que ψ ≥ f f≥ f+ on montrer que [c,b] [a,c] [a,b] puis on utilise deux fois la définition de la borne inférieure MOHAMED SAHROURDI 5 T SI1 Année 2011-2012 COURS :INTEGRATION -DERIVATION III-3 Croissance de l’intégrale- la valeur moyenne-inégalité de la moyenne Proposition 6 : Soit f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a, b] on a les propriétés suivantes : Z 1. Positivité : f ≥ 0 ⇒ f ≥0 [a,b] 2. Croissance : f ≤ g ⇒ Z [a,b] f≤ Z g [a,b] 3. la valeur moyenne : inf f (x) ≤ x∈[a,b] Z f [a,b] b−a ≤ sup f (x) x∈[a,b] si de plus f est continue sur [a,b] alors il existe c ∈ [a, b] telle que f (c) = Z R 4. Inégalité : f ≤ [a,b] |f | [a,b] 1 b−a Z f [a,b] 5. Inégalité de la moyenne :si g est continue par morceaux sur [a,b] alors Z Z f g ≤ sup |g| |f (x)| [a,b] x∈[a,b] [a,b] 6. Si f est positive et continue sur [a,b] alors f = 0 ⇔ III-4 Z f =0 [a,b] Invariance par translation Proposition 7 : Si f est une fonction continue par morceau sur [a, b] pour tout c ∈ R Z b+c a+c f (x − c)dx = Z b f (x)dx a Démonstration. traiter le cas où f est en escalier puis passer a sup Exemple Z 9 : Si f est T- pérodique continue par morceaux sur R alors pour tout réel a : T Z a+T f (t)dt = a f (t)dt 0 IV- Calcul approché d’intégrales IV-1 Méthode des rectangles : Sommes de RIEMANN b b b b b b b L’air des rectangles hachurés est : k=n−1 b−a b−a X )= f (a + k n n b b b x0 b x1 x2 MOHAMED SAHROURDI x3 x4 x9 6 x10 b−a n k=0 k=n−1 X k=0 f (xk ) T SI1 Année 2011-2012 COURS :INTEGRATION -DERIVATION b b b b b b b L’air des rectangles hachurés est : k=n b−a b−a X )= f (a + k n n b b k=1 b k=n−1 b−a X f (xk ) n b k=0 x0 x1 Théorème x2 x3 x4 x9 x10 2 : (Sommes de RIEMANN) Si f ∈ C([a, b]) alors k=n−1 k=n b−a X b−a b−a b−a X ) = lim ) f (a + k f (a + k n→+∞ n→+∞ n n n n Z f = lim [a,b] k=0 Exemple IV-2 k=1 10 : Méthode des trapèzes Théorème 3 :Si f ∈ C([a, b]) alors " # k=n−1 b − a (f a) + f (b) X b−a f = lim ) f (a + k n→+∞ n 2 n [a,b] Z k=1 Démonstration. b−a on pose xk = a + k n " " n−1 # # Z b n−1 n b − a f (a) + f (b) X b−a 1 X 1X on a : f (xk ) = + f (xk ) + f (xk ) tend vers f (t)dtd’après le n 2 n 2 2 a k=1 k=0 k=1 théorème précédent " "n−1 # # n−1 b − a f (a) + f (b) X b − a X (f (xk ) + f (xk+1 )) 4 : on a + f (xk ) = n 2 n 2 Remarque k=1 b k=0 b b b b b b b b b b b x0 V- b x1 b x2 b x3 b b b b x4 b b x9 L’aire des trapèzes hachurés est# "n−1 X b−a (f (xk ) + f (xk+1 )) : n 2 k=0 b x10 Extension aux fonctions à valeurs complexes Définition 6 : Soit continueZ par morceaux à valeurs complexes , l’intégrale de f sur le segment Z Z f une fonction [a,b] MOHAMED SAHROURDI Im(f ) Re(f ) + i f= [a, b]qu ’on note par [a,b] [a,b] 7 T SI1 Année 2011-2012 COURS :INTEGRATION -DERIVATION Remarque 5 : les propriétes suivantes sont maintenues dans le cas complexes : 1. la linéarité de l’intégrale 2. la relation de chales Z Z R R 3. les inégalités : f ≤ [a,b] |f | et f g ≤ supx∈[a,b] |f (x)| [a,b] |g| [a,b] [a,b] Intégration et dérivation Les fonctions considérées sont définies sur un intervalle I non vide, non réduit à un singleton , à valeurs réels ou complexes. K désignera R ou C VI- Primitive et intégrale d’une fonction continue Définition 7 : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I,On dit qu’une fonction F est une primitive de f sur I : Si F est dérivable sur I et ∀x ∈ I : F ′ (x) = f (x) Proposition 8 : deux primitives d’une même fonction différent d’une constante Démonstration. ∀x ∈ I : F ′ (x) = G′ (x) ⇔ (F − G)′ (x) = 0 ⇔ F − G = k ∈ K Exemple 11 : cos, sin, exp, ln, sinh, cosh, les polynômes Théorème 4 : théorème fondamental : Etant donnés une fonction f continue sur un intervalle I et a ∈ I . Z x La fonction F : x 7→ f (t)dt est dérivable sur I ,et l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a a Démonstration. Z x 1 F (x) − F (x0 ) − f (x0 ) = (f (t) − f (x0 )) Soit x0 ∈ I ,∀x ∈ I, x 6= x0 : x − x0 x − x0 x0 Puis écrire la définition de la continuité de f en x0 et intégrer entre x et x0 Corollaire 1 : Si h est une primitive d’une fonction continue sur I alors ∀a, b ∈ I : Z b a f (t)dt = h(b) − h(a) Proposition 9 : Soit f : I 7→ K continue , φ et ψ deux fonctions dérivables sur un intervalle J , et telle que φ(J) ⊂ I et ψ(J) ⊂ I Z ψ(x) La fonction g : x 7→ f (t)dt est dérivable sur J et on a: φ(x) ′ ∀x ∈ J, g (x) = ψ (x)f (ψ(x) − φ′ (x)f (φ(x)) Exercice ′ 1 : Etudier et tracer la courbe de f : x 7→ MOHAMED SAHROURDI 8 f (x) = Z 2x e−t t x f (0) = ln 2 si x ∈ R∗ T SI1 Année 2011-2012 COURS :INTEGRATION -DERIVATION VII- Méthode de calcul VII-1 Formule d’intégration par parties Théorème 5 : Soit u, v ∈ C 1 (I, K) et a, b ∈ I. Z Z b u(t)v ′ (t)dt = [u(t)v(t)]ba − a Exemple 12 : ∀x ∈ R∗+ Z b u′ (t)v(t) a x ln tdt = x ln x − x + 1 1 Exercice 2 : (Intégrale de Wallis ) Rπ Soit n ∈ N, on pose In = 02 sinn xdx ,Montrer que : et vérifier les formules de Wallis : I2n = VII-2 ∀n ≥ 2 : In = (2n)! π , et 2 2n 2 (n!) 2 n−1 In−2 n 2 I2n+1 = 22n (n!) (2n + 1)! Formule de changement de variable Théorème 6 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I , φ une fonction à valeurs dans I ,et de classe C 1 sur un segment [α, β] On a : Z φ(β) Z β f (x)dx = f (φ(t))φ′ (t)dt φ(α) α Remarque 6 : On pratique on pose dx = φ′ (t) ⇒ dx = φ′ (t)dt, f (x)dx = f (φ(t))φ′ (t)dt x = φ(t) puis dt et on change les bornes Exemple 13 : Calculer Z −1 p 1 − x2 dx 1 Proposition 10 : 1. f ∈ C([−a, a], K)et paire ⇒ Z a f (t)dt = 2 Z a MOHAMED SAHROURDI Z f (t)dt = 0 b a f (t)dt −a 3. Si f T − périodique et continue alors 4. Si f est continue sur [a, b] a 0 −a 2. f ∈ C([−a, a], K)et impaire ⇒ Z Z b+T f (t)dt = a+T f (x)dx = (b − a) 9 Z b f (t)dt a Z −01 f (a + (b − a)t)dt ( par le changement x = a + (b − a)t) T SI1 Année 2011-2012 COURS :INTEGRATION -DERIVATION VIII- Calcul de primitives Fonction xα avec α 6= −1 1 x ln x eαx avec α ∈ C∗ Primitive Intervalle de validité ∗ R∗+ ou R si α ∈ N ou R− si α ∈ Z ln |x| R∗+ ou R∗− x ln x − x R∗+ R ax avec (a > 0, a 6= 1 ax ln a R tan x − ln |cosx| ] π −π + kπ, + kπ[, 2 2 k∈Z tan2 x tan x − x ] π −π + kπ, + kπ[, 2 2 k∈Z 1 cos2 x 1 sin2 x tan x cos x − sin x ] cos(ax + b) avec (a 6= 0) sin(ax + b) avec (a 6= 0) cosh(ax + b) avec (a 6= 0) sinh(ax + b) avec (a 6= 0) tanh x 1 cosh2 x 1 1 + x2 1 1 − x2 1 √ 1 + x2 1 √ 1 − x2 1 √ 2 x −1 R R R R π −π + kπ, + kπ[, k∈Z 2 2 ]kπ, π + kπ[, k∈Z x − tanh x R tanh x R arctan x x+1 1 ln | | 2 x−1 √ ln(x + x2 + 1) R arcsin x √ ln |x + x2 − 1| ] − ∞, −1[ ou ] − 1, 1[ ou ]1, +∞[ R ] − 1, 1[ ] − ∞, −1[ou ]1, +∞[ IX- Formules de Taylor IX-1 Formule de Taylor Avec reste intégral Théorème f (b) = k=n X k=0 7 : Si f est de classe C n+1 sur I alors ∀a, b ∈ I: Z b k n (b − a) (k) (b − t) (n+1) f (a) + f (t)dt k! n! {z } |a Reste intégral Démonstration. Par récurrence sur n Exemple IX-2 14 : ∀x ∈ [−π, π] : 1 − x2 x2 x4 ≤ cos x ≤ 1 − + 2 2 4! Inégalité de Taylor- Lagrange Théorème 8 : Si f est de classe C n+1 sur I alors ∀a, b ∈ Iavec k=n (|b − a)|n+1 X (b − a)k (k) f (a) ≤ sup |f n+1 (t)| f (b) − k! (n + 1)! t∈[a,b] k=0 MOHAMED SAHROURDI 10 a≤b: T SI1 Année 2011-2012 COURS :INTEGRATION -DERIVATION Exemple 15 : Pour tout x ∈ R ona : lim n→+∞ lim n→+∞ lim n→+∞ lim n→+∞ MOHAMED SAHROURDI 11 k=0 k=0 k=0 k=0 k=n X k=n X k=n X k=n X xk = ex k! (ix)k = eix k! (−1)k x2k = cos x k! (−1)k x2k+1 = sin x k!