Lyc ´ee Thiers
Théorie de la dimension
1. Lemme fondamental
Lemme. Soit E un Kev et soit (x1,· · · ,xn)une famille de vecteurs de E (avec n N?).Alors, toute
famille composée de n +1combinaisons linéaires des xiest liée.
Démonstration. Par récurrence sur n.
çPour n=1,c’est simple : si y1=λ1x1et y2=λ2x1,alors y1,y2est liée. En eet, c’est évident
si λ1=λ2=0; et sinon, cela résulte de λ2y1λ1y2=0E.
çSupposons la propriété établie au rang net soient alors x1,· · · ,xn+1des vecteurs de Eet
y1,· · · ,yn+2des combinaisons linéaires des xi.On dispose pour chaque i{1,· · · ,n+2}d’une
expression de yide la forme :
yi=
n+1
X
j=1
λi,jxj(i)
Si i{1,· · · ,n+2}, λi,n+1=0,alors les yisont en fait combinaisons linéaires de x1,· · · ,xn
seulement. Dans ce cas, l’HR montre que y1,· · · ,yn+1est liée. Comme toute sur-famille
d’une famille liée est liée, il en va de même pour y1,· · · ,yn+2.
Sinon, i{1,· · · ,n+2};λi,n+1,0.Quitte à ré-indexer, on peut supposer pour simplifier
que λ1,n+1,0.Il vient alors, d’après (1):
xn+1=1
λ1,n+1
y1
n
X
j=1
λ1,jxj
D’où, en remplaçant dans (i),pour i{2,· · · ,n+2}:
yi=
n
X
j=1
λi,jxj+λi,n+1
λ1,n+1
y1
n
X
j=1
λ1,jxj
Par conséquent, en posant :
i{2,· · · ,n+2},zi=yiλi,n+1
λ1,n+1
y1
on constate que z2,· · · ,zn+2sont combinaisons linéaires de x1,· · · ,xn.L’HR montre alors que
(z2,· · · ,zn+2)est liée :
µ2,· · · , µn+2Kn+1{(0,· · · ,0)};
n+2
X
i=2
µizi=0E
Mais cette dernière égalité s’écrit aussi :
αy1
n+2
X
i=2
µiyi=0E
où l’on a posé
α=
n+2
X
i=2
µi
λi,n+1
λ1,n+1
La famille y1· · · ,yn+2est donc liée.
2
Définition. Eest dit “de dimension finie” s’il existe une famille finie et génératrice de E.
Noter qu’à ce stade, le terme “dimension” n’a pas encore de signification propre.
Remarque importante : Soit Eun Kev de dimension finie et soit (e1,· · · ,en)une famille
génératrice de E.D’après le lemme fondamental, toute famille libre est finie, et de cardinal
inférieur ou égal à n.
Th´eor `eme de la base incompl `ete
Théorème. Soit E un Kev de dimension finie. Soient p,q des entiers tels que 16p6q.On
suppose que e1,· · · ,epest une famille libre et que e1,· · · ,eqest une famille génératrice de E.On
note L =1,· · · ,pet G =1,· · · ,q.Alors il existe B tel que L BG pour lequel (ei)iBest une
base de E.
Démonstration. Considérons les sous-ensembles Jde G,contenant L,et pour lesquels la famille
(ei)iJest libre. Intéressons-nous aux cardinaux de tels ensembles J.
Plus précisément, notons :
L=ncard (J);LJGet (ei)iJlibreo
Alors Lest non vide (p=card (L)∈ L) et majoré (par q=card (G)).Par conséquent, L
possède un plus grand élément, noté d.Soit Btel que LBG,(ei)iBlibre et card (B)=d.
Montrons, en distinguant deux cas, que (ei)iBest aussi génératrice de E.
çSi B=G,c’est le cas.
çSi B(Get si i0GB,alors (ei)iB{i0}est liée (par définition de d) et, comme (ei)iBest libre,
cela impose au vecteur ei0d’être combinaison linéaire des eipour iB.Mais alors, comme
(ei)iGest génératrice de E,on constate que tout vecteur de Eest combinaison linéaire des ei
pour iB.
Finalement, la famille (ei)iBest une base de E.
Remarque. Attention, l’ensemble Bqui apparaît dans la preuve n’est pas nécessairement de la
forme {1,· · · ,n}pour un certain np,· · · ,q(bien que ce soit une possibilité). Il est constitué
des entiers de 1 à pauxquels s’ajoutent (éventuellement ; et si toutefois p<q) certains entiers
compris entre p+1 et q.
Corollaire 1. Tout Kev de dimension finie possède des bases.
Démonstration. Il sut de considérer un vecteur non nul e1ainsi qu’une famille (e2,· · · ,en)
génératrice de E.Comme (e1,· · · ,en)est a fortiori génératrice de E,on peut appliquer ce qui
précède (avec p=1 et q=n).
Remarque. On a visiblement supposé que E,{0E}.Si Eest réduit à {0E},on considère par
convention que la famille vide est une base.
Corollaire 2. Soit E un Kev de dimension finie et soient L,G deux familles finies de vecteurs de E.
Si L est libre et si G est génératrice de E,alors on peut compléter L en une base de E,en lui ajoutant
des vecteurs issus de G.Le théorème de la base incomplète est souvent énoncé sous cette forme.
Proposition. Soit E un Kev de dimension finie. Si (e1,· · · ,en)et e0
1,· · · ,e0
psont deux bases de E,
alors n =p.
Démonstration. On applique la “remarque importante” signalée plus haut : comme (e1,· · · ,en)
est génératrice de Eet comme e0
1,· · · ,e0
pest libre, alors p6n.Symétriquement, comme
e0
1,· · · ,e0
pest génératrice de Eet comme (e1,· · · ,en)est libre, alors n6p.
3
Définition. Le cardinal commun à toutes les bases d’une Kev de dimension finie est appelé
dimension de Eet noté dim (E),ou bien dimK(E)en cas d’ambiguïté.
Remarque. Par convention, si E={0E},alors dim (E)=0.
Proposition. Si dim (E)=n et si une famille de n vecteurs est libre ou génératrice de E,alors c’est
une base de E.
Démonstration. Soit Lune famille libre de cardinal n.Toute famille sur-famille L0de L,de
cardinal n+1 est liée. Ainsi, Lest libre maximale : c’est une base de E.
Soit Gune famille génératrice de E,de cardinal n.Si une sous-famille G0de G,de cardinal
n1 était génératrice de E,alors toute famille libre (et, en particulier, toute base) serait de
cardinal <n: c’est absurde. Donc Gest génératrice minimale : c’est une base de E.
Proposition. Soit E un Kev de dimension finie et soit F un sev de E.Alors F est de dimension finie,
dim (F)6dim (E)et de plus : (dim (F)=dim (E)) (F=E).
Démonstration. On considère l’ensemble Ldes cardinaux des familles libres de vecteurs de
F.Il s’agit d’une partie non vide de N,majorée par dim (E)et qui possède de ce fait un plus
grand élément p.Soit e1,· · · ,epune famille libre de Fde cardinal p.Pour tout xF,la famille
e1,···ep,xest liée (par définition de p); autrement dit, e1,· · · ,epest libre maximale ; c’est
donc une base de F.Il est donc établi que Fest de dimension finie et que dim (F)=p6dim (E).
Maintenant, si dim (F)=dim (E),on considère une base (e1,· · · ,en)de F: c’est une famille
libre de vecteurs de E,de cardinal dim (E); c’est donc une base de E.Il s’ensuit que EFet
donc E=F.
Autre point de vue pour ce dernier point : Supposons que F&E.Etant donné xEF,la
famille e1,· · · ,ep,xest libre ; en eet si α1,· · · , αp, β Ksont tels que
p
X
i=1
αiei+βx=0E,alors
β=0 sans quoi xserait C.L. des eidonc appartiendrait à F,puis, comme e1,· · · ,epest libre,
on constate que αi=0 pour tout i1,· · · ,p.Le cardinal d’une famille libre étant majoré
par la dimension, il s’ensuit que p+16n,c’est-à-dire dim (F)<dim (E).
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