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Physique – Partie D – Chapitre 11 : Mouvements plans
2.3. Étude d’un mouvement circulaire uniforme
Le mouvement des planètes du système solaire est quasiment circulaire (à l’exception de mercure : e = 0,206).
Lorsque l’on étudie un mouvement à force centrale on utilise fréquemment, pour simplifier les calculs, un repère
appelé « repère de Frenet ». Ce repère est centré sur l’objet en mouvement. Ici, il est centré en P. Il possède un
vecteur unitaire £T tangent à la trajectoire (en général son sens est celui du
mouvement), et un second vecteur unitaire £n (normal) perpendiculaire à £T (donc à la
trajectoire en P), et s’appuyant sur le rayon de courbure de la trajectoire en ce point.
Dans ce repère on a donc : £v = v.£T (le vecteur vitesse est toujours tangent à la
trajectoire) et £a = aT.£T + an.£n.
On peut montrer (hors programme) que la dérivée du vecteur vitesse £v, dans le
repère de Frenet donne une accélération £a, dans le repère de Frenet, de la forme :
£a = d£v
dt = dv
dt.£T + v
r.£n
Si le mouvement circulaire est uniforme, dv
dt = 0 ( d£v
dt £0 !) : les vecteurs vitesse £v et accélération £a sont
perpendiculaires. Le vecteur accélération £a est radial et dirigé vers le centre attracteur : £a = £an = v2
r.£n.
D’après la 2nde loi de Newton, résultante des forces et accélération ont même direction et même sens.
Ainsi un mouvement est circulaire et uniforme, si :
– la résultante des forces est radiale et orientée vers le centre de la trajectoire circulaire ;
– La vitesse initiale de l’objet est une constante non nulle, adaptée à la valeur de la force centrale.
2.4. Rappel de la loi de gravitation universelle
Isaac Newton a énoncé, en 1687 (Principes Mathématiques de la
philosophie naturelle), la loi de gravitation universelle entre deux
corps A et B de masse respective mA et mB.
Si les corps A et B ont des répartitions de masse à symétrie
sphérique, et si la distance r qui les sépare est grande devant leur
taille, les corps A et B exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction gravitationnelle :
£FA/B = – £FB/A = – G.mA.mB
r.£uAB
ou £FA/B = G.mA.mB
r.£uBA
FA/B : valeur de la force de gravitation exercée par A sur B (N)
FB/A : valeur de la force de gravitation exercée par B sur A (N)
mA et mB : masse respective des corps A et B (kg)
r : distance entre les centres d’inertie des corps A et de B (m)
G : constante de gravitation universelle G = 6,67.10–11 m3.kg–1.s–2
2.5. Application de la seconde loi de Newton au mouvement des planètes
2.5.1. Expression de la vitesse d’une planète
On considère une planète P de masse m, en mouvement autour du Soleil de masse MS.
Définition du système : le système étudié est la {planète} dans le référentiel héliocentrique, galiléen ;
Bilan des forces extérieures : la {planète} est soumise à la force de gravitation £FS/P = G.MS.m
r.£uPS.
Utilisation de la seconde loi de Newton : £Fext = m.£a G.MS.m
r.£uPS = m.£a £a = G.MS
r.£uPS.
Nous avons vu que dans le repère de Frenet, l’accélération est de la forme £a = dv
dt.£T + v
r.£n.
Or pour un mouvement circulaire £n = £uPS. Par conséquent dv
dt.£T + v
r.£n = G.MS
r.£n.
Nous retrouvons bien le fait que dv
dt = 0 : un mouvement circulaire à force centrale est nécessairement uniforme !
Ainsi : G.MS
r = v
r, donc v = G.MS
r . Plus une planète est éloignée du soleil plus, sa vitesse linéaire est faible.
Rem. : pour une trajectoire elliptique : dv
dt 0 : la vitesse est plus grande lorsque la planète est proche du Soleil !
Repère de Frenet :
(P, £T, £n)