Cours 1S applications derivation

Première S Cours applications de la dérivation
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I Signe de la dérivée et variations d’une fonction
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Du sens de variation d’une fonction au signe de la dérivée
Propriété : Démonstration
(1) Si f est strictement croissante sur I, alors f’  0 sur I.
(2) Si f est strictement décroissante sur I, alors f’  0 sur I.
(3) Si f est constante sur I, alors f’ = 0 sur I.
Remarque :
Cette propriété est attribuée au mathématicien français Joseph-Louis
Lagrange. (1736-1813).
Du signe de la dérivée au sens de variation de la fonction
Propriété :
(1) Si f’  0 sur I, alors f est croissante sur I.
(2) Si f’  0 sur I ; alors f est décroissante sur I.
(3) Si f’ = 0, alors f est constante sur I.
Exemple : Soit f la fonction définie sur  par f(x) = x² - 6x + 2.
f est dérivable sur  comme une fonction polynôme et f’(x) = 2x – 6.
f'(x) ≥ 0  2x – 6 ≥ 0
 x ≥ 3
f est donc décroissante sur ]- ;3] et croissante sur [3 ;+ [.
Tableau de variations de f :
f(3) = 3² - 63 + 2 = 9 – 18 + 2 =-7
II Extremum local d’une fonction
Soit  appartenant à I.
Définition
f admet un maximum local en c sur I, s’il
existe un intervalle ouvert ]a ;b[ inclus dans I
et contenant c tel que :
pour tout x appartenant à ]a ;b[, f(x)  f(c).
M = f(c) est le maximum de f sur I.
f admet un minimum local en d sur I, s’il
existe un intervalle ouvert ]a ;b[ inclus dans I
et contenant d tel que :
pour tout x appartenant à ]a ;b[, f(x)  f(d).
m = f(d) est le minimum de f sur I.
x
Signe de f’
Variations
de f
-
-
3
+
-7
+
0

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L’étude des variations de f permet de déterminer ses extrema éventuels, c’est-à-dire de
ses maximums ou de ses minimums.
Extremum local et dérivée
Propriété
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a appartenant à I.
Si f’ s’annule en changeant de signe en a, alors f admet un extremum local en a.
Exemple :
La fonction carré a une dérivée qui s’annule en 0 en changeant de signe puisque f’(x) = 2x,
donc f admet un extremum local en 0. (c’est un minimum)
Contre-exemple :
La fonction cube définie sur  par f(x) = x3 a une dérivée qui s’annule en 0 sans changer de
signe. En effet, f’(x) = 3x².
Cette dérivée étant toujours positive sur , alors la fonction g est croissante sur  et
n’admet pas d’extremum local en 0.
m = minimum = f(d)
M = maximum = f(c)
c
d

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Démonstrations
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Du sens de variation d’une fonction au signe de la dérivée
Propriété :
(1) Si f est strictement croissante sur I, alors f’  0 sur I.
(2) Si f est strictement décroissante sur I, alors f’  0 sur I.
(3) Si f est constante sur I, alors f’ = 0 sur I.
Supposons f strictement croissante sur I et dérivable sur I.
Pour tout réel a de I tel que a + h  I, h  0, f’(a) = lim
h0 f(a+h) - f(a)
h.
 Si h > 0 alors a + h > a. Ainsi f(a + h) > f(a) puisque f est strictement croissante sur I.
 Si h < 0 alors a + h < a. Ainsi f(a + h) < f(a) puisque f est strictement croissante sur I.
Dans les deux cas, f(a + h) – f(a)
h > 0.
On admet que la limite f’(a) quand h tend vers 0, de ces nombres tous positifs est
positive ou nulle, pour tout a dans I.
Si f est strictement décroissante sur I, on montre de même que f(a + h) – f(a)
h < 0 et
qu’ainsi la limite sera elle-même négative ou nulle.