APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1. Dérivée et sens de variation

1ère S Applications de la dérivation – Collège de Juilly – H. Kerneïs
1
APPLICATIONS DE LA DERIVATION
1. Dérivée et sens de variation
1.1. Exemples graphiques
On considère la représentation graphique d’une fonction f et de trois de ses tangentes
sur un intervalle I, dans les deux cas de figure suivants :
Toutes les tangentes ont un coefficient directeur positif ; autrement dit, tous les
nombres dérivés sont positifs ; la courbe ne peut être que croissante.
Toutes les tangentes ont un coefficient directeur négatif ; autrement dit, tous les
nombres dérivés sont négatifs ; la courbe ne peut être que décroissante.

1ère S Applications de la dérivation – Collège de Juilly – H. Kerneïs
2
1.2. Théorèmes fondamentaux
On suppose que f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Théorème 1 :
i. Si f est croissante sur I, alors pour tout x de I,
f'(x)0
.
ii. Si f est décroissante sur I, alors pour tout x de I,
f'(x)0
.
iii. Si f est constante sur I, alors pour tout x de I,
f'(x)=0
.
Preuve :
i. Soit x
I et h
*
tel que
x+hI
. f est croissante sur I
donc, par définition, x + h > x implique f(x + h) > f(x). On en
déduit que le rapport
f(x+h)f(x)
h
est toujours positif et
que sa limite en 0 est necessairement positive. Or f est dérivable
en x donc
lim
h0
f(x+h)f(x)
h=f'(x)
; on a donc
f'(x)0
.
ii. et iii. raisonnement identique…
Théorème 2 :
i. Si pour tout x de I,
f'(x)0
, alors f est croissante sur I.
ii. Si pour tout x de I,
f'(x)0
, alors f est décroissante sur I.
iii. Si pour tout x de I,
f'(x)=0
, alors f est constante sur I.
Preuve : admis…
Remarque : si
f'(x)>0
alors on parle d’une fonction f strictement croissante.
Exemple : Si
f(x)=x
2
alors
f'(x)=2x
. Or
2x>0
si
x>0
, et
2x<0
si
x<0
. Donc f est strictement croissante sur l’intervalle
0;+
et strictement décroissante sur l’intervalle
;0
.
2. Applications des fonctions dérivées
2.1. Détermination des variations d’une fonction
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. L’étude du signe de la dérivée de f
permet, à l’aide du théorème 2, d’obtenir les variations de f.
Exemple : Etude des variations de la fonction définie sur
 par :
f(x)=1
3x
3
+1
2x
2
2x+5
.
Remarque : Pour étudier le sens de variation d’une fonction, il n’est pas toujours utile
de dériver ; ne pas oublier : la définition, les compositions de fonctions et les sommes
de fonctions.

1ère S Applications de la dérivation – Collège de Juilly – H. Kerneïs
3
2.2. Détermination des extremums locaux d’une fonction
Une fonction f présente un extremum local en x0 s’il existe un intervalle I contenant x0
tel que f présente en x0 un extremum sur I.
Théorème 3 :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I.
Si f admet un extremum local en x0 de I alors
f'(x
0
)=0
.
Remarque : Attention, la réciproque de ce théorème est fausse comme le
montre l’exemple de la fonction
xx
3
qui est dérivable sur
 et dont la
dérivée s’annule en 0 sans qu’elle admette un extremum en 0 !
Exemple : Dans l’exemple précédent, la fonction f admet :
• un minimum local en 1 qui vaut
23
6
; en effet :
f1
()
=23
6
et pour
tout x de
2;+
fx
()
23
6
.
• un maximum local en – 2 qui vaut
25
3
; en effet :
f2
()
=25
3
et pour
tout x de
;1
fx
()
25
3
.
On peut remarquer que, dans ces deux cas, la dérivée s’annule et change de signe…
Théorème 4 :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I.
Si la dérivée de f s’annule en x0 en changeant de signe, alors la fonction admet
un extremum local sur I en x0.
Preuve : à l’aide des deux cas de figure possibles représentés
dans deux tableaux de variation…