Chap 17 : Eléments algébriques

Chap 17 : Eléments algébriques
Chap 17 : Eléments algébriques
I. Action de K[X]
Dans tout ce qui suit,
 [X ]  A

a  A a  n
k
 k X
 k 0
 algèbre unitaire associative
est un corps commutatif, A est une
n
 a
k 0
k
est un morphisme d'algèbre d'image [a]
k
L'idéal annulateur de a est alors I a  {P  [ X ] | P(a)  0}  ker a
Lorsque I a  {0}, il possède un unique générateur normalisé a , appelé polynôme minimal de a
Lorsque I a  {0}, a est un isomorphisme de [ X ] dans [ X ]
Si a  , et I a  {0} on dit alors que a est transcendant
Si I a  {0}, P  [ X ], P(a)  0  a | P
a  A.
Dans ce cas, dim [a]  deg a
[a]  Vectk (a k )  {P(a) | P  [ X ]} est de dim finie  I a  {0}
Si I a  {0} et A est intègre, a est irréductible et [a] est un corps
n
1.  b   k a k  P(a)  [a], DE  P(a)  R(a)...
2.Inverse : Bezout Polynômes
k 0
II. Les nombres algébriques
, ,
a
Sous corps de
est algébrique sur
s'il existe P  [ X ] \{0} tq P(a)  0
Sinon, il est transcendant
Base téléscopique :  
Si est de dim. finie sur , et
alors est de dim. finie sur et dim
 dim
 dim
est de dim. finie sur ,
Avec ce qui a été vu sur les algèbres, a est algébrique sur ssi [a] est de dim finie.
Dans ce cas, a est irréductible sur et [a] est un corps
// HP //
sous-corps de . L'ensemble des a 
Inverse  X n P(1/ X ), Somme : a, b 
et
2
,  [a],
algébriques sur
 [b],dim
corps, n  *,  1 ... n mph de corps 2 à 2 ,
n
n 1
i 1
i 1
, noté
est un sous-corps de
finie, [a  b] sev de [a, b] 

(Rec,  i i  0   i i ( x)( i ( y)   n ( y))  0
 [a  b] de dim finie
 ( 1... n ) est libre dans de
 ev F ( , )
 1   n  0... n1   n  0  1  ...  n1  0)
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