Algèbre linéaire

PSI* PROGRAMME D’INTERROGATION 1 Semaine du 19/09 au 23/09/16
Algèbre linéaire :
Notions de K-espace vectoriels, de sous-espaces vectoriels, de sous-espaces engendrés par une
partie (Rappels de Maths Sup).
Familles libres indexées par un ensemble d’indices I quelconque, familles génératrices, bases.
Somme de p sous-espaces, description, somme directe.
 Caractérisations pour qu'une somme de sous-espaces soit directe.
 Si
,
u L E F
 et
,
v L F G
, alors
0 Im Ker
vou u v
   .
 Projecteurs p d’un espace vectoriel, propriétés : Im Ker
E
p p id
  ,
Im Ker
E p p
.
Famille de projecteurs associée à 1
i
i p
E E
  .
Espaces vectoriels de dimension finie, théorèmes généraux, notion de dimension.
Dimension d'un produit d'espaces vectoriels.
Dimension d’un sous-espace vectoriel (Rappels de Maths Sup).
 Base adaptée et dimension d’une somme directe de p sous-espaces.
Formule de Grassman.
Applications linéaires en dimension finie:
Propriétés de l’injectivité et de la surjectivité d’une application linéaire liées à la notion de famille
libre, génératrice et de base.
En dimension finie, E et F sont isomorphes si et seulement si dimE = dimF.
Rang d’une application linéaire de E dans F dans le cas où E est un Kev de dimension finie.
dim
rg u E
 et
dim injective
rg u E u  .
Si F est de dimension finie,
dim
rg u F
 et
dim surjective
rg u F u  .
 Tout supplémentaire de
Ker
u
dans E est isomorphe à Im
u
.
Si E est de dimension finie: dim dim
rg u E Keru
Caractérisation des isomorphismes et des automorphismes en dimension finie.
Notes aux colleurs :
Tout d’abord, merci de bien vouloir participer aux colles dans la classe de PSI* pour l’année
2016/2017.
Comme les années précédentes, je vous demande :
1) de vous assurer de la bonne compréhension du programme en interrogeant les étudiants sur des
questions de cours qui peuvent être posées, soit directement, soit à l’occasion d’un exercice
(les résultats du cours que les étudiants doivent savoir impérativement démontrer sont visualisés
dans le programme par un  ).
2) de poser un exercice (ou plus) respectant le programme du moment et correspondant au niveau
des étudiants (dans la plupart des cas, commencer par un exercice d’application pour vérifier si
les bases sont acquises).
3) dans le cas où le cours ne serait pas suffisamment connu, de sanctionner l’interrogation par une
note < 10 et demander à l'étudiant de refaire la question de cours sur feuille à me rendre.
Prochain programme: Matrices.