Dérivation Algèbre linéaire en dimension finie (début)

MPSI 3
Colle 19, du 20 au 24 Mars 2017
2016-2017
Dérivation
5- Étude pratique des suites récurrentes un+1 = f (un )
– Définition de la suite : recherche d’une partie I ⊂ D f stable par f contenant u0 .
– Si u converge et f continue, lien entre points fixes de f et limite de u.
– Cas où f est croissante sur un intervalle I contenant tous les un : u est monotone, le sens de monotonie se détermine par la comparaison de u0 et u1 .
– Cas où x 7→ f (x) − x est de signe constant sur un intervalle contenant tous les un .
– Cas où f est contractante ((k-lipschitzienne avec k ∈ [0, 1[)) sur un intervalle I contenant tous les
termes de la suite et ayant un point fixe ` dans I.
– Cas où f est décroissante sur un intervalle contenant tous les un : monotonie des suites extraites
(u2n ) et (u2n+1 ).
Algèbre linéaire en dimension finie (début)
1- Familles libres, familles génératrices, bases
– Familles génératrices. Familles libres, familles liées.
Des exemples : dans Rn , RN , F (R, R), les familles de polynômes de degré échelonnés sont libres
dans R[X ]. Bases. Coordonnées d’un vecteur dans une base.
– Familles de vecteurs et somme.
• Soit F, G deux sev de E. La concaténation d’une famille génératrice de F et de G donne une famille
génératrice de F + G.
Si F et G sont en somme directe, la concaténation d’une famille libre de F avec une famille libre de
G donne une famille libre de F ⊕ G.
Si E = F ⊕ G, base de E par concaténation d’une base de F et de G.
• Généralisation à (Fi )i∈¹1,nº une famille de sev de E.
– Familles de vecteurs et applications linéaires :
Si F famille génératrice de E et si f ∈ L (E, F ), on a Im f = Vect( f (F )).
L’image d’une famille génératrice engendre l’image.
L’image d’une famille génératrice par une application linéaire surjective est génératrice.
L’image d’une famille libre par une application linéaire injective est libre.
Si B est une base de E, f est un isomorphisme de E dans F si et seulement si l’image par f des
vecteurs de B forme une base de F .
Si B est une base, la donnée des images des vecteurs de B définit une unique application linéaire.
2 - Théorie de la dimension
1. Espace vectoriel de dimension finie. Définition (existence d’une famille génératrice finie).
Théorème de la base incomplète, de la base extraite. Existence d’une base finie en dimension finie.
2. Dimension d’un ev
Lemme : Si E possède une famille génératrice de n vecteurs, toute famille de n + 1 vecteurs est liée.
Toute famille libre de E a au plus n vecteurs.
Conséquence : Si E est de dimension finie, toutes les bases de E sont finies et ont même cardinal.
Définition de la dimension de E. Exemples : Kn , Kn [X ], bases canoniques de ces espaces vectoriels,
dimC C et dimR C. Des exemples d’espaces vectoriels de dimension infinie : RN , K[X ], RR .
Corollaire : si dim E = n, les familles libres de E ont au plus n vecteurs et les familles génératrices
de E ont au moins n vecteurs.
3. Théorème : Si E de dimension n, toute famille libre (respectivement génératrice) de E ayant n
vecteurs est une base de E.
4. Applications de la dimension finie : aux équations différentielles linéaires à coefficients constants,
homogène d’ordre 2.
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Note aux colleurs : Le cours n’est pas fini, en particulier on n’a ni abordé la dimension d’un sev, la
dimension de F + G, de F × G, des espaces supplémentaires, ni démontré le théorème du rang, ni vu ses
conséquences sur les applications linéaires en dimension finie.
QUESTIONS DE COURS :
La colle comportera l’étude d’une suite récurrente donnée par l’examinateur.
1. Montrer que la famille (x 7→ eαx )α∈R est libre dans F (R, R).
2. Montrer que la famille ((q n )n∈N )q∈R∗+ est libre dans RN .
3. Montrer qu’une famille de polynômes de degrés échelonnés est libre dans K[X ].
4. Soit f ∈ L (E, F ) injective.
Montrer que l’image d’une famille libre de E par f est une famille libre de F .
5. Pour f ∈ L (E, F ), si F est une famille génératrice de E, alors Im f = Vect( f (F ))
6. Soit f ∈ L (E, F ) et soit B une base de E.
Montrer que f est un isomorphisme si et seulement si f (B) est une base de F .
7. (exercice) Soit α ∈ K. Montrer que la famille de polynômes ((X −α)k )k∈¹0,nº est une base de Kn [X ],
puis retrouver la formule de Taylor polynomiale.
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