Première ES Chapitre : APPLICATION DE LA DERIVATION ________________________________________________________________ Signe de la fonction dérivée et son sens de variation d’une fonction. Propriété 1 Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f' sa fonction dérivée Si f est croissante sur I, alors pour tout x de I f '(x) > 0 Si f est décroissante sur I, alors pour tout x de I f '(x) < 0 Si f est constante sur I, alors pour tout x de I f '(x) = 0 Démonstration : pour f croissante Soit x un réel de I et h un réel non nul tel que x + h soit dans I alors : Si h > 0 alors x + h x et si f est croissante sur I, on en déduit f(x + h) – f(x) 0 f(x + h) – f(x) Par conséquent 0 et comme f est dérivable, h f(x + h) – f(x) lim = f ’(x) qui tend vers 0 mais en restant > 0 donc f ’(x) 0 h f0 Propriété admise 2 Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f ’ sa fonction dérivée si f’(x) 0 pour tout x de I alors f est croissante sur I si f’(x) 0 pour tout x de I alors f est décroissante sur I si f’(x) = 0 pour tout x de I alors f est constante sur I Remarque On notera qu’on n'a pas l'équiva1ence dans ce cas, une fonction pouvant être strictement croissante avec une dérivée qui s’annule seulement en quelques valeurs. C‘est le cas, par exemple, de la fonction cube, dont la dérivée s’annule seulement en 0. Exemple : soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2x² – 5x + 2 Calculer la dérivée de f Etudier le signe de la dérivée En déduire les variations de f Tableau de variations Convention On désigne, sur chaque intervalle, par une flèche inclinée vers le haut ou le bas pour indiquer la croissance ou décroissance de la fonction. Exemple : Avec f la fonction définie sur R par f(x) = 2x² – 5x + 2 x f' f(x) 5/4 + + _________________________________________________________________________________________________________________ touchapapplderivES 1/3 Première ES Chapitre : APPLICATION DE LA DERIVATION ________________________________________________________________ Extremum Lorsqu’une fonction change de sens de variation en x0 de I, on dit qu'elle admet un extremum local en x0 (minimum ou maximum). On a donc : Propriété. (admise) Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I contenant x0 et f ' sa fonction dérivée. Si f ' s’annule et change de signe en x0 alors f admet un extremum local en x0. On a un maximum lorsque f ’(x) est positive avant x0 et négative après, et un minimum lorsque f ’ (x) est négative avant x0 et positive après. Remarque. Local signifie qu`aux alentours de x0 ce sera un extremum mais, qu`ailleurs, il se peut que f prenne des valeurs supérieures ou inférieures à cet extremum Exemple (voir paragraphe précédent): _________________________________________________________________________________________________________________ touchapapplderivES 2/3 Première ES Chapitre : APPLICATION DE LA DERIVATION ________________________________________________________________ Solution de l’exemple Avec f la fonction définie sur R par f(x) = 2x² – 5x + 2 Calculer la dérivée de f f’(x) = 4x – 5 Etudier le signe de la dérivée 5 f’(x) = 0 4x - 5 = 0 x = 4 5 f’(x) > 0 4x - 5 > 0 x > 4 En déduire les variations de f On déduit du signe de la dérivée le sens de variation de f 5 f est croissante sur [ ; + [ 4 5 f est décroissante sur ] - ; ] 4 Extremum La fonction est décroissante puis croissante, f’ change de signe en 5/4 9 5 La fonction f admet un minimum égal à - en x = 8 4 Représentation : _________________________________________________________________________________________________________________ touchapapplderivES 3/3