Note de cours - MPSI-3

Lyc ´ee Thiers
Théorie de la dimension
1. Lemme fondamental
Lemme. Soit E un K−ev et soit (x1,· · · ,xn)une famille de vecteurs de E (avec n ∈N?).Alors, toute
famille composée de n +1combinaisons linéaires des xiest liée.
Démonstration. Par récurrence sur n.
çPour n=1,c’est simple : si y1=λ1x1et y2=λ2x1,alors y1,y2est liée. En effet, c’est évident
si λ1=λ2=0; et sinon, cela résulte de λ2y1−λ1y2=0E.
çSupposons la propriété établie au rang net soient alors x1,· · · ,xn+1des vecteurs de Eet
y1,· · · ,yn+2des combinaisons linéaires des xi.On dispose pour chaque i∈{1,· · · ,n+2}d’une
expression de yide la forme :
yi=
n+1
X
j=1
λi,jxj(i)
Si ∀i∈{1,· · · ,n+2}, λi,n+1=0,alors les yisont en fait combinaisons linéaires de x1,· · · ,xn
seulement. Dans ce cas, l’HR montre que y1,· · · ,yn+1est liée. Comme toute sur-famille
d’une famille liée est liée, il en va de même pour y1,· · · ,yn+2.
Sinon, ∃i∈{1,· · · ,n+2};λi,n+1,0.Quitte à ré-indexer, on peut supposer pour simplifier
que λ1,n+1,0.Il vient alors, d’après (1):
xn+1=1
λ1,n+1
y1−
n
X
j=1
λ1,jxj
D’où, en remplaçant dans (i),pour i∈{2,· · · ,n+2}:
yi=
n
X
j=1
λi,jxj+λi,n+1
λ1,n+1
y1−
n
X
j=1
λ1,jxj
Par conséquent, en posant :
∀i∈{2,· · · ,n+2},zi=yi−λi,n+1
λ1,n+1
y1
on constate que z2,· · · ,zn+2sont combinaisons linéaires de x1,· · · ,xn.L’HR montre alors que
(z2,· · · ,zn+2)est liée :
∃µ2,· · · , µn+2∈Kn+1−{(0,· · · ,0)};
n+2
X
i=2
µizi=0E
Mais cette dernière égalité s’écrit aussi :
αy1−
n+2
X
i=2
µiyi=0E
où l’on a posé
α=
n+2
X
i=2
µi
λi,n+1
λ1,n+1
La famille y1· · · ,yn+2est donc liée. 

2
Définition. Eest dit “de dimension finie” s’il existe une famille finie et génératrice de E.
Noter qu’à ce stade, le terme “dimension” n’a pas encore de signification propre.
Remarque importante : Soit Eun K−ev de dimension finie et soit (e1,· · · ,en)une famille
génératrice de E.D’après le lemme fondamental, toute famille libre est finie, et de cardinal
inférieur ou égal à n.
Th´eor `eme de la base incompl `ete
Théorème. Soit E un K−ev de dimension finie. Soient p,q des entiers tels que 16p6q.On
suppose que e1,· · · ,epest une famille libre et que e1,· · · ,eqest une famille génératrice de E.On
note L =1,· · · ,pet G =1,· · · ,q.Alors il existe B tel que L ⊂B⊂G pour lequel (ei)i∈Best une
base de E.
Démonstration. Considérons les sous-ensembles Jde G,contenant L,et pour lesquels la famille
(ei)i∈Jest libre. Intéressons-nous aux cardinaux de tels ensembles J.
Plus précisément, notons :
L=ncard (J);L⊂J⊂Get (ei)i∈Jlibreo
Alors Lest non vide (p=card (L)∈ L) et majoré (par q=card (G)).Par conséquent, L
possède un plus grand élément, noté d.Soit Btel que L⊂B⊂G,(ei)i∈Blibre et card (B)=d.
Montrons, en distinguant deux cas, que (ei)i∈Best aussi génératrice de E.
çSi B=G,c’est le cas.
çSi B(Get si i0∈G−B,alors (ei)i∈B∪{i0}est liée (par définition de d) et, comme (ei)i∈Best libre,
cela impose au vecteur ei0d’être combinaison linéaire des eipour i∈B.Mais alors, comme
(ei)i∈Gest génératrice de E,on constate que tout vecteur de Eest combinaison linéaire des ei
pour i∈B.
Finalement, la famille (ei)i∈Best une base de E.
Remarque. Attention, l’ensemble Bqui apparaît dans la preuve n’est pas nécessairement de la
forme {1,· · · ,n}pour un certain n∈p,· · · ,q(bien que ce soit une possibilité). Il est constitué
des entiers de 1 à pauxquels s’ajoutent (éventuellement ; et si toutefois p<q) certains entiers
compris entre p+1 et q.
Corollaire 1. Tout K−ev de dimension finie possède des bases.
Démonstration. Il suffit de considérer un vecteur non nul e1ainsi qu’une famille (e2,· · · ,en)
génératrice de E.Comme (e1,· · · ,en)est a fortiori génératrice de E,on peut appliquer ce qui
précède (avec p=1 et q=n).
Remarque. On a visiblement supposé que E,{0E}.Si Eest réduit à {0E},on considère par
convention que la famille vide est une base.
Corollaire 2. Soit E un K−ev de dimension finie et soient L,G deux familles finies de vecteurs de E.
Si L est libre et si G est génératrice de E,alors on peut compléter L en une base de E,en lui ajoutant
des vecteurs issus de G.Le théorème de la base incomplète est souvent énoncé sous cette forme.
Proposition. Soit E un K−ev de dimension finie. Si (e1,· · · ,en)et e0
1,· · · ,e0
psont deux bases de E,
alors n =p.
Démonstration. On applique la “remarque importante” signalée plus haut : comme (e1,· · · ,en)
est génératrice de Eet comme e0
1,· · · ,e0
pest libre, alors p6n.Symétriquement, comme
e0
1,· · · ,e0
pest génératrice de Eet comme (e1,· · · ,en)est libre, alors n6p.

3
Définition. Le cardinal commun à toutes les bases d’une K−ev de dimension finie est appelé
dimension de Eet noté dim (E),ou bien dimK(E)en cas d’ambiguïté.
Remarque. Par convention, si E={0E},alors dim (E)=0.
Proposition. Si dim (E)=n et si une famille de n vecteurs est libre ou génératrice de E,alors c’est
une base de E.
Démonstration. Soit Lune famille libre de cardinal n.Toute famille sur-famille L0de L,de
cardinal n+1 est liée. Ainsi, Lest libre maximale : c’est une base de E.
Soit Gune famille génératrice de E,de cardinal n.Si une sous-famille G0de G,de cardinal
n−1 était génératrice de E,alors toute famille libre (et, en particulier, toute base) serait de
cardinal <n: c’est absurde. Donc Gest génératrice minimale : c’est une base de E.
Proposition. Soit E un K−ev de dimension finie et soit F un sev de E.Alors F est de dimension finie,
dim (F)6dim (E)et de plus : (dim (F)=dim (E)) ⇔(F=E).
Démonstration. On considère l’ensemble Ldes cardinaux des familles libres de vecteurs de
F.Il s’agit d’une partie non vide de N,majorée par dim (E)et qui possède de ce fait un plus
grand élément p.Soit e1,· · · ,epune famille libre de Fde cardinal p.Pour tout x∈F,la famille
e1,···ep,xest liée (par définition de p); autrement dit, e1,· · · ,epest libre maximale ; c’est
donc une base de F.Il est donc établi que Fest de dimension finie et que dim (F)=p6dim (E).
Maintenant, si dim (F)=dim (E),on considère une base (e1,· · · ,en)de F: c’est une famille
libre de vecteurs de E,de cardinal dim (E); c’est donc une base de E.Il s’ensuit que E⊂Fet
donc E=F.
Autre point de vue pour ce dernier point : Supposons que F&E.Etant donné x∈E−F,la
famille e1,· · · ,ep,xest libre ; en effet si α1,· · · , αp, β ∈Ksont tels que
p
X
i=1
αiei+βx=0E,alors
β=0 sans quoi xserait C.L. des eidonc appartiendrait à F,puis, comme e1,· · · ,epest libre,
on constate que αi=0 pour tout i∈1,· · · ,p.Le cardinal d’une famille libre étant majoré
par la dimension, il s’ensuit que p+16n,c’est-à-dire dim (F)<dim (E).