Première ES
Chapitre 8 : APPLICATION DE LA DERIVATION
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Signe de la fonction dérivée et son sens de variation d’une fonction.
Propriété 1
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f' sa fonction dérivée
Si f est croissante sur I, alors pour tout x de I f '(x) > 0
Si f est décroissante sur I, alors pour tout x de I f '(x) < 0
Si f est constante sur I, alors pour tout x de I f '(x) = 0
Démonstration : pour f croissante
Soit x un réel de I et h un réel non nul tel que x + h soit dans I alors :
Si h > 0 alors x + h ≥ x et si f est croissante sur I, on en déduit f(x + h) – f(x) ≥ 0
Par conséquent f(x + h) – f(x)
h ≥ 0 et comme f est dérivable,
lim
f→0 f(x + h) – f(x)
h = f ’(x) qui tend vers 0 mais en restant > 0 donc f ’(x) ≥ 0
Propriété admise 2
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f ’ sa fonction dérivée
si f’(x) ≥ 0 pour tout x de I alors f est croissante sur I
si f’(x) ≤ 0 pour tout x de I alors f est décroissante sur I
si f’(x) = 0 pour tout x de I alors f est constante sur I
Remarque
On notera qu’on n'a pas l'équiva1ence dans ce cas, une fonction pouvant être
strictement croissante avec une dérivée qui s’annule seulement en quelques valeurs.
C‘est le cas, par exemple, de la fonction cube, dont la dérivée s’annule seulement en 0.
Exemple :
soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2x² – 5x + 2
• Calculer la dérivée de f
• Etudier le signe de la dérivée
• En déduire les variations de f
Tableau de variations
Convention
On désigne, sur chaque intervalle, par une flèche inclinée vers le haut ou le bas pour
indiquer la croissance ou décroissance de la fonction.
Exemple :
Avec f la fonction définie sur R par f(x) = 2x² – 5x + 2
x
f'
f(x)
−∞
5/4 +
+∞