cours integration

COURS :INTEGRATION -DERIVATION
T SI1
Ann´ee 2011-2012
-
Table des mati`eres
I- Int´egrale d’une fonction en escalier 2
I-1 Subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I-2 Fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I-3 Int´egrale d’une fonction en escalier ................................... 3
I-4 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II- int´egrale d’une fonction continue par morceaux 4
II-1 Fonction continue par morceaux sur un segment ........................... 4
II-2 Approximation d’une fonction continue par morceaux sur un segment par une fction en escalier 4
II-3 D´efinition de l’int´egrale d’une fcm ................................... 4
III-
propri´et´es de l’integrale 5
III-1 lin´earit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III-2 Relation de chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III-3 Croissance de l’int´egrale- la valeur moyenne-in´egalit´e de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III-4 Invariance par translation ........................................ 6
IV-
Calcul approch´e d’int´egrales 6
IV-1 M´ethode des rectangles : Sommes de RIEMANN ........................... 6
IV-2 M´ethode des trap`ezes .......................................... 7
V- Extension aux fonctions `a valeurs complexes 7
VI-
Primitive et int´egrale d’une fonction continue 8
VII-
M´ethode de calcul 9
VII-1Formule d’int´egration par parties .................................... 9
VII-2Formule de changement de variable .................................. 9
VIII-
Calcul de primitives 10
IX-
Formules de Taylor 10
IX-1 Formule de Taylor Avec reste int´egral ................................. 10
IX-2 In´egalit´e de Taylor- Lagrange ...................................... 10
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Int´egration sur un segment
n∈N∗, a et b deux r´eels tel que a < b
I- Int´egrale d’une fonction en escalier
I-1 Subdivision
D´efinition 1:
•On appelle subdivision du segment [a, b]toute famille σ= (xi)0≤i≤nd’´el´ement de [a, b]
telle que a=x0< x1< x2.... < xn−1< xn=b
•On appelle pas ou module de la subdivision σ= (xi)0≤i≤nle r´eel : δ(σ) = max
0≤i≤n(xi+1 −xi)
•On dit que la subdivision σ= (xi)0≤i≤nest plus fine que la subdivision σ′= (yi)0≤i≤pet on note σ′≪σ
si tout ´el´ement de la famille σ′est est un ´el´ement de σ(( σ′est une sous- famille de σ))
a=x0x1x2x3
y2
xi
σ= (xi) :
σ′= (yi) : x4xn=b
a=y0y1
x2
yi
x4
yp=b
Exemple 1:σ: 0 <1
9<1 7<1 6<1 2<8 9<1est une subdivison du segment [0,1] quel est son pas ?
σ′: 0 <1
6<1 2<8 9<1une est une autre subdivision de [0,1] qui v´erifie σ′≪σ
Exemple 2: on pose ∀k∈[[0, n]] : xk=a+kb−a
n;σ= (xk)0≤k≤nest un subdivision de [a, b]
Proposition 1: Si σet σ′deux subdivision de [a,b] alors σ∪σ′est plus fine que σet σ′
a=x0x1x2x3xixi+1 xn−1xn=b
y0=a y1y2yiyjyp=b
σ= (xi) :
σ′= (yi) :
σ∪σ′:
I-2 Fonction en escalier
D´efinition 2: on dit qu ’une fonction φest en escalier sur [a,b] si il existe une subduvision σ= (xi)0≤i≤n
telle que φest constante sur chacun des intervalles ]xi, xi+1[,(0 ≤i≤n−1)) , une telle subdivision σest
dite subdivision subordonn´ee `a φ
a=x0x1x2x3x4x5x6=b
Exemple 3: la partie enti`ere sur un segment [a, b].une subdivision subordonn´ee `a la partie enti`ere est form´ee
de a, b et tous les entiers compris entre a et b
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Exemple 4: une fonction constante sur un segment
Remarque 1:
•Toute fonction en escalier sur un segment prend un nombre fini de valeurs , donc elle est born´ee
•Si σsubordonn´ee `a φet σ≪σ′alors σ′subordonn´ee `a φ
•Si φet ψdeux fonctions en escaliers sur [a, b]alors λφ +ψest en escalier , car σ1associe `a φet σ2
associe `aψalors σ1∪σ2est plus fine est associe `a λφ +ψ
• E([a, b],R)l’ensemble des fonction en escaliers sur [a,b] est un sev de F([a, b],R)
I-3 Int´egrale d’une fonction en escalier
D´efinition 3: Soit φune fonction en escalier sur [a,b] et σ= (xi)0≤i≤nune subdivision subordonn´ee `a φ
et et telle que ∀0≤i≤n−1, ciest la valeur de φsur ]xi, xi+ 1[
On appelle integrale deφsur le segment [a, b]le r´eel not´e par Z[a,b]
φ=Zb
a
φ(t)dt =
i=n−1
X
i=0
(xi+1 −xi)ci
Remarque 2: cette int´egrale est ind´ependant de la subdivision subordonn´ee en effet :
•si σ′= (x0=a < x1... < xi< c < xi+1 < ... < xn=b) = σ∪calors ((xi+1 −xi)ci= (c−xi)ci+(xi+1 −c)ci
donc l’int´egrale ne change pas si on prend une subdivision en ajoutant `a σun ´el´ement , donc de mˆeme en
ajoutant un nombre fini d’´el´ements
•si σet σ′deux subdivisions subordonn´ees `a φ,on prend σ∪σ′
a=x0x1x2x3x4x5x6=b
Exemple 5: Calculer Z[0,3
2]
E(x)dx
I-4 Propri´et´es
Proposition 2: (lin´earit´e , croissance ,Relation de chasles )
Soit φet ψdeux fonctions en escaliers sur [a,b] on a les propri´et´es suivantes :
1. lin´earit´e : ∀λ∈R:Z[a,b]
λφ +ψ=λZ[a,b]
φ+Z[a,b]
ψ
2. positivit´e : φ≥0⇒Z[a,b]
φ≥0
3. Croissance : φ≥ψ⇒Z[a,b]
φ≥Z[a,b]
ψ
4. In´egalit´e :Z[a,b]
φ≤R[a,b]|φ|
5. Relation de Chasles : ∀c∈[a, b] : Z[a,b]
φ=Z[a,c]
φ+Z[c,b]
φ
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II- int´egrale d’une fonction continue par morceaux
II-1 Fonction continue par morceaux sur un segment
D´efinition 4: On dit qu ’une fonction f est continue par morceaux sur [a, b]s’il existe un subdivision
σ= (xi)0≤i≤ntelle que pour tout i∈[|0, n −1|]la restriction de f `a ]xi, xi+1[soit continue et admette des limites
finies en xiet xi+1
x0x1x2x3x4
Exemple 6: Une fonction continue sur [a,b] est continue par morceaux
Exemple 7: Une fonction en escalier sur [a,b]est continue par morceaux
Exemple 8:f:x7→=
xsi x∈[0,1]
1
x+ 1 si x∈]1,2[
x2si x∈[2,3[
0si x= 3
est continue par morceau sur [0,3]
Remarque 3: Toute fonction continue par morceaux sur un segment est born´ee
II-2 Approximation d’une fonction continue par morceaux sur un segment par
une fction en escalier
Th´eor`eme 1:(admis pour TSI : th´eor`eme d’approximation )
Soit f une fonction continue par morceaux sur [a,b], ∀ε > 0il existe deux fonction φet ψen escaliers sur [a, b]
telles que :
φ≤f≤ψet ψ−φ≤ε
II-3 D´efinition de l’int´egrale d’une fcm
Proposition 3: Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b]on a :
(Z[a,b]
φ|φen escalier et φ≤f)admet une borne sup´erieure S
(Z[a,b]
ψ|ψen escalier et f≤ψ)admet une borne inf´erieure I
de plus I=S
D´efinition 5: on appelle int´egrale de f le r´eel qu’on note par Z[a,b]
fou Rb
af(t)dt et qui vaut :
Z[a,b]
f= sup
φen escalier et φ≤fZ[a,b]
φ= inf
ψen escalier et f≤ψZ[a,b]
ψ
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III- propri´et´es de l’integrale
III-1 lin´earit´e
Proposition 4: Soit f et g deux fonctions continue par morceaux sur [a,b]
pour toutλ∈R,Z[a,b]
(λf +g) = λZ[a,b]
f+Z[a,b]
g,
D´emonstration.
Soit f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a, b]et λ∈R.
Soit ε > 0. d’apr`es le th´eor`eme d’approximation
il existe φ1, φ1, ψ1, ψ2quatre fonction en escalier sur [a, b]telle que φ1≤f≤ψ1et ψ1−φ1≤ε
φ2≤g≤ψ2et ψ2−φ2≤ε
On pose
θi=ψi+φi
2pour i= 1 , i = 2
et
h=λf +g, θ =λθ1+θ2
on v´erifie que
|f−θ1| ≤ ε
2
|g−θ2| ≤ ε
2
|h−θ| ≤ (|λ|+ 1) ε
2
puis
|Z[a,b]
f−Z[a,b]
θ1| ≤ (b−a)ε
2(∗∗)
|Z[a,b]
g−Z[a,b]
θ2| ≤ (b−a)ε
2
|Z[a,b]
h−Z[a,b]
θ| ≤ (b−a)(|λ|+ 1) ε
2
Donc en utilisant la lin´earit´e de l’integrale des fonction en escaliers on a
Z[a,b]
h−λZ[a,b] f−Z[a,b] g
=Z[a,b]
h−Z[a,b] θ+λZ[a,b] θ1+Z[a,b] θ2−λZ[a,b] f−Z[a,b] g
=
 Z[a,b]
h−Z[a,b]
θ!+ Z[a,b]
θ2−Z[a,b]
g!−λ Z[a,b]
f−Z[a,b]
θ1!
, en utilisant l’in´egalit´e triangulaire et les
majorations dans (∗∗)on obtient
Z[a,b]
h−λZ[a,b]
f−Z[a,b]
g≤(|λ|+ 1)(b−a)ε
ceux ci pour tout ε > 0do`uZ[a,b]
h−λZ[a,b]
f−Z[a,b]
g= 0 et parsuite
en rempla¸cant h par son expression :Z[a,b] (λf +g) = λZ[a,b] f+Z[a,b] g
III-2 Relation de chasles
Proposition 5:
Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b]et c∈]a, b[On a : Z[a,b] f=Z[a,c] f+Z[c,b] f
D´emonstration.
Soit φune fonction en escalier inf´erieure `a f
on a : Z[a,b]
φ=Z[a,c]
φ+Z[c,b]
φ≤Z[a,b]
f
en utilisant la d´efinition de la borne sup on obtient d’une part Z[a,c]
f≤Z[a,b]
f−Z[c,b]
φet d’autre part
Z[c,b]
f≤Z[a,b]
f−Z[a,c]
f
donc Z[c,b]
f+Z[a,c]
f≤Z[a,b]
f
on montrer que Z[c,b]
f+Z[a,c]
f≥Z[a,b]
florsqu on fixe une fonction en escalier ψtelle que ψ≥f
puis on utilise deux fois la d´efinition de la borne inf´erieure 
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