Chap 17 : Eléments algébriques

Chap 17 : Eléments algébriques
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1
Chap 17 : Eléments algébriques
I. Action de K[X]
Dans tout ce qui suit, est un corps commutatif, est une algèbre unitaire associativeA
00
[] [] est un morphisme d'algèbre d'image
nn
a
kk
kk
kk
XA
a A a
Xa
{ [ ]| ( ) 0} ker
{0}
{0} [ ]
L'idéal annulateur de est alors
Lorsque , il possède un unique générateur normalisé , appelé polynôme minimal de
Lorsque , est un isomorphisme de dans
aa
aa
aa
a I P X P a
Ia
IX []
{0}Si , et on dit alors que est transcendant
a
X
a I a
{0}, [ ], ( ) 0 |Si aa I P X P a P
. [ ] ( ) { ( )| [ ]} {0} dim [ ] deg
{0} [ ]
est de dim finie Dans ce cas,
Si et est intègre, est irréductible et est un corps
kaa
a
k
a
a A a Vect a P a P X I a
I A a
0
1. ( ) [ ], ( ) ( )... 2.Inverse : Bezout Polynômes
k
kk
n
b a P a a DE P a R a
II. Les nombres algébriques
,, Sous corps de
[ ]\{0} ( ) 0 est algébrique sur s'il existe tq Sinon, il est transcendanta P X P a  
dim dim dim
Base téléscopique : Si est de dim. finie sur , et est de dim. finie sur ,
alors est de dim. finie sur et
[]
[]
Avec ce qui a été vu sur les algèbres, est algébrique sur est de dim finie.
Dans ce cas, est irréductible sur et est un corps
a
a ssi a
a
// // sous-corps de . L'ensemble des algébriques sur , noté est un sous-corps de HP a
2
(1/ ), , , [ ] [ ],dim [ ] [ , ] [ ]Inverse Somme : , finie, sev de de dim finie
n
X P X a b a b a b a b a b       
11
1 1 1
1
1
11
* , ( ... ) ( , )
( 0 ( )( ( ) ( )) 0 0... 0 ... )
..
0
. et corps, , mph de corps 2 à 2 est libre dans de
Rec,
nn
i i i i i n n n n
nn
n
ii
n ev
x y y
F