les espaces vectoriels de dimension finie

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R
RÉS
SU
UM
MÉ n
n°
°2
22
2:
:LES ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE
Dans tout ce résumé, sera égal soit à , soit à .
Dans ce chapitre, toutes les familles sont finies : elles possèdent donc un nombre fini d’éléments.
DIMENSION ET FAMILLES
D1 Un ev
E
est dit de dimension finie s’il possède au moins une famille génératrice finie, c’est à dire une famille génératrice
ayant un nombre fini d’éléments.
Dans le cas contraire, on dit que
E
est de dimension infinie.
P1 Le théorème de la base extraite.
Soit
E
un ev de dimension finie distinct de
{ }
o
.
De toute famille génératrice finie de
E
, on peut extraire une base de
E
.
Tout
ev de dimension finie distinct de
{ }
o
admet au moins une base finie.
P2 Soit
1 2
, ,...,
n
e e e
une base d’un ev
E
constituée de
n
vecteurs.
Toute famille de
E
possédant
1
n
éléments est alors une famille liée.
P3 Soit
E
un ev de dimension finie distinct de
{ }
o
. Toutes les bases de
E
possèdent le même nombre d’éléments.
D2 a)Ce nombre d’éléments s’appelle la dimension de
E
.
Ainsi, si
E
est une base de
E
, alors on a : cadi rdm( )
( )
E
E
.
b)Par convention, on note
0
dim { }o
.
c)Un
ev de dimension 1 s’appelle une droite vectorielle.
d)Un
ev de dimension 2 s’appelle un plan vectoriel.
P4 Soit
E
un ev de dimension finie
n
distinct de
{ }
o
.
a)Toute famille libre de
E
possède au plus
n
éléments.
b)Toute famille génératrice de
E
possède au moins
n
éléments.
P5 On a a) * : et
dim( ) dim [ ] 1
n
n
nn X n    .
b)
*
n  et
*
p  :
,
dim ( )
n p
n p
. On a en particulier
2
dim* : ( )
n
n
n  .
c)Par contre,
[ ]
X
et
,
I
(avec
I
intervalle de ), sont de dimension infinie.
P6 Le théorème de la base incomplète.
Soit
E
un ev de dimension finie distinct de
{ }
o
.
Toute famille libre finie de
E
peut être complétée en une base de
E
.
P7 Soient
1 2
un ev de 1
( , ,..., ) une de de
n
n
n
E
u u u E
dimension finie
famille cardinal
. On a les équivalences suivantes :
famille libre famille générat
est une est une de est une de
rice base
E E
    .

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DIMENSION ET SOUS-ESPACES VECTORIELS
P8 Soient un ev de
un de
E
F E
dimension finie
sev
.
a)On a toujours
dim( ) dim( )
F E
et on a l’équivalence suivante :
dim( ) dim( )
F E F E
   .
b)Si
G
est un autre sev de
E
, on a alors l’équivalence :
dim( ) dim( )
F G
F G
F G
.
P9 Soient un ev de
un de
E
F E
dimension finie
sev
. Il existe alors un sev
G
de
E
tel que
E F G
.
P10 Soient un ev de
et deux de tels que la somme soit
directe
G
E
F G E F
dimension finie
sevs
.
a)Si
est une de
est une
BASE
BAS
de
E
F
G
F
G
alors
F G
est une BASE de
F G
.
b)On a donc
dim( ) dim( ) dim( )
F G F G
   : cette égalité est fausse si la somme n’est pas directe.
P11 La formule de Grassmann.
Soient
F
et
G
deux sevs d’un ev de dimension finie
E
. On a alors
dim( ) dim( ) dim( ) dim( )
F G F G F G
     .
ESPACES VECTORIELS ISOMORPHES
P12 Soient 1 2
1 2
un ev de 1
( , ,..., ) une base
famil
de
un ev
( , ,..., ) une le quelconqu
de
e
E n
n
E
e e e E
F
u u F
n
u
dimension finie
.
Il EXISTE alors une UNIQUE application linéaire :
f E F
telle que {1,2,..., (} : )
k k
k n
f e u
.
D3 Deux evs
E
et
F
sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme :
f E F
de
E
sur
F
.
P13 Soient
E
et
F
deux evs de dimensions finies. On a l’équivalence :
E
et
F
sont isomorphes
dim( ) dim( )
E F
.
DIMENSION ET APPLICATIONS LINÉAIRES
P14 Soient
MÊME DIMENSION FIN
et deux evs de
: u
IE
application linnéairee
E F
f E F
. Les conditions suivantes sont équivalentes :
injective surjective: est : est : b est
ijective
f E F f E F f E F     .
P15 Soient
dimensions finies
application linéa
et deux evs de
: une
un sev de tel que
ire
Ker( )
E f
f E F
G E G
E F
. Alors
G
et
Im( )
f
sont isomorphes.
P16 Le théorème du rang (ou formule du rang).
Soient
dimensions finies
et deux evs de
: u application linne ireéa
E F
f E F
. On a alors
dim Ker( ) dim Im( ) dim( )
f f E
  .

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DIVERSES NOTIONS DE RANGS
D4 Soient
dimensions finies
et deux evs de
: u application linne ireéa
E F
f E F
.
On appelle rang de
f
la dimension de
Im( )
f
.
On note alors
dimrg(
)
)
Im(
f
f
.
La formule du rang s’écrit alors :
dim Ker( ) rg( ) dim( )
f f E
  .
D5 Soient
1 2
, ,..,
un ev
une famille de
n
u u
E
E
u .
On appelle rang de la famille
le nombre suivant :
1 2
dim Verct , ,..,gn
u u u
.
P17 Soient
1 2
, ,..,
un ev
une famille de
n
u u
E
E
u .
a)On a toujours
rg
n
.
b)On a l’équivalence suivante :
est une famille libre
rg
n
.
P18 Soient
1 2
dimensions finies
application linéair
et deux evs de
e
base
: une
( , ,..., ) une de
E n
E F
f E F
e e e E
. On a alors
1 2
rg( ) rg ( ), ( ),..., ( )
n
f f e f e f e
.
DEUX EXEMPLES ISSUS DE L’ANALYSE
P19 Les suites birécurrentes.
On note
E
l’ensemble des suites complexes
( )
n n
u
.
En posant
( ) ( ) ( )
n n n n n n n
u v u v
et
.( ) ( . )
n n n n
u u
, on munit
E
d’une structure de
ev
.
Soient
2
( , )a b 
fixé. On note
2 1
( ) , :
. .
n nn n n
F a uE
u u
u n b
.
a)
F
est un sev de
E
.
b)L’application 2
0 1
:
( ) ( , )
n n
F
u u u
est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
c)On en déduit
dim( ) 2
F
.
P20 Les équations différentielles linéaires du premier ordre.
Soient
un
: une sur
une de sur
I
a I I
A a I
intervalle
fonction continue
primitive
. On note 1
( , )
E I
et
'( ) ( ),
. ( ) 0
:F f xf E a x fxxI  .
a)
F
est un sev de
E
.
b)Posons
:
exp ( )
I
x A x
. La famille
( )
est une base de
F
.