Dérivation Algèbre linéaire en dimension finie (début)

MPSI 3 Colle 19, du 20 au 24 Mars 2017 2016-2017
Dérivation
5- Étude pratique des suites récurrentes un+1=f(un)
– Définition de la suite : recherche d’une partie I⊂ Dfstable par fcontenant u0.
– Si uconverge et fcontinue, lien entre points fixes de fet limite de u.
– Cas où fest croissante sur un intervalle Icontenant tous les un:uest monotone, le sens de mono-
tonie se détermine par la comparaison de u0et u1.
– Cas où x7→ f(x)−xest de signe constant sur un intervalle contenant tous les un.
– Cas où fest contractante ((k-lipschitzienne avec k∈[0, 1[)) sur un intervalle Icontenant tous les
termes de la suite et ayant un point fixe `dans I.
– Cas où fest décroissante sur un intervalle contenant tous les un: monotonie des suites extraites
(u2n)et (u2n+1).
Algèbre linéaire en dimension finie (début)
1- Familles libres, familles génératrices, bases
– Familles génératrices. Familles libres, familles liées.
Des exemples : dans Rn,RN,F(R,R), les familles de polynômes de degré échelonnés sont libres
dans R[X]. Bases. Coordonnées d’un vecteur dans une base.
– Familles de vecteurs et somme.
•Soit F,Gdeux sev de E. La concaténation d’une famille génératrice de Fet de Gdonne une famille
génératrice de F+G.
Si Fet Gsont en somme directe, la concaténation d’une famille libre de Favec une famille libre de
Gdonne une famille libre de F⊕G.
Si E=F⊕G, base de Epar concaténation d’une base de Fet de G.
•Généralisation à (Fi)i∈¹1,nºune famille de sev de E.
– Familles de vecteurs et applications linéaires :
Si Ffamille génératrice de Eet si f∈ L (E,F), on a Im f=Vect(f(F)).
L’image d’une famille génératrice engendre l’image.
L’image d’une famille génératrice par une application linéaire surjective est génératrice.
L’image d’une famille libre par une application linéaire injective est libre.
Si Best une base de E,fest un isomorphisme de Edans Fsi et seulement si l’image par fdes
vecteurs de Bforme une base de F.
Si Best une base, la donnée des images des vecteurs de Bdéfinit une unique application linéaire.
2 - Théorie de la dimension
1. Espace vectoriel de dimension finie. Définition (existence d’une famille génératrice finie).
Théorème de la base incomplète, de la base extraite. Existence d’une base finie en dimension finie.
2. Dimension d’un ev
Lemme : Si Epossède une famille génératrice de nvecteurs, toute famille de n+1 vecteurs est liée.
Toute famille libre de Ea au plus nvecteurs.
Conséquence : Si Eest de dimension finie, toutes les bases de Esont finies et ont même cardinal.
Définition de la dimension de E. Exemples : Kn,Kn[X], bases canoniques de ces espaces vectoriels,
dimCCet dimRC. Des exemples d’espaces vectoriels de dimension infinie : RN,K[X],RR.
Corollaire : si dim E=n, les familles libres de Eont au plus nvecteurs et les familles génératrices
de Eont au moins nvecteurs.
3. Théorème : Si Ede dimension n, toute famille libre (respectivement génératrice) de Eayant n
vecteurs est une base de E.
4. Applications de la dimension finie : aux équations différentielles linéaires à coefficients constants,
homogène d’ordre 2.
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Note aux colleurs : Le cours n’est pas fini, en particulier on n’a ni abordé la dimension d’un sev, la
dimension de F+G, de F×G, des espaces supplémentaires, ni démontré le théorème du rang, ni vu ses
conséquences sur les applications linéaires en dimension finie.
QUESTIONS DE COURS :
La colle comportera l’étude d’une suite récurrente donnée par l’examinateur.
1. Montrer que la famille (x7→ eαx)α∈Rest libre dans F(R,R).
2. Montrer que la famille ((qn)n∈N)q∈R∗
+est libre dans RN.
3. Montrer qu’une famille de polynômes de degrés échelonnés est libre dans K[X].
4. Soit f∈ L (E,F)injective.
Montrer que l’image d’une famille libre de Epar fest une famille libre de F.
5. Pour f∈ L (E,F), si Fest une famille génératrice de E, alors Im f=Vect(f(F))
6. Soit f∈ L (E,F)et soit Bune base de E.
Montrer que fest un isomorphisme si et seulement si f(B)est une base de F.
7. (exercice) Soit α∈K. Montrer que la famille de polynômes ((X−α)k)k∈¹0,nºest une base de Kn[X],
puis retrouver la formule de Taylor polynomiale.
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