1S-Chapitre 4: applications de la dérivation
I Observation du lien dérivée - variations d’une fonction (livre p.89)
I-A Observation avec geogebra : soit
f(x)=2x33x212x+5définie
sur R
1. Observation et conjecture :
a) Soit Cfla représentation graphique de f.
Compléter les pointillés concernant les coef-
ficients directeurs des 4 tangentes prises en
exemple sur le schéma ci-contre.
Conjecturer alors le signe de f0(x) sur les
intervalles suivants :
]−∞;· · · · · · · · · · · · ]: .............
[· · · · · · · · · ;· · · · · · · · · ]: .............
[· · · · · · · · · ;· · · · · · · · · [: .............
b) Émettre une conjecture sur le lien signe de f0(x)
et sens de variations de f:
2. Étude du signe de f0x) :
a) Calculer f0(x) : f(x)est................................................................................
f0(x)=...........................................................................................................
b) Étude du signe de f0(x) :
x
f0(x)
−∞ · · · · · · · · · · · · +∞
0 0
I-B Signe de la dérivée et extremum
1. Détermination du minimum de la fonction S:
a) Détermination de la fonction S:
(Aire de AMP ) calculer h, en utilisant la figure :
h2= ··········································
Donc :h= · · · · · · · · · · · · · · · · · · ;AAPM =
···············
· · · · · ·
(Aire de MQB) calculer h0, en utilisant la figure :
h02= ··········································
Donc :h0= · · · · · · · · · · · · · · · · · · ;AMQB =
···············
· · · · · · Donc : S(x)=........................................
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1S-Chapitre 4: applications de la dérivation
b) Écrire S(x) sous forme canonique :S(x)=................................. ;MinimumdeSsur [0;10]:....................
2. Lien avec la fonction dérivée S0:
a) S0(x)=........................................ x
S0(x)
−∞ · · · · · · +∞
0
b) Conjecture sur le lien entre la présence d’un minimum et le signe de S0(x):..............................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
II Fonction dérivée et variations
II-A Du sens de variations au signe de la dérivée
1. Théorème :
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle I:
Si fest croissante sur I, alors pour tout xde I:f0(x)0
Si fest décroissante sur I, alors pour tout xde I:f0(x)0
Si fest constante sur I, alors pour tout xde I:f0(x)=0
2. Application :soit fune fonction dérivable sur [4;6]dont la courbe représentative est donnée ci-contre. Don-
ner le signe de la dérivée en complétant d’abord le tableau de variations ci-dessous.
x
S(x)
S0(x)
46
Commentaires :
II-B Du signe de la dérivée au sens de variations
1. Théorème réciproque :
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle I:
Si pour tout xde I:f0(x)0 alors fest croissante sur I.
Si pour tout xde I:f0(x)0 alors fest décroissante sur I.
Si pour tout xde I:f0(x)=0 alors fest constante sur I.
2. Application : + no18 p 96
Soit la fonction fdéfinie sur Rpar : f(x)=2
3x3+3
2x22x1
a) Calculer f0(x) :
f0(x)=.................................
b) Compléter le tableau ci-contre dans lequel vous ferez figurer le signe de f0(x), et en déduire les variations de
f.
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1S-Chapitre 4: applications de la dérivation
Étude de signe de f0(x):
x
f0(x)
f(x)
−∞ +∞
c) En déduire l’existence éventuel d’extrema locaux :
...................................................................
II-C Extremum local d’une fonction
1. Définition : soit fune fonction dérivable sur un intervalle Iet cun nombre réel de I.
•Dire que f(c) est un maximum (resp. ....................)local de fsignifie qu’il existe un intervalle ouvert
J(JI,xJ) tel que : f(x)··············· f(c) (resp.f(x)· · · · · · · · · · · · · · · f(c) )
•un extremum local est soit un maximum local, soit un minimum local.
2. Propriété : Pour une fonction dérivable f, s’il existe un extremum local en c, alors : f0(c)= · · · · · · · · ·
3. Application : no25, 27, 28 et 30 p 97.
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