Première S Cours applications de la dérivation I Signe de la dérivée et variations d’une fonction Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Du sens de variation d’une fonction au signe de la dérivée Propriété : (1) (2) (3) Démonstration Si f est strictement croissante sur I, alors f’ 0 sur I. Si f est strictement décroissante sur I, alors f’ 0 sur I. Si f est constante sur I, alors f’ = 0 sur I. Remarque : Cette propriété est attribuée au mathématicien français Joseph-Louis Lagrange. (1736-1813). Du signe de la dérivée au sens de variation de la fonction Propriété : (1) (2) (3) Si f’ 0 sur I, alors f est croissante sur I. Si f’ 0 sur I ; alors f est décroissante sur I. Si f’ = 0, alors f est constante sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = x² - 6x + 2. f est dérivable sur comme une fonction polynôme et f’(x) = 2x – 6. f'(x) ≥ 0 2x – 6 ≥ 0 x≥3 f est donc décroissante sur ]- ;3] et croissante sur [3 ;+ [. Tableau de variations de f : x Signe de f’ - - 3 0 + + Variations de f -7 f(3) = 3² - 63 + 2 = 9 – 18 + 2 =-7 II Extremum local d’une fonction Soit appartenant à I. Définition f admet un maximum local en c sur I, s’il existe un intervalle ouvert ]a ;b[ inclus dans I et contenant c tel que : pour tout x appartenant à ]a ;b[, f(x) f(c). M = f(c) est le maximum de f sur I. f admet un minimum local en d sur I, s’il existe un intervalle ouvert ]a ;b[ inclus dans I et contenant d tel que : pour tout x appartenant à ]a ;b[, f(x) f(d). m = f(d) est le minimum de f sur I. 1 Première S Cours applications de la dérivation L’étude des variations de f permet de déterminer ses extrema éventuels, c’est-à-dire de ses maximums ou de ses minimums. M = maximum = f(c) d c m = minimum = f(d) Extremum local et dérivée Propriété Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a appartenant à I. Si f’ s’annule en changeant de signe en a, alors f admet un extremum local en a. Exemple : La fonction carré a une dérivée qui s’annule en 0 en changeant de signe puisque f’(x) = 2x, donc f admet un extremum local en 0. (c’est un minimum) Contre-exemple : La fonction cube définie sur par f(x) = x3 a une dérivée qui s’annule en 0 sans changer de signe. En effet, f’(x) = 3x². Cette dérivée étant toujours positive sur , alors la fonction g est croissante sur et n’admet pas d’extremum local en 0. 2 Première S Cours applications de la dérivation Démonstrations Du sens de variation d’une fonction au signe de la dérivée Propriété : (1) (2) (3) Si f est strictement croissante sur I, alors f’ 0 sur I. Si f est strictement décroissante sur I, alors f’ 0 sur I. Si f est constante sur I, alors f’ = 0 sur I. Supposons f strictement croissante sur I et dérivable sur I. f(a+h) - f(a) Pour tout réel a de I tel que a + h I, h 0, f’(a) = lim . h0 h Si h > 0 alors a + h > a. Ainsi f(a + h) > f(a) puisque f est strictement croissante sur I. Si h < 0 alors a + h < a. Ainsi f(a + h) < f(a) puisque f est strictement croissante sur I. f(a + h) – f(a) Dans les deux cas, > 0. h On admet que la limite f’(a) quand h tend vers 0, de ces nombres tous positifs est positive ou nulle, pour tout a dans I. Si f est strictement décroissante sur I, on montre de même que f(a + h) – f(a) < 0 et h qu’ainsi la limite sera elle-même négative ou nulle. 3