ch4: application de la dérivation

1S-Chapitre 4: applications de la dérivation
I Observation du lien dérivée - variations d’une fonction (livre p.89)
I-A Observation avec geogebra : soit
f(x)=2x3−3x2−12x+5définie
sur R
1. Observation et conjecture :
a) Soit Cfla représentation graphique de f.
Compléter les pointillés concernant les coef-
ficients directeurs des 4 tangentes prises en
exemple sur le schéma ci-contre.
Conjecturer alors le signe de f0(x) sur les
intervalles suivants :
•]−∞;· · · · · · · · · · · · ]: .............
•[· · · · · · · · · ;· · · · · · · · · ]: .............
•[· · · · · · · · · ;· · · · · · · · · [: .............
b) Émettre une conjecture sur le lien signe de f0(x)
et sens de variations de f:
2. Étude du signe de f0x) :
a) Calculer f0(x) : f(x)est................................................................................
f0(x)=...........................................................................................................
b) Étude du signe de f0(x) :
x
f0(x)
−∞ · · · · · · · · · · · · +∞
0 0
I-B Signe de la dérivée et extremum
1. Détermination du minimum de la fonction S:
a) Détermination de la fonction S:
– (Aire de AMP ) calculer h, en utilisant la figure :
h2= ··········································
Donc :h= · · · · · · · · · · · · · · · · · · ;AAPM =
···············
· · · · · ·
– (Aire de MQB) calculer h0, en utilisant la figure :
h02= ··········································
Donc :h0= · · · · · · · · · · · · · · · · · · ;AMQB =
···············
· · · · · · Donc : S(x)=........................................
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1S-Chapitre 4: applications de la dérivation
b) Écrire S(x) sous forme canonique :S(x)=................................. ;MinimumdeSsur [0;10]:....................
2. Lien avec la fonction dérivée S0:
a) S0(x)=........................................ x
S0(x)
−∞ · · · · · · +∞
0
b) Conjecture sur le lien entre la présence d’un minimum et le signe de S0(x):..............................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
II Fonction dérivée et variations
II-A Du sens de variations au signe de la dérivée
1. Théorème :
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle I:
• Si fest croissante sur I, alors pour tout xde I:f0(x)≥0
• Si fest décroissante sur I, alors pour tout xde I:f0(x)≤0
• Si fest constante sur I, alors pour tout xde I:f0(x)=0
2. Application :soit fune fonction dérivable sur [−4;6]dont la courbe représentative est donnée ci-contre. Don-
ner le signe de la dérivée en complétant d’abord le tableau de variations ci-dessous.
x
S(x)
S0(x)
−46
Commentaires :
II-B Du signe de la dérivée au sens de variations
1. Théorème réciproque :
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle I:
• Si pour tout xde I:f0(x)≥0 alors fest croissante sur I.
• Si pour tout xde I:f0(x)≤0 alors fest décroissante sur I.
• Si pour tout xde I:f0(x)=0 alors fest constante sur I.
2. Application : + no18 p 96
Soit la fonction fdéfinie sur Rpar : f(x)=2
3x3+3 2x2−2x−1
a) Calculer f0(x) :
f0(x)=.................................
b) Compléter le tableau ci-contre dans lequel vous ferez figurer le signe de f0(x), et en déduire les variations de
f.
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Étude de signe de f0(x):
x
f0(x)
f(x)
−∞ +∞
c) En déduire l’existence éventuel d’extrema locaux :
...................................................................
II-C Extremum local d’une fonction
1. Définition : soit fune fonction dérivable sur un intervalle Iet cun nombre réel de I.
•Dire que f(c) est un maximum (resp. ....................)local de fsignifie qu’il existe un intervalle ouvert
J(J⊂I,x∈J) tel que : f(x)··············· f(c) (resp.f(x)· · · · · · · · · · · · · · · f(c) )
•un extremum local est soit un maximum local, soit un minimum local.
2. Propriété : Pour une fonction dérivable f, s’il existe un extremum local en c, alors : f0(c)= · · · · · · · · ·
3. Application : no25, 27, 28 et 30 p 97.
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