Note de cours - MPSI-3

Lycée Thiers
Théorie de la dimension
1. Lemme fondamental
Lemme. Soit E un K−ev et soit (x1 , · · · , xn ) une famille de vecteurs de E (avec n ∈ N? ). Alors, toute
famille composée de n + 1 combinaisons linéaires des xi est liée.
Démonstration. Par récurrence sur n.
ç Pour n = 1, c’est simple : si y1 = λ1 x1 et y2 = λ2 x1 , alors y1 , y2 est liée. En effet, c’est évident
si λ1 = λ2 = 0; et sinon, cela résulte de λ2 y1 − λ1 y2 = 0E .
ç Supposons la propriété établie au rang n et soient alors x1 , · · · , xn+1 des vecteurs de E et
y1 , · · · , yn+2 des combinaisons linéaires des xi . On dispose pour chaque i ∈ {1, · · · , n + 2} d’une
expression de yi de la forme :
yi =
n+1
X
λi, j x j
(i )
j=1
Si ∀i ∈ {1, · · · , n + 2} , λi,n+1 = 0, alors les yi sont en fait combinaisons linéaires de x1 , · · · , xn
Comme toute sur-famille
seulement. Dans ce cas, l’HR montre que y1 , · · · , yn+1 est liée.
d’une famille liée est liée, il en va de même pour y1 , · · · , yn+2 .
Sinon, ∃i ∈ {1, · · · , n + 2} ; λi,n+1 , 0. Quitte à ré-indexer, on peut supposer pour simplifier
que λ1,n+1 , 0. Il vient alors, d’après (1 ) :


n
X

1 

λ1, j x j 
xn+1 =
 y1 −

λ1,n+1 
j=1
D’où, en remplaçant dans (i ) , pour i ∈ {2, · · · , n + 2} :


n
n
X
X

λi,n+1 

yi =
λi,j x j +
λ1,j x j 
 y1 −

λ1,n+1 
j=1
j=1
Par conséquent, en posant :
λi,n+1
y1
λ1,n+1
on constate que z2 , · · · , zn+2 sont combinaisons linéaires de x1 , · · · , xn . L’HR montre alors que
(z2 , · · · , zn+2 ) est liée :
n+2
X
∃ µ2 , · · · , µn+2 ∈ Kn+1 − {(0, · · · , 0)} ;
µi zi = 0E
∀i ∈ {2, · · · , n + 2} , zi = yi −
i=2
Mais cette dernière égalité s’écrit aussi :
α y1 −
n+2
X
µi yi = 0E
i=2
où l’on a posé
α=
n+2
X
i=2
La famille y1 · · · , yn+2 est donc liée.
µi
λi,n+1
λ1,n+1
2
Définition. E est dit “de dimension finie” s’il existe une famille finie et génératrice de E.
Noter qu’à ce stade, le terme “dimension” n’a pas encore de signification propre.
Remarque importante : Soit E un K−ev de dimension finie et soit (e1 , · · · , en ) une famille
génératrice de E. D’après le lemme fondamental, toute famille libre est finie, et de cardinal
inférieur ou égal à n.
Théorème de la base incomplète
Théorème. Soit E un K−ev de dimension finie. Soient
p, qdes entiers tels que 1 6 p 6 q. On
suppose que e1 , · · · , ep est une famille libre et que e1 , · · · , eq est une famille génératrice de E. On
note L = 1, · · · , p et G = 1, · · · , q . Alors il existe B tel que L ⊂ B ⊂ G pour lequel (ei )i∈B est une
base de E.
Démonstration. Considérons les sous-ensembles J de G, contenant L, et pour lesquels la famille
(ei )i∈J est libre. Intéressons-nous aux cardinaux de tels ensembles J.
Plus précisément, notons :
n
o
L = card (J) ; L ⊂ J ⊂ G et (ei )i∈J libre
Alors L est non vide (p = card (L) ∈ L) et majoré (par q = card (G)). Par conséquent, L
possède un plus grand élément, noté d. Soit B tel que L ⊂ B ⊂ G, (ei )i∈B libre et card (B) = d.
Montrons, en distinguant deux cas, que (ei )i∈B est aussi génératrice de E.
ç Si B = G, c’est le cas.
ç Si B ( G et si i0 ∈ G − B, alors (ei )i∈B∪{i0 } est liée (par définition de d) et, comme (ei )i∈B est libre,
cela impose au vecteur ei0 d’être combinaison linéaire des ei pour i ∈ B. Mais alors, comme
(ei )i∈G est génératrice de E, on constate que tout vecteur de E est combinaison linéaire des ei
pour i ∈ B.
Finalement, la famille (ei )i∈B est une base de E.
Remarque. Attention, l’ensemble B qui
apparaît
dans la preuve n’est pas nécessairement de la
forme {1, · · · , n} pour un certain n ∈ p, · · · , q (bien que ce soit une possibilité). Il est constitué
des entiers de 1 à p auxquels s’ajoutent (éventuellement ; et si toutefois p < q) certains entiers
compris entre p + 1 et q.
Corollaire 1. Tout K−ev de dimension finie possède des bases.
Démonstration. Il suffit de considérer un vecteur non nul e1 ainsi qu’une famille (e2 , · · · , en )
génératrice de E. Comme (e1 , · · · , en ) est a fortiori génératrice de E, on peut appliquer ce qui
précède (avec p = 1 et q = n).
Remarque. On a visiblement supposé que E , {0E } . Si E est réduit à {0E } , on considère par
convention que la famille vide est une base.
Corollaire 2. Soit E un K−ev de dimension finie et soient L, G deux familles finies de vecteurs de E.
Si L est libre et si G est génératrice de E, alors on peut compléter L en une base de E, en lui ajoutant
des vecteurs issus de G. Le théorème de la base incomplète est souvent énoncé sous cette forme.
Proposition. Soit E un K−ev de dimension finie. Si (e1 , · · · , en ) et e01 , · · · , e0p sont deux bases de E,
alors n = p.
Démonstration. On applique la “remarque
importante” signalée plus haut : comme (e1 , · · · , en )
0
0
est génératrice de E et comme e1 , · · · , ep est libre, alors p 6 n. Symétriquement, comme
e01 , · · · , e0p est génératrice de E et comme (e1 , · · · , en ) est libre, alors n 6 p.
3
Définition. Le cardinal commun à toutes les bases d’une K−ev de dimension finie est appelé
dimension de E et noté dim (E) , ou bien dimK (E) en cas d’ambiguïté.
Remarque. Par convention, si E = {0E } , alors dim (E) = 0.
Proposition. Si dim (E) = n et si une famille de n vecteurs est libre ou génératrice de E, alors c’est
une base de E.
Démonstration. Soit L une famille libre de cardinal n. Toute famille sur-famille L0 de L, de
cardinal n + 1 est liée. Ainsi, L est libre maximale : c’est une base de E.
Soit G une famille génératrice de E, de cardinal n. Si une sous-famille G0 de G, de cardinal
n − 1 était génératrice de E, alors toute famille libre (et, en particulier, toute base) serait de
cardinal < n : c’est absurde. Donc G est génératrice minimale : c’est une base de E.
Proposition. Soit E un K−ev de dimension finie et soit F un sev de E. Alors F est de dimension finie,
dim (F) 6 dim (E) et de plus : (dim (F) = dim (E)) ⇔ (F = E) .
Démonstration. On considère l’ensemble L des cardinaux des familles libres de vecteurs de
F. Il s’agit d’une partie
non vide
de N, majorée par dim (E) et qui possède de ce fait un plus
grand élément p. Soit e1 , · · · , ep une famille libre de F de cardinal p. Pour tout x ∈ F, la famille
e1 , · · · ep , x est liée (par définition de p); autrement dit, e1 , · · · , ep est libre maximale ; c’est
donc une base de F. Il est donc établi que F est de dimension finie et que dim (F) = p 6 dim (E) .
Maintenant, si dim (F) = dim (E) , on considère une base (e1 , · · · , en ) de F : c’est une famille
libre de vecteurs de E, de cardinal dim (E) ; c’est donc une base de E. Il s’ensuit que E ⊂ F et
donc E = F.
Autre point de vue pour ce dernier point : Supposons que F & E. Etant donné x ∈ E − F, la
p
X
famille e1 , · · · , ep , x est libre ; en effet si α1 , · · · , αp , β ∈ K sont tels que
αi ei + βx = 0E , alors
i=1 β = 0 sans quoi x serait C.L. des ei donc appartiendrait à F, puis, comme e1 , · · · , ep est libre,
on constate que αi = 0 pour tout i ∈ 1, · · · , p . Le cardinal d’une famille libre étant majoré
par la dimension, il s’ensuit que p + 1 6 n, c’est-à-dire dim (F) < dim (E) .