Application de la dérivation et problèmes

Application de la dérivation ES 1
Application de la dérivation et problèmes
Vérifier les acquis n°1 à 6 p 84
I. Signe de la dérivée et variations
A. Du sens de variation de la fonction au signe de sa dérivée
Propriétés (admises)
 est une fonction dérivable sur un intervalle I.
 Si f est croissante sur I alors pour tout nombre réel  de I,   .
 Si f est constante sur I alors pour tout nombre réel  de I,  .
 Si f est décroissante sur I alors pour tout nombre réel  de I,  
Illustrations
Voir exercice résolu 1 p 87
Exercices n°11 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 p 92
B. Du signe de la dérivée au sens de variation de la fonction
Propriétés (admises)
 est une fonction dérivable sur un intervalle I.
 Si pour tout nombre réel  de I,   , alors f est croissante.
 Si pour tout nombre réel  de I,  , alors f est constante.
 Si pour tout nombre réel  de I,   , alors f est décroissante.
Illustrations
Exemple
 est la fonction dérivable sur R définie par   .
Pour tout nombre réel ,  . Donc, pour tout      et  
Par conséquent, la fonction  est strictement croissante sur R.
Voir exercice résolu 2 p 87
Exercices n°18 – 20 – 21 – 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 p 92 – 93

Application de la dérivation ES 2
II. Tableau de variation d’une fonction et extremum
A. Comment dresser un tableau de variation ?
Pour étudier les variations d’une fonction donnée par son expression, on procède ainsi :
1- On calcule .
2- On étudie le signe de 
3- On dresse le tableau de variations de 
Sur la ligne «  », on note l’ensemble de définition de  et les valeurs qui annulent 
Sur la ligne «  », on indique le signe de .
Sur la ligne «  », on indique le sens de variation de f par des flèches et on note les valeurs
exactes des images des nombres qui figurent sur la première ligne.
Exemple
 est la fonction définie sur    par 
Calcul de la dérivée :    
Signe de la dérivée :      pour tout    
    pour tout    
Or      donc  est du signe de .
Donc    si    et    si   .  s’annule en 0 et en 1.
Tableau de variation :
B. Extremum et tableau de variation
Propriété
Lorsque la dérivée s’annule en  en changeant de signe, la fonction admet un extremum local en . Cet
extremum vaut 
Exemple
Pour la fonction de l’exemple précédent, on voit que la dérivée s’annule en  en changeant de signe, donc f
admet un minimum en  qui vaut .
Donc pour tout       
Voir exercices résolus 1 – 2 p 89
Exercices n°28 – 29 – 30 – 31 – 33 – 36 – 37 p 94 – 95
Problèmes n°51 – 52 – 53 p 98 – 99
Approfondissement n°67 – 69 p102 – 103
AP n°1 à 10 p 90 – 91
Autonomie n°58 à 65 p 100 – 101