Colle 12

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Finalement, f est entièrement déterminée par les vecteurs ( f (e 1 ), . . . , f (e n )) : si
(u 1 , . . . , u n ) sont dans F, il existe une et une seule f ∈ L (E, F) telle que f (e i ) = u i pour
i ∈ [[ 1 ; n ]].
Semaine du 21/04/2014 au 27/04/2014
• Coordonnées. On suppose que E a une base B = (e 1 , . . . , e n ). Dans ce cas, Φ−1 est un
isomorphisme de E sur Kn si x ∈ E, Φ−1 (x) est appelé vecteur des coordonnées de x
n
P
dans B , noté [x]B . Il s’agit de l’unique (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn tel que x =
λk e k .
Espaces vectoriels de dimension finie
• Notion de dépendance linéaire. Soit (e 1 , . . . , e n ) une famille de n vecteurs dans un espace vectoriel E. On dit qu’elle est libre si, et seulement si,
n
P
∀(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn
k=1
k=1
Propriétés : ∀x, y ∈ E ∀λ ∈ K
• Dimension. Un espace vectoriel est dit de dimension finie si, et seulement si, il a une
partie génératrice finie. Tout espace de dimension finie non nul admet des bases.
Lemme fondamental : Si (e 1 , . . . , e n ) et ( f 1 , . . . , f p ) sont deux familles de vecteurs de E
avec p > n, telles que chaque f i est dans Vect (e 1 , . . . , e n ), alors ( f 1 , . . . , f p ) est liée.
Dans un espace de dimension finie non nul, toutes les bases ont le même cardinal,
appelé dimension de E. Par définition, l’espace nul est le seul espace de dimension
nulle.
Soit E un espace de dimension finie n 6= 0. Soit F = (e 1 , . . . , e p ) une famille de vecteurs
de E.
λk e k = 0 =⇒ (λ1 , . . . , λn ) = 0
On dit qu’elle est liée si, et seulement si, elle n’est pas libre, c’est-à-dire si et ssi
∃(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn \ {0}
n
P
k=1
[λx + y]B = λ[x]B + [y]B .
λk e k = 0
Propriétés élémentaire : Toute famille contenant 0 est liée. Toute sous-famille d’une
famille libre est libre ; toute sur-famille d’une famille liée est liée.
Si (e 1 , . . . , e n ) est liée, alors il existe i ∈ [[ 1 ; n ]] tel que e i ∈ Vect ((e k )16k 6n ) et dans ce
k6=i
– Si F est génératrice, alors n 6 p avec égalité si, et seulement si, F est une base.
cas, les familles (e 1 , . . . , e n ) et (e k )16k 6n engendrent le même sous-espace.
– Si F est libre, alors p 6 n, avec égalité si, et seulement si, F est une base.
k6=i
Si (e 1 , . . . , e n ) est libre et e ∈ E, le fait que (e 1 , . . . , e n , e) est libre équivaut à dire que e ∉
Vect (e 1 , . . . , e n ).
Autrement dit, la dimension de E est le cardinal minimal des familles génératrices, et
le cardinal maximal des familles libres.
Soient F1 = (e 1 , . . . , e n ) et F2 = (e n+1 , . . . , e n+p ) deux familles libres de E. Alors (F1 , F2 )
est libre si, et seulement si, Vect F1 et Vect F2 sont en somme directe.
• Sous-espaces. Soit E de dimension finie ; tout sous-espace F est de dimension finie et
dim F 6 dim E avec égalité si, et seulement si, F = E.
Soient F et G deux sous-espaces de dimension finie de E. Alors la somme F + G est de
dimension finie ; de plus, elle est directe si, et seulement si, dim F+dim G = dim (F+G).
Théorème de l’échange : Soit E de dimension finie non nulle avec une base (e 1 , . . . , e n ) ;
soit ( f 1 , . . . , f p ) une famille libre dans E, avec p < n. Alors il existe i 1 , . . . , i n−p ∈ [[ 1 ; n ]]
tels que ( f 1 , . . . , f p , e i 1 , . . . , e i n−p ) soit une base de E.
Corollaire : Tout sous-espace d’un espace de dimension finie a des supplémentaires.
Corollaire : Relation de Grassmann : Soient F et G des sous-espaces de dimension finie
de E. Alors F + G est de dimension finie et dim (F + G) = dim F + dim G − dim (F ∩ G).
Exemples standard : une famille de deux vecteurs est liée si, et seulement si, l’un d’eux
est proportionnel à l’autre. La base canonique de Kn . La base canonique de Kn [X].
Toute famille de polynômes étagée en degrés est libre.
• Bases. On appelle base de E toute famille libre et génératrice. Soit (e 1 , . . . , e n ) une famille de n vecteurs de E. On note Φ :
Kn −→ E
. Φ est linéaire. De plus,
n
P
(λ1 , . . . , λn ) 7−→
λk e k
k=1
– (e 1 , . . . , e n ) est libre si, et seulement si, Φ est injective ;
– (e 1 , . . . , e n ) est génératrice si, et seulement si, Φ est surjective ;
• Applications linéaires. Soient E et F deux espaces vectoriels, avec E de dimension finie. Soit f ∈ L (E, F). Alors Im f est de dimension finie et dimIm f + dim Ker f = dim E
(théorème du rang).
Si E et F sont de dimension finie tous les deux, alors L (E, F) aussi et sa dimension est
(dim E)(dim F).
Cas particulier : E? est de dimension finie égale à la dimension de E.
– (e 1 , . . . , e n ) est une base si, et seulement si, Φ est un isomorphisme.
Si (e 1 , . . . , e n ) est une base de E et si F est un sous-espace et f ∈ L (E, F),
alors Vect ( f (e 1 ), . . . , f (e n )) = Im f . De plus, f est injective si, et seulement si,
( f (e 1 ), . . . , f (e n )) est libre. Enfin, f est bijective si, et seulement si, elle transforme une
base de E en une base de F.
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Hyperplans : Les hyperplans de E de dimension finie non nul sont exactement les sousespaces de dimension (dim E) − 1
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