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Mathématiques Supérieures Colle 12
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Semaine du 21/04/2014 au 27/04/2014
Espaces vectoriels de dimension finie
•Notion de dépendance linéaire. Soit (e1,... , en) une famille de nvecteurs dans un es-
pace vectoriel E. On dit qu’elle est libre si, et seulement si,
∀(λ1,. . . , λn)∈Knn
P
k=1
λkek=0=⇒ (λ1,. . . , λn)=0
On dit qu’elle est liée si, et seulement si, elle n’est pas libre, c’est-à-dire si et ssi
∃(λ1,. . . , λn)∈Kn\ {0}
n
P
k=1
λkek=0
Propriétés élémentaire : Toute famille contenant 0 est liée. Toute sous-famille d’une
famille libre est libre ; toute sur-famille d’une famille liée est liée.
Si (e1,...,en) est liée, alors il existe i∈[[1; n]] tel que ei∈Vect ((ek)16k6n
k6=i
) et dans ce
cas, les familles (e1,. ..,en) et (ek)16k6n
k6=i
engendrent le même sous-espace.
Si (e1,...,en) est libre et e∈E, le fait que (e1,...,en,e) est libre équivaut à dire que e∉
Vect(e1,...,en).
Soient F1=(e1,...,en) et F2=(en+1,...,en+p) deux familles libres de E. Alors (F1,F2)
est libre si, et seulement si, VectF1et Vect F2sont en somme directe.
Exemples standard : une famille de deux vecteurs est liée si, et seulement si, l’un d’eux
est proportionnel à l’autre. La base canonique de Kn. La base canonique de Kn[X].
Toute famille de polynômes étagée en degrés est libre.
•Bases. On appelle base de E toute famille libre et génératrice. Soit (e1,...,en) une fa-
mille de nvecteurs de E. On note Φ:Kn−→ E
(λ1,.. . , λn)7−→
n
P
k=1
λkek
.Φest linéaire. De plus,
– (e1,. . . , en) est libre si, et seulement si, Φest injective ;
– (e1,. . . , en) est génératrice si, et seulement si, Φest surjective ;
– (e1,. . . , en) est une base si, et seulement si, Φest un isomorphisme.
Si (e1,...,en) est une base de E et si F est un sous-espace et f∈L(E,F),
alors Vect(f(e1),..., f(en)) =Im f. De plus, fest injective si, et seulement si,
(f(e1),. . . , f(en)) est libre. Enfin, fest bijective si, et seulement si, elle transforme une
base de E en une base de F.
Finalement, fest entièrement déterminée par les vecteurs (f(e1),..., f(en)) : si
(u1,. . . , un) sont dans F, il existe une et une seule f∈L(E, F) telle que f(ei)=uipour
i∈[[1; n]].
•Coordonnées. On suppose que E a une base B=(e1,. . . , en). Dans ce cas, Φ−1est un
isomorphisme de E sur Knsi x∈E, Φ−1(x) est appelé vecteur des coordonnées de x
dans B, noté [x]B. Il s’agit de l’unique (λ1,...,λn)∈Kntel que x=
n
P
k=1
λkek.
Propriétés : ∀x,y∈E∀λ∈K[λx+y]B=λ[x]B+[y]B.
•Dimension. Un espace vectoriel est dit de dimension finie si, et seulement si, il a une
partie génératrice finie. Tout espace de dimension finie non nul admet des bases.
Lemme fondamental : Si (e1,...,en) et (f1,..., fp) sont deux familles de vecteurs de E
avec p>n, telles que chaque fiest dans Vect(e1, . . . , en), alors ( f1, . . . , fp) est liée.
Dans un espace de dimension finie non nul, toutes les bases ont le même cardinal,
appelé dimension de E. Par définition, l’espace nul est le seul espace de dimension
nulle.
Soit E un espace de dimension finie n6= 0. Soit F=(e1,...,ep) une famille de vecteurs
de E.
– Si Fest génératrice, alors n6pavec égalité si, et seulement si, Fest une base.
– Si Fest libre, alors p6n, avec égalité si, et seulement si, Fest une base.
Autrement dit, la dimension de E est le cardinal minimal des familles génératrices, et
le cardinal maximal des familles libres.
•Sous-espaces. Soit E de dimension finie ; tout sous-espace F est de dimension finie et
dimF 6dim E avec égalité si, et seulement si, F =E.
Soient F et G deux sous-espaces de dimension finie de E. Alors la somme F +G est de
dimension finie ; de plus, elle est directe si, et seulement si, dimF+dimG =dim (F+G).
Théorème de l’échange : Soit E de dimension finie non nulle avec une base (e1,...,en) ;
soit (f1,... , fp) une famille libre dans E, avec p<n. Alors il existe i1,..., in−p∈[[1 ; n]]
tels que (f1,..., fp,ei1,. . . , ein−p) soit une base de E.
Corollaire : Tout sous-espace d’un espace de dimension finie a des supplémentaires.
Corollaire : Relation de Grassmann : Soient F et G des sous-espaces de dimension finie
de E. Alors F +G est de dimension finie et dim(F +G) =dim F +dimG −dim (F ∩G).
•Applications linéaires. Soient E et F deux espaces vectoriels, avec E de dimension fi-
nie. Soit f∈L(E,F). Alors Im fest de dimension finie et dimIm f+dimKer f=dimE
(théorème du rang).
Si E et F sont de dimension finie tous les deux, alors L(E,F) aussi et sa dimension est
(dimE)(dimF).
Cas particulier : E?est de dimension finie égale à la dimension de E.
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Hyperplans : Les hyperplans de E de dimension finie non nul sont exactement les sous-
espaces de dimension (dimE) −1
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