Chapitre 23 : Espaces vectoriels de dimension finie.

ECS3 Carnot Chapitre 23 — Espaces vectoriels de dimension finie 2013/2014
Chapitre 23 : Espaces vectoriels de
dimension finie.
1 Bases et dimension
Définition 1.0.1
Un espace vectoriel Eest dit de dimension finie si il possède une famille génératrice
finie. Dans le cas contraire on dit que Eest de dimension infinie.
Exemple. On a vu que c’était le cas de Kn, de Kn[X]et de Mn,p(K).
Théorème 1.0.1 (Existence de Bases pour les espaces de type fini)
Soit L= (e1,...,ek)une famille libre de Eet f1, . . . , fn∈Etels que G=
(e1,...,ek, f1,...,fn)engendre E. Alors il existe une famille Bde vecteurs de Evéri-
fiant L ⊂ B ⊂ G et tel que Best une base de E.
Démonstration : Parmi les familles libres incluses dans Gcontenant L, il en existe une de
cardinal maximum que l’on note B. On a B= (e1,...,ek, fi1,...,fip). Montrons que Best
génératrice.
Soit j∈[[ 1 ; n]]. Alors soit fj∈ B auquel cas il est combinaison linéaire d’éléments
de B, soit fj/∈ B. Dans ce cas, par définition (e1,...,ek, fi1,...,fip, fj)est liée : il existe
λ1...λk+p+1 ∈Knon tous nuls tel que
λ1e1+···+λkek+λk+1fi1+···+λk+pfip+λk+p+1fj= 0
Comme Best libre, on a nécessairement λk+p+1 6= 0 (sinon on a une combinaison linéaire
nulle d’éléments de B). Donc
fj=−1
λk+p+1
(λ1e1+···+λkek+λk+1fi1+···+λk+pfip)
et fjest combinaison linéaire d’éléments de B. Ainsi on a G ⊂ Vect (B)et par définition
E= Vect G ⊂ Vect B. Donc Best génératrice, c’est une base.
Théorème 1.0.2
Tout espace de dimension finie admet une base.
Démonstration : En appliquant ce résultat à L=∅, et à Gla famille génératrice finie.
La proposition suivante va nous permettre de définir la dimension d’un espace de di-
mension finie.
Proposition 1.0.1
Soit (e1,...,en)et (f1,...,fn+1)deux familles de vecteurs de Etel que
∀j∈[[ 1 ; n+ 1 ]] , fj∈Vect (e1,...,en)
Alors la famille (f1,...,fn+1)est liée.
J. Gärtner. 1

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Démonstration : On montre ce résultat par récurrence sur n.
– Initialisation : Si f1et f2sont combinaison linéaire de e1alors f1=λe1et f2=µe1. Si
λ=µ= 0 alors f1=f2= 0 et (f1, f2)est liée. Sinon on a µf1−λf2=λµ(e1−e1) = 0
et (f1, f2)est liée.
– Hérédité. Soit n∈N,n>2. Supposons le résultat vrai pour n−1. Soit (e1,...,en)
et (f1,...,fn+1)deux familles de vecteurs de Etel que ∀i∈[[ 1 ; n+ 1 ]] , fi∈
Vect (e1,...,en). Il existe donc des scalaires (ai,j )i∈[[ 1 ; n+1 ]], j∈[[ 1 ; n]] tels que
f1=a1,1e1+···+a1,nen
.
.
.=...
fn+1 =an+1,1e1+···+an+1,nen
Si tous les ai,n sont nuls, alors f1,...,fns’expriment en fonction des e1,...,en−1
donc par hypothèse de récurrence, (f1,...,fn)est liée et (f1, . . . , fn+1)aussi. Sinon,
quitte à changer l’ordre des vecteurs, on a par exemple an+1,n 6= 0. Dans ce cas
on pose pour tout i∈[[ 1 ; n]] gi=fi−ai,n
an+1,n
fn+1 (on applique l’algorithme du
Pivot...)
Par construction, g1,...,gnsont combinaison linéaire des e1,...,en−1donc par hy-
pothèse de récurrence, i existe λ1,...,λnnon tous nuls tels que λ1g1+···+λngn= 0.
C’est-à-dire n
X
i=1
λifi−ai,n
an+1,n
fn+1= 0
on a donc une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls.
λ1f1+···+λnfn−Pn
i=1 ai,n
an+1,n
fn+1 = 0
et (f1,...,fn+1)est liée.
Remarque. Quitte à ajouter des 0, on a donc aussi que si (f1, . . . , fn)sont combinaison
linéaire des e1,...,epavec p < n, alors ils sont liés.
Théorème 1.0.3
Toutes les bases d’un espace de dimension finie ont même nombre de vecteur. Ce nombre
est appelé dimension de E. On note dim E.
Démonstration : Si (e1,...en)et (f1,...,fp)sont deux bases de E, alors tous les fisont
combinaison linéaires des ei. Comme la famille (f1,...,fp)est libre, la proposition ci-dessus
montre que p6n. En renversant les rôles, n6pet p=n.
Exemple. 1. ∅est la seule base de {0}.Eest de dimension 0 si et seulement si E={0}.
2. En comptant les éléments des bases canoniques, on a ∼Kn=n,dim Kn[X] = n+ 1
et dim Mn,p(K) = np.
Remarque. Attention aux corps de base ! Cest de dimension 1 sur C, mais de dimension
2sur R.
Proposition 1.0.2
Si Eest de dimension net Fest de dimension p, alors E×Fest de dimension n+p.
Démonstration : En effet, si (e1,...,en)est une base de Eet (f1, . . . , fp)une base de F,
alors E×Fa pour base ((e1,0),...,(en,0),(0, f1),...,(0, fp)).
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Théorème 1.0.4 (Extraction de Base)
Si Eest de dimension finie, alors de toute famille génératrice de Eon peut extraire une
base.
Démonstration : C’est le tout premier théorème de ce chapitre, appliqué à L=∅.
Ainsi :
Proposition 1.0.3
Si Eest de dimension finie n>1alors
1. toute les familles génératrices finies de Eont plus de nvecteurs.
2. une famille génératrice de nvecteurs est une base de E.
3. Aucune famille de n−1vecteurs n’est génératrice.
Théorème 1.0.5 (Base incomplète)
Si Eest de dimension finie n. Soit (e1,...,ek)une famille libre de E. Alors il existe des
vecteurs ek+1,...,en(que l’on peut prendre dans une famille génératrice quelconque)
tels que (e1,...,en)soit une base de E.
Démonstration : Soit L= (e1,...,ek)et (f1,...,fp)une famille génératrice. Alors on ap-
plique le premier théorème à G= (e1,...,ek, f1,...,fp).
Proposition 1.0.4
Si Eest de dimension finie n>1alors
1. toute les familles libres de Eont moins de nvecteurs.
2. une famille libre de nvecteurs est une base de E.
3. Aucune famille de n+ 1 vecteurs n’est libre.
Exemple. Pour montrer dans un espace de dimension finie dont on connait la dimension
qu’une famille est une base, il suffit de montrer qu’elle est libre et qu’elle a le bon nombre
de vecteurs. (On peut aussi montrer qu’elle est génératrice et qu’elle a le bon nombre de
vecteurs, mais il est souvent plus facile de montrer qu’une famille est libre).
Par exemple dans C2[X]la famille (X2+X+ 1, X + 3,2) est libre et comporte 3
vecteurs. Comme dim C2[X] = 3 on a bien une base.
2 Sous-espaces en dimension finie, rang
2.1 Sous-espaces
Théorème 2.1.1
Tout sous-espace Fd’un espace de dimension finie Eest de dimension finie.
Démonstration : Soit Fun sous espace d’un espace de dimension n. Les familles libres de F
sont des familles libres de Eelles ont donc au plus néléments. Soit Bune famille libre de F
de cardinal maximal. Alors en raisonnant comme au tout premier théorème de ce chapitre,
on montre que Best génératrice, donc une base. On a donc une famille génératrice finie
pour Fqui est de dimension finie.
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Théorème 2.1.2
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie. Si Fet Gsont deux sous-espaces de E,
avec F⊂G, alors dim F6dim Gavec égalité si et seulement si F=G.
Démonstration : Soit Bune base de F. C’est une famille libre de Fdonc de G. Ainsi dim F6
dim G. Si dim F= dim Galors Best une famille libre de Gde cardinal égal à dim Gdonc
c’est une base et F=G. Si F=Gil est clair que dim F= dim G...
2.2 Rang d’une famille de vecteurs
Définition 2.2.1
Soit (e1,...,en)une famille de vecteurs. On appelle rang de cette famille, et on note
rg (e1,...,en)la dimension de V ect(e1,...,en).
Proposition 2.2.1
Soit Eun espace de dimension finie n>1. Soit F= (u1,...,up)une famille finie de p
vecteurs de E. Soit r= rg (F). Alors
1. r6n
2. r6p
3. r=n⇔ F est génératrice de E
4. r=p⇔ F est libre.
5. r=n=p⇔ F est une base.
6. Si λp6= 0,r= rg (u1,...,up−1,Pp
i=1 λiui).
Démonstration : Soit F= Vect (F). Alors rg (F) = dim F=r. Alors Fest un sev donc
dim F6dim E.Fest une famille génératrice de Fdonc le cardinal de cette famille pest
au moins égal à la dimension rde F. De plus r=nssi dim F= dim Edonc ssi F=Eet
Fengendre E.
Si r=palors puisque la famille Fest génératrice de F, c’est une base donc est libre.
Réciproquement si cette famille est libre, c’est une base car elle est génératrice. Donc
dim F=p. Les autres points sont immédiats.
Définition 2.2.2 (Matrice d’une famille de vecteurs)
Soit Eun espace de dimension n, de base B. Soit f1,...,fpdes vecteurs de E. Notons
(a1,j ...,an,j )les coordonnées de fjdans la base B. Alors la matrice de la famille
(f1,...,fp)relativement à la base Best
Mat B(f1,...,fn) = A= (ai,j) = 
a1,1. . . a1,p
.
.
..
.
.
an,1. . . an,p
∈ Mn,p(K)
Exemple. Dans R3[X], soit P1= (X−1)2,P2= (X−2)2et P3=X−3. Alors la matrice
de (P1, P2, P3)dans la base canonique est
1−8−3
−2 12 1
1−6 0
0 1 0
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2.3 Rang d’une matrice
Définition 2.3.1
Soit A∈ Mn,p(K). On appelle rang de Ale rang de la famille de ses vecteurs colonne
dans Mn,1(K)et on note rg (A).
Exemple. rg 1 2 0
0 2 0= 2.
Comme le rang de A∈ Mn,p(K)est le rang d’une famille de pvecteurs d’un espace de
dimension n, on a
Proposition 2.3.1
Si A∈ Mn,p(K)alors rg (A)6inf(n, p).
Proposition 2.3.2
Soit Eun espace de dimension nmuni d’une base Bet f1, . . . , fpdes vecteurs de E.
Soit Ala matrice de ces vecteurs dans la base B. Alors rg (f1, . . . , fp) = rg (A).
Démonstration : On utilise l’isomorphisme ϕentre Eet Mn,1(K)qui a un vecteur asso-
cie la colonne de ses coordonnées dans la base B. On a donc un isomorphisme entre
Vect (f1,...,fp)et Vect (ϕ(f1),...,ϕ(fp)). Ce qui donne l’égalité des rangs.
Calcul du rang : Pour calculer le rang d’une matrice A(donc aussi d’une famille de
vecteur) on peut entre autres appliquer l’algorithme du pivot de Gauss à A.
On arrive après opérations élémentaires sur les lignes (et éventuellement sur les co-
lonnes) à une matrice du type
a1,1a1,2a1,3... ... a1,p
a2,2a2,3... ... a2,p
....
.
.
ar,r . . . ar,p
0
.
.
.
0
Le rang de cette matrice est alors facile à trouver en pratique. Par exemple la matrice
1 2 3 4
0 0 2 2
0 0 1 2
0 0 0 0
a clairement pour rang 3: les deux premières colonnes sont liées et indé-
pendentes des deux dernières. De plus C3et C4ne sont pas colinéaires. En général, le rang
sera koù kest le nombre de lignes telles que aj,j = 0 avec j∈[[ 1 ; r]].
Exercice. Sur la matrice ci-dessus, utiliser la méthode du Pivot de Gauss pour calculer le
rang.
La justification de cette méthode passe par la
Proposition 2.3.3
Soit Aune matrice et Bune matrice obtenue à partir de Apar opérations élémentaires
J. Gärtner. 5