1 Fonctions en escalier et intégrabilité 2 Manipulations simples sur

Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2012-2013
Cursus pr´eparatoire, 1`ere ann´ee 2`eme semestre : Analyse
Feuille d’exercices 7
Int´ egration
1 Fonctions en escalier et int´egrabilit´e
Exercice 8.1.
1. Montrer que le produit de deux fonctions en escalier sur un intervalle Iest une fonction en
escalier sur I.
2. La compos´ee de deux fonctions en escalier sur un intervalle Iest-elle toujours une fonction
en escalier sur I?
Exercice 8.2. 1. Montrer que si fest une fonction born´ee, int´egrable et paire sur l’intervalle
[−a, a], alors
Ra
−af(x)dx = 2 Ra 0f(x)dx,
2. Montrer que si fest une fonction born´ee, int´egrable et impaire sur l’intervalle [−a, a], alors
Ra
−af(x)dx = 0.
Exercice 8.3. Soit fune fonction born´ee sur [a, b]. On sait que fint´egrable sur [a, b]⇒ |f|
int´egrable sur [a, b]. Est-ce que la r´eciproque est ´egalement vraie ?
2 Manipulations simples sur les int´egrales d´efinies
Exercice 8.4. Prouver l’´enonc´e suivant :
Si fest une fonction continue sur un intervalle [a;b], `a valeurs positives, telle que Zb
a
f(x)dx = 0,
alors fest nulle sur [a;b].
Exercice 8.5. Soit fest une fonction continue sur un intervalle [a;b].
Montrer que fest de signe constant si et seulement si Zb
a|f(t)|dt =
Zb
a
f(t)dt .
Exercice 8.6. Soit fune fonction continue de R+dans R.
Montrer que, lorsque xtend vers 0 par valeurs strictement positives, 1
x2Zx
0
tf(t)dt tend vers
1
2f(0).
1

Exercice 8.7. 1. Montrer que un=Zπ
4
0
sinn(t)dt tend vers 0 quand ntend vers +∞.
2. Montrer que un=Zπ
2
0
sinn(t)dt tend vers 0 quand ntend vers +∞.
Exercice 8.8. Donner une expression raisonnablement simple des d´eriv´ees des fonctions suivantes :
f(x) = Zx+1
x
et
tdt g(x) = Zx2
0
(Arctan(t+x))7dt.
Exercice 8.9.
1. Calculer I=Z1
0
ln(1 + t2)dt.
2. Pour n≥1 on pose un=Z1
0
n
p1 + t2dt. Calculer lim
n→+∞
un.
3. (a) A l’aide du d´eveloppement de Taylor-Lagrange, d´eduire l’in´egalit´e : |eu−1−u| ≤ 1
2u2eu.
(b) En d´eduire que pour tout t∈[0,1], on a 
n
√1 + t2−1−1
nln(1 + t2)
≤1
n2, puis fournir
une suite (vn)ntr`es simple telle que un−1
vn−→ 1 quand n→+∞.
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