Formulaire V2014-Examen - CRDP de l`académie de Montpellier

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pour la Base Nationale des Sujets d’Examens de l’enseignement professionnel.
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pr
of
es
sio
nn
el
Conventions relatives aux travaux topographiques
Unités en vigueur :
-
distance en mètre (m)
-
angle en grades (gon)
sd
'
Ré Exa
se m
au en
C sd
an e
op l'en
é se
ig
ne
m
en
t
Formulaire d'aide à la
résolution des problèmes
de calcul topométrique
Systèmes de coordonnées géographiques
longitude λ,
latitude f,
Latitude f
hauteur sur l’ellipsoïde h
2014
Systèmes de coordonnées planimétriques
11- Intersection droite - cercle
12- Nivellement indirect
13- Corrections des distances
14- Correction de niveau apparent
15- Moyenne arithmétique,
moyenne pondérée
16- Relèvement sur 3 points méthode du barycentre17- Relèvement sur 3 points méthode de Delambre18- Changement de base
19- Le G0 (ou V0)
-
Coordonnées locales :
x, y
-
Coordonnées Lambert 93 :
e, n
-
Coordonnées RGF 93 CC (9 zones) : E, N
Systèmes de coordonnées géocentriques
Z
X
X, Y, Z
O
Y
Systèmes de coordonnées altimétriques : altitude normale
-
NGF-IGN 69 (NGF-IGN78 pour la Corse) H
Rayon de la terre : 6370 km
Terminologie usitée :
- ht ou hi = hauteur des tourillons ou hauteur de l’appareil
-
hp = hauteur de prisme = hv (voyant) ou hr (réflecteur)
Ba
s
e
N
at
io
na
le
de
sS
uj
et
Sommaire
1 - Triangle quelconque
2 - Triangles semblables
3 - Triangle rectangle
4 - Trapèze
5 - Polygone de n côtés
6 - Raccordements circulaires
7 - Secteur circulaire
8 - Transformations de
coordonnées
9 - Intersection de deux droites
10- Intersection de deux cercles
Longitude λ
Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe
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formules
croquis - schémas
Relation des sinus
b
c
=
=
sin
sin
sin
A
Relation des cosinus
2
2
2
a = b + c - 2 b . c . cos A
3-Triangle rectangle
formules
sin B = côté opposé /hypoténuse = b/a
B
cos B = côté adjacent/hypoténuse = c/a
a
sd
'
Ré Exa
se m
au en
C sd
an e
op l'en
é se
ig
ne
m
en
t
1-Triangle quelconque
pr
of
es
sio
nn
el
croquis - schémas
tan B = côté opposé /côté adjacent = b/c
c
c
2
2
2
2
2
c = a + b - 2 a . b . cos C
h
m
n
B
2
b = a + c - 2 a . c . cos B
b
C
a
Superficie
S = (a . b . sin C)/2
S = (a . c . sin B) /2
S = (b . c . sin A) /2
S=
J
2
−
.
. −
−
Théorème de Thalès
−
A
P
Q
B
C
sS
A
de
D
Somme des angles intérieurs
Σ = (n – 2) . 200
Somme des angles extérieurs
Σ = (n + 2) . 200
Superficie
2
le
na
F
G
E
2S =∑/0(
/01 ./ . 2 /3( − 2 /4(
at
io
2S =∑/0(
/01 2/ . . /3( − . /4(
e
N
C
Ba
s
B
2 (
&' + $% . sin '
2 (
$& =
&' + $% . sin &
'% =
K
5-Polygone de n cotés
AM AN MN
=
=
=k
AC
BC
AB
N
Superficie
1
1
$% = &' − 2 ( . )
−
+
tan ' tan &
S AMN = S ABC . k
M
2
S1 = superficie MJKQ
S1
M
uj
et
2-Triangles semblables
.
2
S = ½ . ( b . c)
N
a . sin B. sin C
2. sin
=√
C
b
4-Trapèze
avec p = ½ périmètre
= √ . − . −
tan
A
2
BA + AC = BC
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pr
of
es
sio
nn
el
croquis - schémas
formules
croquis - schémas
6-Raccordements circulaires
y
T2
GAB
2
Longueur de la corde T1T2 = 2.r.sin
β
r
Longueur de l’arc = T1T2 =
T1
5
tan = > = A
5
Longueur de la flèche MH = r – [r.cos ]
0
tan G‘ = (xB – xA)/ (yB – yA)
yA
.6.7.8
9::
O
xA
5
7-Secteur circulaire
∆.
∆2
on obtient G’ avec son signe
xB
x
si ∆x ≥0 et ∆y≥0→ GAB = G’
si ∆x ≥0 et ∆y≤0→ GAB = G’+ 200
si ∆x ≤0 et ∆y≤0→ GAB = G’+ 200
si ∆x ≤0 et ∆y≥0→ GAB = G’+ 400
Longueur du segment de la tangente
ST1 = ST2 = r .tan
2
Gisement AB
B
yB
sd
'
Ré Exa
se m
au en
C sd
an e
op l'en
é se
ig
ne
m
en
t
H
Superficie du disque = π.r
2
DAB = √ [(xB – xA) + (yB – yA) ]
Périmètre du cercle= 2.π. r
α
M
xB – xA = DAB .sin GAB
yB – yA = DAB .cos GAB
8-Transformations de coordonnées
S
formules
9-Intersection de deux droites
2
T2
Secteur: S =
β
r
6.7 < .8
9::
1ère méthode :
GAB et DAB par (x,y)
résolution du triangle AMB
angle A = GAB– GAM
angle B = GBM - GBA
DAM et DBM
M
uj
et
Segment
Triangle: S = ½ . r . sinβ
GAM
Calcul des (x,y) de M depuis A
Contrôle : (x,y) de M depuis B
sS
Segment: S Secteur – S triangle
T1
de
0
le
Triangle
A
ème
io
na
y
O
GBM
B
2 méthode : (formule de Delambre)
depuis A
(xA – xB) – (yA – yB) . tan GBM
yM – yA= -----------------------------tan GBM - tan GAM
x
N
at
xM – xA = (yM – yA) . tan GAM
Ba
s
e
Contrôle: idem depuis B
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pr
of
es
sio
nn
el
croquis - schémas
croquis - schémas
formules
Dh = √(Di² - Δhi²)
12-Nivellement indirect
10-Intersection de deux cercles
formules
Dénivelée instrumentale Δhi
M
calcul de GO1-O2 et DO1-02 par (x,y)
Di
V
sd
'
Ré Exa
se m
au en
C sd
an e
op l'en
é se
ig
ne
m
en
t
résolution du triangle O1O2M
r2
Dh
calcul de GO1-M puis xM et yM par rapport à O1
O1
O2
y
Contrôle :
calcul de GO2-M
puis calcul de xM et yM par rapport à O2
x
ht
BG
Calcul du module : F = BC
d’apporter aux mesures de longueurs les
11-Intersection droite - cercle
2-
M
uj
et
Contrôle :
Calcul des (x,y) de M1 depuis O
d'un point central du canevas pour déterminer
correction de pente - CpDh= Di.sin V
4-
correction de réduction à l’ellipsoïde Co- ou Cellipsoïde
BC. C
@A = −
D+C
5-
correction de représentation plane
H IJJKLMAKNI
io
at
géographique du chantier, elle est obtenue sur
= −PQQQ⋅⋅
CF
D F + CF
kr lu à l’aide du logiciel CIRCE
On déduit un module m par lequel sont
multipliées toutes les distances "terrain"
préalablement réduites à l'horizontale.
F = P+
cette correction varie en fonction de la situation
idem pour le triangle AOM2
F/HF
Coefficient d’altération linéaire :
ou de projection - Cr ou Cl –
na
x
correction atmosphérique - Ca-
les coefficients kellipsoïde et kr, en m/km.
le
y
de l’ellipsoïde (hm) et de la position planimétrique
Coefficient de réduction à l’ellipsoïde
sS
de
A
tenant compte de la hauteur moyenne au dessus
constructeur)
terrain au moment des mesures)
Calcul des (x,y) de M1 depuis A
0
On fixe pour une zone de travail un module m
constante de prisme (donnée
obtenue par lecture sur un abaque (saisie sur le
3-
OM1 = r = rayon
Calcul de l’angle A, angle M1, angle O
Distance AM1
r
M1
GAO et DAO par (x,y)
résolution du triangle AOM1
M2
H IJJKLMAKNI + HG
PQQQ
Distance réduite à la projection
« CIRCE ».
N
Drm = Dhm. m
e
Ba
s
O
HP = HS + ht + Δhi - hp
S
1-
α
Dh= Di . sin V
13- Corrections des distances
corrections suivantes :
GAM
Δhi = Dh / tan V
P
Pour obtenir une distance, il conviendra
O
Δhi = Di . cos V
hp
Δhi
r1
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es
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nn
el
croquis - schémas
croquis - schémas
formules
formules
16-Relèvement sur 3 points:
14- Correction de niveau apparent
B
Pour des portées supérieures à 300m, il est
On utilise généralement l’expression simplifiée
systématiques : l’erreur due à la sphéricité de la
suivante :
terrestre et l’erreur due à la réfraction
@RS =
atmosphérique.
A, B et C sont trois points connus
α + β + γ = 400 gon et A + B + C = 200 gon
sd
'
Ré Exa
se m
au en
C sd
an e
op l'en
é se
ig
ne
m
en
t
nécessaire de prendre en compte deux erreurs
S est inconnu et stationné
méthode du barycentre
Cette correction est à ajouter à la dénivelée.
BCT
PU, T
c
α
γ
W =
a
W =
S
Avec Cna en mètre, et Dh en km
Ces erreurs de sphéricité et de réfraction sont
généralement associées en une seule erreur
A
nommée erreur de niveau apparent.
La correction globale est appelée correction de
niveau apparent Cna.
15- Calcul d’une moyenne de plusieurs
valeurs
W =
β
b
tan4(
tan4(
tan4(
1
− tan4( α
1
− tan4( β
1
− tan4( γ
C
ma. xA + mb. xB + mc. xC
xS = -----------------------------------ma + mb + mc
ma .yA + mb. yB + mc. yC
yS = ----------------------------------ma + mb + mc
17-Relèvement sur 3 points:
Moyenne arithmétique :
méthode de Delambre
valeur 1+ valeur 2 + ….. + valeur n
Moyenne des valeurs = ----------------------------------------------n
M est inconnu et stationné
avec : n = nombre de valeurs prises en compte
uj
et
GAM
A
A, B et C sont trois points connus
α
tan =[\ =
sS
Moyenne pondérée :
de
Σ Vi . pi
Moyenne des valeurs = ---------------------Σ pi
M
_ a_
_ a_
]^ ` bg4^ ` h g3 jb 4jh k
cde∝
cde i
l al
l al
]^ ` bg4^ ` h g4 mb 4mh k
cde∝
cde i
GBM = GAM + α
avec : V = valeur (longueur, angle, etc.)
pi = poids attribué à la valeur i
le
GCM
β
na
GBM
m` 4mb 4 j` 4jb .nop qbr
nop qbr 4nop q`r
.\ = .[ + 2\ − 2[ . s t=[\
Ba
s
e
N
at
io
C
B
2\ = 2[ +
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el
croquis - schémas
croquis - schémas
formules
19- le G0 (ou V0):
18- Changement de base :
Le G0 (ou V0) d’une station est le gisement du zéro
passer d’un système particulier (ou système local)
N
à un système général
G0
du limbe de l’appareil : gisement de la droite
0 ,000 du limbe
passant par le centre du limbe et la graduation
Eléments connus :
sd
'
Ré Exa
se m
au en
C sd
an e
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é se
ig
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m
en
t
- Les coordonnées x et y des points A et B sont
Lecture sur Ref1
300 ,000gon
connues dans le système local
C
Gis St-Ref1
- Les coordonnées E et N des points o’ et A sont
D
N
Ref 1
B
x
yB
A
yA
Go’x
Soit pour un cas général
O’
avec
EB
EA
Δx = xn – x(n-1) et Δy = yn – y(n-1)
E
Avec sur le schéma :
Deux méthodes sont alors possibles:
Ref3
0 du limbe
système général :
EON = système général
visées sont sensiblement d’égales longueurs.
Σ GoSt-Ref i
Go moyen St = --------------n
L3
GO'y = GAB - gAB
En = E(n-1) + Δx . cos Go'y + Δy . sin Go'y
xO’y = système local
L2
St 200
Ref2
avec n = nb de visées
L1
b - Go moyen par moyenne pondérée : si les visées
Ref1
de
sS
Nn = N(n-1) + Δy . cos Go'y - Δx . sin Go'y
xA et yA = coordonnées dans le système local
na
le
EA et NA = coordonnées dans le système général
GAB = gisement dans le système général
sont d'inégales longueurs
Moyenne arithmétique :
La pondération est alors proportionnelle à la
GoSt200-Ref1 + GoSt200-Ref2 + GoSt200-Ref3
Go St200 = ----------------------------------------------3
Remarque: plus une visée est longue plus son orientation angulaire
longueur de chaque visée.
est précise.
Moyenne pondérée :
Go moyen St =
io
gab = gisement dans le système local
a - Go moyen par moyenne arithmétique : si les
G0
Avec le gisement de l’axe O’y connu dans le
uj
et
Eo’
des différents G0 obtenus.
En = E(n-1) + Δx . sin Go'x – Δy . cos Go'x
Nn = N(n-1) + Δx . cos Go'x + Δy . sin Go'x
O
visées. Il faut alors calculer un G0 moyen à partir
NB = NA + Δx . cos Go'x + Δy . sin Go'x
xA
No’
A
plusieurs références connues en coordonnées sont
EB = EA + Δx . sin Go'x – Δy . cos Go'x
xB
Pour obtenir une précision satisfaisante de
100 ,000gon
200 ,000gon
Eléments cherchés :
y
NA
GO'x = GAB - gAB + 100
système général :
G0station = Gis St-Ref1 – lecture sur Ref1
l'orientation de la station (et la contrôler!)
Avec le gisement de l’axe O’x connu dans le
E
« zéro » de ce limbe.
Le Go moyen
connues dans le système général.
NB
formules
avec : G0 St-i = différents G0 calculés depuis la station
Li = longueur de chaque visée
Ba
s
e
N
at
(G0St-Ref1 . L1) + (G0St-Ref2 . L2) + (G0St-Ref3 . L3)
Go moyen St200 = ----------------------------------------------------------L1 + L2 + L3
Σ ( G0 St-i . Li )
-----------------Σ Li
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