PCSI - colle de mathématiques n 13 Dimension finie. 1) Familles

PCSI - colle de mathématiques n◦13
Dimension finie.
1) Familles finies de vecteurs.
Familles libres, liées, génératrices, bases, coordonnées. Remarques sur ces notions relativement à un sous-espace. Base canonique
de Kn, de Kn[X], de M(n,p)(K). Base de E×Fconstruite à partir d’une base de Eet d’une base de F. La donnée d’une famille
S= (e1, ..., ep)de vecteurs de Edétermine une application linéaire ϕS:(x1, ..., xp)7→ (e1, ..., ep).ϕSest injective ssi Sest libre,
surjective ssi Sest génératrice, bijective ssi Sest une base.
Effet sur une famille libre, liée, ou génératrice des opérations élémentaires. Surfamille d’une famille génératrice, d’une famille liée.
Sous-famille d’une famille libre.
Matrice d’un vecteur ou d’une famille de vecteurs relativement à une base.
Échelonnement : des degrés d’une famille de polynômes, d’une famille de Kn, de la matrice d’une famille de vecteurs. De telles
familles sont libres.
2) Dimension d’un espace vectoriel.
Lemme : si une famille de nvecteurs engendre une famille de n+ 1 vecteurs, alors la seconde est liée. Théorème de la dimension :
s’il existe une base de nvecteurs, alors toutes les bases ont nvecteurs. On dit que Eest de dimension (finie) n. Convention :
dim{0}= 0. Dimension des espaces usuels. Deux espaces de dimension finie sont isomorphes ssi ils ont même dimension. (En
particulier, dim E=nsi et seulement si E∼Kn). Formule de changement de base pour un vecteur, pour une famille de vecteur
(on remarque que la matrice de passage est carrée, son inverse est la matrice de passage décrivant le changement de base opposé).
Théorème : Eest de dimension finie ssi il existe une famille finie de vecteurs, génératrice de E.
3) Dimension d’un sous-espace vectoriel.
Théorème de la base incomplète. Si Fest un sev de Eet dim E=n, alors Fest de dim finie et dim F≤n, avec égalité ssi F=E.
Existence d’un supplémentaire en dimension finie. Dimension d’une somme directe. Dimension d’un supplémentaire. Si dim E=n,
Fet F0sont supplémentaires ssi ils vérifient 2 des 3 propriétés : F∩F0={0},F+F0=E,dim E= dim F+ dim F0. Formule de
Grassmann. Rang d’une famille de vecteurs. Les opérations élémentaires conservent le rang. Application à l’échelonnement d’une
famille et calcul de rangs.
Rang d’une matrice = rang des colonnes = rang des lignes : une matrice est de rang rsi et seulement si elle s’écrit M=U JrV
où U,Vinversibles et Jr= [αi,j ]avec αi,i = 1 si i≤ret αi,j = 0 dans les autres cas.
4) Applications linéaires en dimension finie.
Si B= (ei)base de Eet S= (e0
i)famille de E0, il existe une unique AL fde Edans E0telle que f(ei) = e0 ipour tout i.fest
injective ssi Sest libre, surjective ssi Sest génératrice, bijective ssi Sest une base.
Matrice MB,C (f)associée à une AL de E(de base B) dans F(de base C). Isomorphisme f7→ MB,C (f), dimension de L(E, F ).
Isomorphisme (d’ev et d’anneaux) f7→ MB(f). Changement de base(s) pour la matrice d’une application linéaire. Matrice d’une
homothétie, d’une projection, d’une symétrie, d’une affinité.
Théorème du rang : si fest une AL de Edans E0,fdéfinit un isomorphisme de tout supplémentaire de Ker fsur Im f. Si Eest
de dimension finie, on a : dim Ker f+ dim Im f= dim E. Rang d’une application linéaire. Invariance du rang par composition avec
une AL injective. Un endomorphisme fde Eest inversible ssi rg f= dim E. Conséquence : si Aet Bcarrées, AB =Inou BA =In
suffit pour montrer Ainversible et B=A−1.
NB : les notions de matrices équivalentes ou semblables sont hors programme. Les matrices de famille de formes linéaires feront
l’objet d’un autre chapitre (systèmes et déterminants).
Questions de cours.
1) On définit une unique application linéaire fpar l’image d’une base B. Propriétés de fselon que f(B)est libre, génératrice,
ou une base.
2) Caractérisation des supplémentaires à l’aide de la dimension.
3) Théorème de la base incomplète.
4) Formule de Grassmann
5) Base d’un espace produit.
6) Théorème du rang
Prochains programmes : Géométrie différentielle, systèmes linéaires et déterminants, espaces euclidiens.