Première ES Chapitre 8 : APPLICATION DE LA

Première ES
Chapitre 8 : APPLICATION DE LA DERIVATION
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SOMMAIRE
SIGNE DE LA FONCTION DERIVEE ET SON SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION. ................. 2
PROPRIETE 1 ....................................................................................................................................................... 2
DEMONSTRATION : POUR F CROISSANTE ............................................................................................................. 2
PROPRIETE ADMISE 2........................................................................................................................................... 2
REMARQUE ......................................................................................................................................................... 2
EXEMPLE : .......................................................................................................................................................... 2
TABLEAU DE VARIATIONS ............................................................................................................................. 2
CONVENTION ...................................................................................................................................................... 2
EXEMPLE : .......................................................................................................................................................... 2
EXTREMUM.......................................................................................................................................................... 3
PROPRIETE. (ADMISE).......................................................................................................................................... 3
REMARQUE. ........................................................................................................................................................ 3
EXEMPLE (VOIR PARAGRAPHE PRECEDENT): ....................................................................................................... 3
SOLUTION DE L’EXEMPLE.............................................................................................................................. 4
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Chapitre 8 : APPLICATION DE LA DERIVATION
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Signe de la fonction dérivée et son sens de variation d’une fonction.
Propriété 1
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f' sa fonction dérivée
Si f est croissante sur I, alors pour tout x de I f '(x) > 0
Si f est décroissante sur I, alors pour tout x de I f '(x) < 0
Si f est constante sur I, alors pour tout x de I f '(x) = 0
Démonstration : pour f croissante
Soit x un réel de I et h un réel non nul tel que x + h soit dans I alors :
Si h > 0 alors x + h ≥ x et si f est croissante sur I, on en déduit f(x + h) – f(x) ≥ 0
f(x + h) – f(x)
≥ 0 et comme f est dérivable,
Par conséquent
h
f(x + h) – f(x)
lim
= f ’(x) qui tend vers 0 mais en restant > 0 donc f ’(x) ≥ 0
h
f→0
Propriété admise 2
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f ’ sa fonction dérivée
si f’(x) ≥ 0 pour tout x de I alors f est croissante sur I
si f’(x) ≤ 0 pour tout x de I alors f est décroissante sur I
si f’(x) = 0 pour tout x de I alors f est constante sur I
Remarque
On notera qu’on n'a pas l'équiva1ence dans ce cas, une fonction pouvant être
strictement croissante avec une dérivée qui s’annule seulement en quelques valeurs.
C‘est le cas, par exemple, de la fonction cube, dont la dérivée s’annule seulement en 0.
Exemple :
soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2x² – 5x + 2
• Calculer la dérivée de f
• Etudier le signe de la dérivée
• En déduire les variations de f
Tableau de variations
Convention
On désigne, sur chaque intervalle, par une flèche inclinée vers le haut ou le bas pour
indiquer la croissance ou décroissance de la fonction.
Exemple :
Avec f la fonction définie sur R par f(x) = 2x² – 5x + 2
x −∞
f'
f(x)
5/4
−
+∞
+
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Extremum
Lorsqu’une fonction change de sens de variation en x0 de I, on dit qu'elle admet un extremum
local en x0 (minimum ou maximum).
On a donc :
Propriété. (admise)
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I contenant x0 et f ' sa fonction
dérivée. Si f ' s’annule et change de signe en x0 alors f admet un extremum local en x0.
On a un maximum lorsque f ’(x) est positive avant x0 et négative après, et un minimum
lorsque f ’ (x) est négative avant x0 et positive après.
Remarque.
Local signifie qu`aux alentours de x0 ce sera un extremum mais, qu`ailleurs, il se peut que f
prenne des valeurs supérieures ou inférieures à cet extremum
Exemple (voir paragraphe précédent):
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Chapitre 8 : APPLICATION DE LA DERIVATION
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Solution de l’exemple
Avec f la fonction définie sur R par f(x) = 2x² – 5x + 2
Calculer la dérivée de f
f’(x) = 4x – 5
Etudier le signe de la dérivée
5
f’(x) = 0 ⇔ 4x - 5 = 0 ⇔ x =
4
5
f’(x) > 0 ⇔ 4x - 5 > 0 ⇔ x >
4
En déduire les variations de f
On déduit du signe de la dérivée le sens de variation de f
5
f est croissante sur [ ; + ∞[
4
5
f est décroissante sur ] - ∞ ; ]
4
Extremum
La fonction est décroissante puis croissante, f’ change de signe en 5/4
9
5
La fonction f admet un minimum égal à - en x =
8
4
Représentation :
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