Cours 1ES applications derivation

Première ES
Cours applications de la dérivation
I Signe de la dérivée et variations d’une fonction
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Du sens de variation d’une fonction au signe de la dérivée
Propriété :
(1)
(2)
(3)
Si f est croissante sur I, alors f’  0 sur I.
Si f est décroissante sur I, alors f’  0 sur I.
Si f est constante sur I, alors f’ = 0 sur I.
Remarque :
Cette propriété est attribuée au mathématicien français Joseph-Louis
Lagrange. (1736-1813).
Du signe de la dérivée au sens de variation de la fonction
Propriété :
(1)
(2)
(3)
Si f’  0 sur I, alors f est croissante sur I.
Si f’  0 sur I ; alors f est décroissante sur I.
Si f’ = 0, alors f est constante sur I.
Exemple : Soit f la fonction définie sur  par f(x) = x² - 6x + 2.
f est dérivable sur  comme une fonction polynôme et f’(x) = 2x – 6.
f'(x) ≥ 0

2x – 6 ≥ 0

x≥3
f est donc décroissante sur ]- ;3] et croissante sur [3 ;+ [.
Tableau de variations de f :
x
Signe de f’
-
-
3
0
+
+
Variations
de f
-7
f(3) = 3² - 63 + 2 = 9 – 18 + 2 =-7
II Extremum d’une fonction
Définitions
f admet un maximum sur I, atteint en c,
signifie que :
pour tout x de I, f(x)  f(c).
M = f(c) est le maximum de f sur I.
f admet un minimum sur I, atteint en d,
signifie que :
pour tout x de I, f(x)  f(d).
m = f(d) est le minimum de f sur I.
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L’étude des variations de f permet de déterminer ses extrema éventuels, c’est-à-dire de
ses maximums ou de ses minimums.
M = maximum = f(c)
d
c
m = minimum = f(d)
Extremum local et dérivée
Propriété
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a appartenant à I.
Si f’ s’annule en changeant de signe en a, alors f admet un extremum local en a.
Exemple :
La fonction carré a une dérivée qui s’annule en 0 en changeant de signe puisque f’(x) = 2x,
donc f admet un extremum local en 0. (c’est un minimum)
Contre-exemple :
La fonction cube définie sur  par f(x) = x3 a une dérivée qui s’annule en 0 sans changer de
signe. En effet, f’(x) = 3x².
Cette dérivée étant toujours positive sur , alors la fonction g est croissante sur  et
n’admet pas d’extremum local en 0.
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