Signe et variations complet

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Signe de la fonction dérivée & variations
1. Un lien entre le signe de la fonction dérivée et les variations de la fonction
Voici la courbe représentative d’une fonction f définie sur
[ 5;5]
−
ainsi que quelques-unes de ses
tangentes :
Que pensez-vous des tangentes T1, T2 et T4 ? elles sont ascendantes.
De quel signe est leur coefficient directeur ? il est donc positif
Que pensez-vous des tangentes T3, T5 et T6 ? elles sont descendantes
De quel signe est leur coefficient directeur ? il est donc négatif
Voyez-vous un lien entre les variations de f (croissante, décroissante) et le signe du coefficient directeur
de la tangente ? Lorsque la fonction est croissante (resp. décroissante), les tangentes sont ascendantes, et
ont donc un coefficient directeur positif (resp. négatif)
On peut énoncer ce théorème, très important – voire fondamental - en mathématiques :
Théorème :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable sur I, de dérivée f ‘. On a :
• f strictement croissante sur I
⇔
'( ) 0
f x
>
pour tout x dans I.
• f strictement décroissante sur I
⇔
'( ) 0
f x
<
pour tout x dans I.
• f constante sur I
⇔
'( ) 0
f x
=
pour tout x dans I.
Ainsi, pour déterminer le sens de variations d’une fonction f sur un intervalle I, il suffit de connaître le
signe de sa dérivée
'
f
sur cet intervalle.

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2. Comment trouver le signe d’une expression algébrique ?
En fait tout est basé sur la recherche du signe des expressions de type « fonction affine » , c’est-à-dire de
la forme ( )
A x ax b
= +
où a et b sont deux nombres fixés. Souvenirs de la classe de seconde :
Si le nombre a est positif alors on peut donner le signe de l’expression ( )
A x ax b
= +
dans un
tableau de signes :
x
−∞
b
a
−
+∞
Signe de
ax b
+
– +
Si le nombre a est négatif alors on peut donner le signe de l’expression ( )
A x ax b
= +
dans un
tableau de signes :
x
−∞
b
a
−
+∞
Signe de
ax b
+
+ –
Par exemple :
x
−∞
3,5
+∞
Signe de
2 7
x
−
– +
On peut également utiliser ce résultat pour déterminer le signe d’expressions plus « sophistiquées »,
comme des produits ou des quotients d’expressions du type
ax b
+
en utilisant la règle des signes dans
un produit (ou un quotient), qui dit que lorsque l’on multiplie (ou divise) deux nombres de même signe,
on est sûr d’obtenir un résultat positif, alors que lorsque l’on multiplie (ou divise) deux nombres de signes
opposés, on obtient un résultat négatif
Par exemple :
x
−∞
0 5
+∞
Signe de
5
x
−
– – +
Signe de
2
x
– + +
Signe de
2 ( 5)
x x
−
+ – +
Dans le premier tableau, la signification du premier signe + est la suivante : si, dans l’expression
2 ( 5)
x x
−
, on remplace x par un nombre inférieur à 0, on obtient un résultat positif.
Nous allons utiliser ces tableaux de signes pour déterminer le signe des fonctions dérivées que vous serez
amenés à calculer, et ainsi à en déduire les variations de la fonction de départ .
x
−∞
2
+∞
Signe de
3 6
x
− +
+ –
x
−∞
-1,5 0,5
+∞
Signe de
1 2
x
−
+ + –
Signe de
4 6
x
+
– + +
Signe de
1 2
4 6
xx
−
+
– + –

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3. Deux exemples de recherche de variations d’une fonction
On se donne la fonction f définie sur par
( ) 2 ² 8 7
f x x x
= − +
.
On veut dresser le tableau des variations de cette fonction.
Pour cela on commence par calculer la fonction dérivée
'
f
:
2 2(
8
)4'8xf x
x
× − =
=
−
qui s’annule pour
4
x
=
On détermine le signe de
'( )
f x
selon les valeurs de x, grâce à un tableau de signes :
x
−∞
2
+∞
Signe de
8
'( 4)f x
x
=
−
– +
On en déduit les variations de la fonction f : lorsque un « + » apparaît dans le tableau de signes de
la dérivée, cela signifie que la fonction f est croissante alors que lorsque un « – » apparaît, cela
signifie que la fonction f est décroissante
On n’oublie pas de calculer les maxima et les minima de la fonction que l’on vient de faire apparaître, et
on les reporte dans le tableau :
x
−∞
+∞
Variations de f
(2) 1
f
= −
On se donne maintenant la fonction g définie sur par
3 2
( ) 3 7
g x x x
= − +
Calcul de
'( )
g x
: 3 ²'²)
2 0 3 6
(3x x xg
x
x
− × + = −
=
Factorisons
'( )
g x
(si on ne le fait pas, on ne pourra pas utiliser les résultats précédents pour dresser le
tableau de signes de
'
g
) :
3 ² 6 3 3 2 3 ( 2
'
)
( ) x xgx x x x xx
− = × − × = −
=
Dressons le tableau de signes de 3'(
)
)
( 2
−
=
x xg x :
x
−∞
0 2
+∞
Signe de
3
x
– + +
Signe de
2
x
−
– – +
Signe de
'( )
g x
=
3 ( 2)
x x
−
+ – +
Dressons enfin le tableau de variations de la fonction g :
x
−∞
0 2
+∞
Variations de g
7
3