les espaces vectoriels de dimension finie

RÉSUMÉ n°22 : LES ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE
Dans tout ce résumé,  sera égal soit à  , soit à  .
Dans ce chapitre, toutes les familles sont finies : elles possèdent donc un nombre fini d’éléments.
DIMENSION ET FAMILLES
D1 Un   ev E est dit de dimension finie s’il possède au moins une famille génératrice finie, c’est à dire une famille génératrice
ayant un nombre fini d’éléments.
Dans le cas contraire, on dit que E est de dimension infinie.
P1 Le théorème de la base extraite.

Soit E un   ev de dimension finie distinct de {o} .
De toute famille génératrice finie de E , on peut extraire une base de E .

Tout   ev de dimension finie distinct de {o} admet au moins une base finie.
 

P2 Soit    e1 , e2 ,..., en  une base d’un   ev E constituée de n vecteurs.
Toute famille de E possédant n  1 éléments est alors une famille liée.

P3 Soit E un   ev de dimension finie distinct de {o} . Toutes les bases de E possèdent le même nombre d’éléments.
D2 a)Ce nombre d’éléments s’appelle la dimension de E .
Ainsi, si E est une base de E , alors on a : dim( E )  card (E ) .

b)Par convention, on note dim {o}  0 .
c)Un   ev de dimension 1 s’appelle une droite vectorielle.
d)Un   ev de dimension 2 s’appelle un plan vectoriel.

P4 Soit E un   ev de dimension finie n distinct de {o} .
a)Toute famille libre de E possède au plus n éléments.
b)Toute famille génératrice de E possède au moins n éléments.
P5 On a a) n   * : dim( n )  n et dim   n [ X ]  n  1 .
b) n   * et p   * : dim  n , p ( )   n  p . On a en particulier n   * : dim  n ()   n 2 .
c)Par contre, [ X ] et   I ,   (avec I intervalle de  ), sont de dimension infinie.
P6 Le théorème de la base incomplète.

Soit E un   ev de dimension finie distinct de {o} .
Toute famille libre finie de E peut être complétée en une base de E .
 E un   ev de dimension finie n  1
P7 Soient 
. On a les équivalences suivantes :
 

   (u1 , u2 ,..., un ) une famille de E de cardinal n
 est une famille libre   est une famille génératrice de E   est une base de E .
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DIMENSION ET SOUS-ESPACES VECTORIELS
 E un   ev de dimension finie
P8 Soient 
.
 F un sev de E
a)On a toujours dim( F )  dim( E ) et on a l’équivalence suivante : F  E  dim( F )  dim( E ) .
F  G
b)Si G est un autre sev de E , on a alors l’équivalence : F  G  
.
dim( F )  dim(G )
 E un   ev de dimension finie
P9 Soient 
. Il existe alors un sev G de E tel que E  F  G .
 F un sev de E
 E un   ev de dimension finie
P10 Soient 
.
 F et G deux sevs de E tels que la somme F  G soit directe
 F est une BASE de F

a)Si 
alors   F  G est une BASE de F  G .
 G est une BASE de G
b)On a donc dim( F  G )  dim( F )  dim(G ) : cette égalité est fausse si la somme n’est pas directe.
P11 La formule de Grassmann.
Soient F et G deux sevs d’un   ev de dimension finie E . On a alors dim( F  G )  dim( F )  dim(G )  dim( F  G ) .
ESPACES VECTORIELS ISOMORPHES
 E un   ev de dimension finie n  1

 

 E  (e1 , e2 ,..., en ) une base de E
P12 Soient 
.
 F un   ev

 

   (u1 , u2 ,..., un ) une famille quelconque de F


Il EXISTE alors une UNIQUE application linéaire f : E  F telle que k  {1, 2,..., n} : f (ek )  uk .
D3 Deux   evs E et F sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme f : E  F de E sur F .
P13 Soient E et F deux   evs de dimensions finies. On a l’équivalence : E et F sont isomorphes  dim( E )  dim( F ) .
DIMENSION ET APPLICATIONS LINÉAIRES
 E et F deux   evs de MÊME DIMENSION FINIE
P14 Soient 
. Les conditions suivantes sont équivalentes :
 f : E  F une application linéaire
f : E  F est injective

f : E  F est surjective

f : E  F est bijective .
 E et F deux   evs de dimensions finies


P15 Soient  f : E  F une application linéaire
. Alors G et Im( f ) sont isomorphes.

 G un sev de E tel que E  Ker( f )  G
P16 Le théorème du rang (ou formule du rang).
 E et F deux   evs de dimensions finies
Soient 
. On a alors dim  Ker( f )   dim  Im( f )   dim( E ) .
 f : E  F une application linéaire
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DIVERSES NOTIONS DE RANGS
 E et F deux   evs de dimensions finies
D4 Soient 
.
 f : E  F une application linéaire
On appelle rang de f la dimension de Im( f ) .
On note alors rg( f )  dim  Im( f )  .
La formule du rang s’écrit alors : dim  Ker( f )   rg( f )  dim( E ) .
 E un   ev
D5 Soient 
.
 

    u1 , u2 ,.., un  une famille de E
 

On appelle rang de la famille  le nombre suivant : rg     dim  Vect  u1 , u2 ,.., un   .
 E un   ev
P17 Soient 
.
 

    u1 , u2 ,.., un  une famille de E
a)On a toujours rg     n .
b)On a l’équivalence suivante :  est une famille libre  rg     n .
 E et F deux   evs de dimensions finies





P18 Soient  f : E  F une application linéaire
. On a alors rg( f )  rg  f (e1 ), f (e2 ),..., f (en )  .

 

 E  (e1 , e2 ,..., en ) une base de E
DEUX EXEMPLES ISSUS DE L’ANALYSE
P19 Les suites birécurrentes.
On note E l’ensemble des suites complexes (un ) n .
En posant (un ) n  (vn ) n  (un  vn ) n et .(un ) n  (.un )n , on munit E d’une structure de   ev .


Soient (a, b)   2 fixé. On note F  (un ) n  E , n   : un  2  a.un 1  b.un .
a) F est un sev de E .
b)L’application  : F   2 est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
(un ) n  (u0 , u1 )
c)On en déduit dim( F )  2 .
P20 Les équations différentielles linéaires du premier ordre.
 I un intervalle

Soient  a : I   une fonction continue sur I . On note E   1 ( I , ) et F  f  E , x  I : f '( x)  a ( x ). f ( x)  0 .

 A une primitive de a sur I

a) F est un sev de E .
b)Posons  : I  
. La famille ( ) est une base de F .
x  exp   A( x) 
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