Programme de colle n˚16- semaine du 30 janvier Algèbre linéaire

Janson-de-Sailly
MPSI4
Programme de colle n˚16- semaine du 30 janvier
Le cours doit être parfaitement su.
Algèbre linéaire : la théorie de la dimension finie
1- Familles libres, familles génératrices, bases
1. Familles génératrices.
2. Familles libres, familles liées. Des exemples : dans Rn , RN , F(R, R), les familles de polynômes de degré échelonnés sont
libres dans R[X].
3. Bases. Coordonnées d’un vecteur dans une base.
4. Familles de vecteurs et somme. Soit (Fi )i∈[[1,n]] une famille de sev de E.
La concaténation de familles génératrices des Fi donne une famille génératrice de
∑n
i=1
Fi .
Si les Fi sont en somme directe, la concaténation de familles libres de chaque Fi donne une famille libre de la somme
directe ⊕ni=1 Fi .
Si E = ⊕ni=1 Fi , base de E par concaténation de bases de chaque Fi .
5. Si E = ⊕ni=1 Fi , et fi ∈ L(Fi , F) pour i ∈ [[1, n]], il existe une et une seule f ∈ L(E, F) tel que f|Fi = fi .
6. Familles de vecteurs et applications linéaires
Si F famille génératrice de E et si f ∈ L(E, F), on a Im f = Vect (f (F)).
L’image d’une famille libre par une application linéaire injective est libre.
Si B est une base de E, f est un isomorphisme de E dans F si et seulement si l’image par f des vecteurs de B forme une
base de F.
Si B est une base, la donnée des images des vecteurs de B définit une unique application linéaire.
2 - Théorie de la dimension
1. Espace vectoriel de dimension finie. Définition (existence d’une famille génératrice finie).
Théorème de la base incomplète. Conséquence : en dimension finie (̸= 0), existence d’une base finie.
2. Dimension d’un ev
Lemme : Si E possède une famille génératrice de n vecteurs, toute famille de cardinal au moins n + 1 est liée, c’est-à-dire :
toute famille libre de E a au plus n vecteurs.
Conséquence : Si E est de dimension finie, toutes les bases de E sont finies et ont même cardinal. Définition de la dimension
de E. Exemples : Kn , Kn [X], bases canoniques de ces espaces vectoriels, dimC C et dimR C.
Corollaire : si dim E = n, les familles libres de E ont au plus n vecteurs et les familles génératrices de E ont au moins n
vecteurs.
Dimension de E × F
3. Caractérisation des bases en dimension finie
Théorème : Si E de dimension n, toute famille libre (respectivement génératrice) de E ayant n vecteurs est une base de E.
4. Dimension d’un sous-espace vectoriel
Théorème : Si E de dim finie, les sev de E sont de dim finie et de dimension ≤ dim E.
De plus : deux sev, F et G, de E vérifiant F ⊂ G et dim F = dim G sont égaux.
Dimension d’une somme F + G (formule de Grassmann) (preuve géométrique par construction d’une base.)
Caractérisation des supplémentaires parmi les sev de E en somme directe.
Existence de supplémentaires en dimension finie.
∑
∑
Propriété : Si F1 , . . . , Fn sont n sev de E, tous de dimension finie, dim( Fi ) ≤
dim Fi avec égalité si et seulement si
∑
Fi = ⊕Fi
5. Théorème du rang : Si E est un ev de dimension finie et f ∈ L(E, F).
1) La restriction de f à un supplémentaire G du noyau réalise un isomorphisme de G sur Im f
2) dim E = dim ker f + rgf
N.B. Le cours n’est pas fini, en particulier on n’a pas encore évoqué la notion de rang et les conséquences du théorème du rang
sur les applications linéaires en dimension finie.
QUESTIONS DE COURS : Tout énoncé d’un résultat du cours sur la dimension finie. Pour les démos :
1. Liberté dans le R-ev RN des suites réelles de la famille des vecteurs (u, v, w) où u = (1)n , v = (2n )n et w = (n)n .
2. Liberté des familles de polynômes de degré échelonnés.
3. Soit f ∈ L(E, F).
Si f est injective, l’image d’une famille libre de E par f est une famille libre de F.
4. Pour f ∈ L(E, F), si F est une famille génératrice de E, alors Imf = Vect (f (F))
5. Soit f ∈ L(E, F) et B est une base de E. Montrer que f est un isomorphisme si et seulement si f (B) une base de F.
6. Dimension de F + G (par construction d’une base)
7. Énoncé et démontrer les caractérisations de deux supplémentaires en dimension finie :
E = F ⊕ G ⇐⇒ (F ∩ G = {0} et dim F + dim G = dim E)
⇐⇒ (E = F + G et dim F + dim G = dim E)
8. Théorème du rang.
PRÉVISIONS : ( Applications linéaires en dimension finie : caractérisation des isomorphismes en dimension finie,
dim et base de L(E, F), rang, calculs de rangs (pivot de Gauss sur la matrice d’une famille de vecteurs).