Programme de colle n˚16- semaine du 30 janvier Algèbre linéaire

Janson-de-Sailly MPSI4
Programme de colle n˚16- semaine du 30 janvier
Le cours doit être parfaitement su.
Algèbre linéaire : la théorie de la dimension finie
1- Familles libres, familles génératrices, bases
1. Familles génératrices.
2. Familles libres, familles liées. Des exemples : dans Rn,RN,F(R,R), les familles de polynômes de degré échelonnés sont
libres dans R[X].
3. Bases. Coordonnées d’un vecteur dans une base.
4. Familles de vecteurs et somme. Soit (Fi)i∈[[1,n]] une famille de sev de E.
La concaténation de familles génératrices des Fidonne une famille génératrice de ∑n
i=1 Fi.
Si les Fisont en somme directe, la concaténation de familles libres de chaque Fidonne une famille libre de la somme
directe ⊕n
i=1Fi.
Si E = ⊕n
i=1Fi, base de Epar concaténation de bases de chaque Fi.
5. Si E = ⊕n
i=1Fi, et fi∈ L(Fi,F) pour i∈[[1, n]], il existe une et une seule f∈ L(E,F) tel que f|Fi=fi.
6. Familles de vecteurs et applications linéaires
Si Ffamille génératrice de Eet si f∈ L(E,F), on a Im f= Vect (f(F)).
L’image d’une famille libre par une application linéaire injective est libre.
Si Best une base de E,fest un isomorphisme de Edans Fsi et seulement si l’image par fdes vecteurs de Bforme une
base de F.
Si Best une base, la donnée des images des vecteurs de Bdéfinit une unique application linéaire.
2 - Théorie de la dimension
1. Espace vectoriel de dimension finie. Définition (existence d’une famille génératrice finie).
Théorème de la base incomplète. Conséquence : en dimension finie (̸= 0), existence d’une base finie.
2. Dimension d’un ev
Lemme : Si Epossède une famille génératrice de nvecteurs, toute famille de cardinal au moins n+ 1 est liée, c’est-à-dire :
toute famille libre de Ea au plus nvecteurs.
Conséquence : Si Eest de dimension finie, toutes les bases de Esont finies et ont même cardinal. Définition de la dimension
de E. Exemples : Kn,Kn[X], bases canoniques de ces espaces vectoriels, dimCCet dimRC.
Corollaire : si dim E = n, les familles libres de Eont au plus nvecteurs et les familles génératrices de Eont au moins n
vecteurs.
Dimension de E×F
3. Caractérisation des bases en dimension finie
Théorème : Si Ede dimension n, toute famille libre (respectivement génératrice) de Eayant nvecteurs est une base de E.
4. Dimension d’un sous-espace vectoriel
Théorème : Si Ede dim finie, les sev de Esont de dim finie et de dimension ≤dim E.
De plus : deux sev, Fet G, de Evérifiant F⊂Get dim F = dim G sont égaux.
Dimension d’une somme F+G(formule de Grassmann) (preuve géométrique par construction d’une base.)
Caractérisation des supplémentaires parmi les sev de Een somme directe.
Existence de supplémentaires en dimension finie.
Propriété : Si F1, . . . , Fnsont nsev de E, tous de dimension finie, dim(∑Fi)≤∑dim Fiavec égalité si et seulement si
∑Fi=⊕Fi

5. Théorème du rang : Si Eest un ev de dimension finie et f∈ L(E,F).
1) La restriction de fà un supplémentaire Gdu noyau réalise un isomorphisme de Gsur Im f
2) dim E = dim ker f+rgf
N.B. Le cours n’est pas fini, en particulier on n’a pas encore évoqué la notion de rang et les conséquences du théorème du rang
sur les applications linéaires en dimension finie.
QUESTIONS DE COURS : Tout énoncé d’un résultat du cours sur la dimension finie. Pour les démos :
1. Liberté dans le R-ev RNdes suites réelles de la famille des vecteurs (u, v, w)où u= (1)n,v= (2n)net w= (n)n.
2. Liberté des familles de polynômes de degré échelonnés.
3. Soit f∈ L(E,F).
Si fest injective, l’image d’une famille libre de Epar fest une famille libre de F.
4. Pour f∈ L(E,F), si Fest une famille génératrice de E, alors Imf= Vect (f(F))
5. Soit f∈ L(E,F) et Best une base de E. Montrer que fest un isomorphisme si et seulement si f(B)une base de F.
6. Dimension de F+G(par construction d’une base)
7. Énoncé et démontrer les caractérisations de deux supplémentaires en dimension finie :
E = F ⊕G⇐⇒ (F ∩G = {0}et dim F + dim G = dim E)
⇐⇒ (E = F + G et dim F + dim G = dim E)
8. Théorème du rang.
PRÉVISIONS : ( Applications linéaires en dimension finie : caractérisation des isomorphismes en dimension finie,
dim et base de L(E,F), rang, calculs de rangs (pivot de Gauss sur la matrice d’une famille de vecteurs).