1 Nombres réels

Lycée Roland Garros
BCPST 1ère année
Mathématiques
2013 - 2014
Chapitre no 2 : Nombres réels et complexes
On rappelle les notations suivantes.
• N = {0, 1, 2, . . .} l'ensemble des nombres entiers naturels,
• Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} l'ensemble des nombres entiers relatifs,
• Q = { pq , p ∈ N, q ∈ N∗ } l'ensemble des nombres rationnels,
• R l'ensemble des nombres réels,
• C l'ensemble des nombres complexes.
Pour chacun de ces ensembles,
une étoile en exposant signie qu'il est privé de 0. Par exemple, N∗ =
{1, 2, 3, . . .} ;
un + en indice signie qu'on ne garde que les éléments positifs ou nuls.
Par exemple, R+ = [0, +∞[ et R∗+ =]0, +∞[.
Remarque.
La construction rigoureuse de R est hors programme. On admettra que R est un
ensemble qui contient Q et qui vérie toutes les propriétés intuitives connues.
Notamment les nombres réels sont souvent représentés comme les points d'une
droite continue, appelée la droite réelle.
1
Nombres réels
1.1 Intervalles
Les intervalles sont des sous-ensembles de R. Ils sont dénis par leurs deux
extrémités, qui peuvent chacune être
fermée : l'extrémité est incluse dans l'intervalle,
ouverte : l'extrémité n'est pas incluse dans l'intervalle,
non bornée : l'extrémité est +∞ ou −∞.
Cela fait en tout 9 types d'intervalles diérents :
[a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b},
[a, b[= {x ∈ R|a ≤ x < b},
[a, +∞[= {x ∈ R|a ≤ x},
]a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b},
]a, b[= {x ∈ R|a < x < b},
]a, +∞[= {x ∈ R|a < x},
] − ∞, b] = {x ∈ R|x ≤ b},
] − ∞, b[= {x ∈ R|x < b},
1
] − ∞, +∞[= R.
Exemple.
L'intervalle
] − 2, 5] = {x ∈ R : −2 < x ≤ 5}
est ouvert à gauche et fermé à droite,
l'intervalle
[0, 10] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 10}
est fermé à gauche et à droite. On dit qu'il est fermé tout court.
l'intervalle [π, +∞[= {x ∈ R : x ≥ π} est fermé à gauche et non borné à
droite.
Remarque. Soit a ∈ R. Le singleton {a} est un intervalle (un peu particulier)
puisque {a} = [a, a].
1.2 Valeur absolue
Dénition 1.
la valeur absolue d'un réel x est dénie par
(
x, si x ≥ 0,
|x| =
−x, si x < 0.
On verra plus tard que le module d'un nombre réel coïncide avec sa valeur
absolue. Ceci justie que module et valeur absolue soient notés de la même
façon.
Remarque. La valeur absolue permet d'exprimer simplement la distance entre
deux réels x et y :
d(x, y) = |x − y|.
En particulier, |x| représente la distance de x à l'origine 0.
Propriété 1.
La valeur absolue vérie les inégalités suivantes :
|x| ≥ 0,
|xy| = |x|.|y|,
|x| = 0 ⇔ x = 0,
|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a,
|x| = max(−x, x).
Comme on l'a vu, il y a égalité entre la valeur absolue d'un produit et le produit
des valeurs absolues. Ce n'est pas le cas pour la somme en général. Cependant
on a quand même l'inégalité suivante.
Proposition 1 (Inégalité triangulaire dans R).
Soient x, y ∈ R. On a
|x + y| ≤ |x| + |y|,
avec égalité si et seulement si x et y sont de même signe.
2
Intérêt de cette inégalité : si les valeurs absolues de x et de y ne sont pas trop
grandes alors celle de x + y non plus.
Remarque.
On a aussi l'inégalité triangulaire inversée :
|x| − |y| ≤ |x − y|.
1.3 Partie entière
Dénition 2.
La partie entière d'un nombre x ∈ R est le plus grand entier
relatif qui soit inférieur ou égal à x. Elle est notée bxc.
Concrètement, bxc est donc caractérisée par l'encadrement suivant :
bxc ≤ x < bxc + 1,
ou, de manière équivalente, par
x − 1 < bxc ≤ x.
1.4 Exposants, racine carrée
Dans cette section x, y ∈ R et m, n ∈ Z.
Dénition 3.
Si n > 0 on note xn le produit de x par lui même n fois.
1
.
Si n < 0 on note xn = x−n
Cas n = 0. Pour x 6= 0, x0 = 1 par convention. Attention : 00 est une
forme indénie.
Dénition 4.
Si x ≥ 0 la racine√carrée de x est l'unique réel positif dont le
carré soit égal à x. Elle est notée x.
Attention : si x < 0 la racine carrée de x n'est pas dénie.
On rappelle les identités suivantes :
(xy)n = xn y n , xn+m = xn xm , (xn )m = xnm ,
√
√ √
√
√
( x)2 = x, x2 = |x|, xy = x y.
1.5 Identités remarquables
On rappelle les trois formules suivantes. Même si on les retrouve immédiatement en développant, elles sont à connaître sur le bout des doigts tant leur
usage est fréquent. Pour a, b ∈ R,
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab,
(a − b)2 = a2 + b2 − 2ab,
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
3
1.6 Résolution d'équations
Résoudre une équation à une variable réelle, c'est déterminer l'ensemble des
x ∈ R (appelés solutions) qui vérient une certaine égalité (E). Les exemples
suivants montrent que tout est possible :
(E) x2 + 2 = 0 : aucune solution,
(E) 3x + 2 = 10 : 1 solution,
(E) (x − 1)(x + 4)(x + 3) = 0 : plusieurs solutions,
(E) cos x = 1/2 : une innité de solutions.
La méthode générale consiste à transformer (E) en une équation plus simple
où les solutions sont facilement identiables, ceci en procédant par équivalence.
A chaque étape il faut appliquer la même opération au terme de gauche et au
terme de droite. On peut par exemple ajouter une même quantité des deux
côtés, multiplier ou diviser par une même quantité des deux côtés, passer à
l'exponentielle des deux côtés...
Remarque. Attention, l'équivalence doit toujours être respectée. Par exemple
on ne peut pas, a priori, élever au carré les deux côtés car l'équivalence
a = b ⇔ a2 = b2 est fausse.
Des fois, on se retrouve après opérations avec un produit de facteurs qui doit
s'annuler : résoudre par exemple x3 ln(x) = 3x2 ln(x). On rappelle qu'un produit s'annule si et seulement si l'un au moins de ses facteurs s'annule. Ainsi
l'ensemble des solutions dans l'exemple précédent est {0, 1, 3}.
Application : résolution de l'équation ax2 + bx + c = 0, avec x ∈ R. En
appliquant ce qui précède, on obtient la règle suivante. On pose ∆ := b2 − 4ac,
le discriminant.
√
√
si ∆ > 0, deux racines −b−2a ∆ et −b+2a ∆ ,
,
si ∆ = 0, une racine −b
2a
si ∆ < 0, aucune racine.
1.7 Inégalités
1.7.1 Résolution d'inéquations
La méthode est la même que pour les équations, mais il faut se souvenir que
certaines opérations retournent le sens de l'inégalité. Prenons x et y de même
signe. Si a > 0,
x ≤ y ⇔ ax ≤ ay,
et x < y ⇔ ax < ay,
en revanche si a < 0,
x ≤ y ⇔ ax ≥ ay,
et x < y ⇔ ax > ay.
Attention aussi au passage à l'inverse ! Toujours pour x et y de même signe,
x≤y⇔
1
1
≥ ,
x
y
et x < y ⇔
4
1
1
> .
x
y
De manière générale une inégalité est conservée quand on applique une fonction
croissante à droite et à gauche, et elle est inversée quand on applique une
fonction décroissante. Par exemple :
√
√
x ≤ y ⇔ x ≤ y, x ≤ y ⇔ ln x ≤ ln y
p
Résoudre l'inéquation ln(1 + x2 ) > 1, où x ∈ R.
x ≤ y ⇔ ex ≤ ey ,
Exemple.
Que faire quand une résolution directe (comme dans l'exemple précédent) n'est pas possible ? Méthode générale :
1. Tout faire passer du même côté de l'inégalité,
2. factoriser l'expression obtenue,
3. appliquer la règle des signes pour conclure (avec un tableau de signes
si besoin.
Exemple.
Résoudre x ln x − 2 ln2 x − 4 ln(x) + x ln2 x > 2 ln2 x.
Au passage on rappelle la règle suivante pour un polynôme P (x) = ax2 +bx+c
du second degré :
P (x) est du signe de a à l'extérieur de ses racines
1.7.2 Montrer une inégalité entre deux fonctions
On a fréquemment à montrer des assertions du type :
∀x ∈ I, f (x) ≤ g(x),
où f et g sont deux fonctions sur un intervalle I . Si l'inégalité ne saute pas
aux yeux on peut toujours appliquer la méthode suivante :
1. introduire la fonction u = g − f ,
2. étudier le signe de u en commençant par examiner ses variations.
Exemple.
Montrer que ∀x ∈ R, ex ≥ 1 + x.
1.8 Bornes inférieures, bornes supérieures
Dans cette section A est une sous-partie de R.
Dénition 5.
majorant
minorant
minorée
M est un
de A si ∀x ∈ A, x ≤ M .
m est un
de A si ∀x ∈ A, x ≥ m.
Une sous-partie de R qui admet un majorant (resp. minorant) est dite
(resp.
).
Une partie minorée et majorée est dite
bornée
5
majorée
La sous-partie A =] − ∞, 2] ∪ [4, 5] est majorée : par exemple 6 en
est un majorant. Par contre A n'est pas minorée (et a fortiori pas bornée non
plus).
0
Remarque. si M est un majorant de A tout nombre M ≥ M est aussi un
majorant de A. Une partie majorée admet donc une innité de majorants.
Exemple.
Proposition 2. A est bornée si et seulement si ∃M ∈ R : ∀x ∈ A, |x| ≤ M.
Dénition 6.
maximum
minimum
plus grand élément) si b est un
plus petit élément) si a est un
b est le
de A (on dit aussi son
majorant de A et b ∈ A. On note alors b = max(A).
a est le
de A (on dit aussi son
minorant de A et a ∈ A. On note alors a = min(A).
Il est possible que A n'admette pas de maximum.
Exemple. A =]0, 2[ n'admet pas de maximum car ses majorants sont les
nombres supérieurs ou égaux à 2, et ceux-ci n'appartiennent pas à A.
Exemple. A =]1, +∞[ n'admet pas de maximum car il n'a pas de majorant.
Théorème 1 (théorème de la borne supérieure (admis)).
Si A est majorée, l'ensemble MA = {M ∈ R|∀x ∈ A, x ≤ M } de ses majorants
admet un minimum.
Si A est minorée, l'ensemble MA = {m ∈ R|∀x ∈ A, x ≥ m} de ses minorants
admet un maximum.
Dénition 7.
Si A est majorée, on appelle
petit majorant de A.
Si A est minorée, on appelle
grand minorant de A.
borne supérieure de A, notée sup(A), le plus
borne inférieure de A, notée inf(A), le plus
Proposition 3.
Si A admet un maximum b, alors on a aussi b = sup(A).
Si A admet un minimum a, alors on a aussi a = inf(A).
Démonstration. si b = max(A) alors b est un majorant de A et par ailleurs si
b0 < b, b0 n'est pas un majorant de A.
A = [0, 1[ n'admet pas de maximum mais admet une borne supérieure qui est 1.
Exemple. B = [0, 1] admet un maximum qui est 1, et qui est aussi sa borne
Exemple.
supérieure.
Le résultat suivant est une méthode pour déterminer la borne supérieure d'un
ensemble.
6
Proposition 4.
(
b est un majorant de A
b = sup(A) ⇔
il existe une suite (xn ) à valeurs dans A telle que lim xn = b.
(
a est un minorant de A
a = inf(A) ⇔
il existe une suite (xn ) à valeurs dans A telle que lim xn = b.
Proposition 5.
Si A et B sont majorées avec A ⊂ B alors sup(A) ≤ sup(B).
Si A et B sont minorées avec A ⊂ B alors inf(A) ≥ inf(B).
Dénition 8.
On dit qu'une fonction f : I → R est bornée (resp. majorée/minorée) si l'ensemble f (I) ⊂ R est borné (resp. majoré/minoré). On
note alors maxx∈I f (x) = max f (I), et les notations analogues pour min, sup
et inf .
Exemple.
Étudier les bornes supérieures des fonctions
f : x 7→ 2 + 3 cos x,
2
g : x 7→
1
1 + x2
Nombres complexes
2.1 Forme algébrique
On dénit i comme un nombre vériant i2 = −1. Le nombre i ne peut
bien sûr pas être réel car les nombres réels ont un carré positif. L'ensemble des
nombres complexes est déni par
C = {z = x + iy, x ∈ R, y ∈ R}.
L'expression z = x + iy est appelée forme algébrique de z , en opposition à
la forme exponentielle que nous verrons plus bas. Un nombre complexe z est
donc déterminé par la donnée de
sa partie réelle x, notée Re(z),
sa partie imaginaire y , notée Im(z).
Il faut bien noter que Re(z) et Im(z) appartiennent à R.
Remarque. On a R ⊂ C. En eet les nombres complexes de partie imaginaire
nulle sont les réels.
Dénition 9.
imaginaire pur
On dit que z est
si sa partie réelle est nulle.
L'ensemble des nombres imaginaires purs est noté iR.
Proposition 6.
deux nombres complexes z = x + iy et z 0 = x0 + iy 0 sont égaux
si et seulement si x = x0 et y = y 0 .
7
2.2 Opérations dans C
Dans cette section on va voir que toutes les opérations algébriques que l'on
connait sur R se prolongent à l'ensemble C.
Premièrement, on peut additionner et multiplier des nombres complexes,
en respectant la règle de distributivité de × sur +.
Proposition 7.
On a
Soient z = x + iy et z 0 = x0 + iy 0 deux nombres complexes.
z + z 0 = (x + x0 ) + i(y + y 0 ) ,
Exemple.
et
zz 0 = (xx0 − yy 0 ) + i(xy 0 + yx0 ) .
(1 + i)(2 + 3i) = −1 + 5i.
Remarque.
Pour λ ∈ R, on a
Re(λz) = λRe(z), et Im(λz) = λIm(z).
Proposition 8.
Tout complexe z 6= 0 admet un unique
un complexe noté z1 vériant z × z1 = 1.
inverse, c'est-à-dire
Démonstration. Vérier que pour z = a + ib l'équation (a + ib)(c + id) = 1
possède une unique solution (a, b) ∈ R2 :
(
(
d = a2−b
a(2) − b(1)
ac − bd = 1 (1)
+b2
⇔
a
c = a2 +b2 b(1) + a(2)
ad + bc = 0 (2)
1
. La forme algébrique de 1/z s'obtient en multix + iy
pliant en haut et en bas par la quantité conjuguée x − iy . Par exemple
√
3+i
1
√
.
=
4
3−i
Calcul pratique de
Plus généralement on a toujours par cette méthode :
1
=
x + iy
x
2
x + y2
+i
−y
2
x + y2
.
Enn on dénit le quotient de deux complexes par
z/z 0 = z ×
Exemple.
1
z0
2−i
(2 − i)(1 − i)
1 − 3i
=
=
.
1+i
(1 + i)(1 − i)
2
Les identités remarquables de la section 1.5 sont valables aussi
lorsque a, b ∈ C.
Remarque.
Dans C, il n'y a pas comme pour R de relation d'ordre ≤ qui soit
compatible avec l'addition et la multiplication. Autrement dit, on ne peut pas
comparer deux nombres complexes.
Remarque.
8
2.3 Représentation géométrique des complexes
On a l'habitude de représenter les nombres complexes comme les points d'un
plan P muni d'un repère orthonormé, appelé plan complexe. Un nombre
z ∈ C est associé à un point M ∈ P de la manière suivante :
la partie réelle de z est l'abscisse du point M ,
la partie imaginaire de z est l'ordonnée du point M .
L'axe horizontal de P correspond donc à l'ensemble des nombres réels, et l'axe
vertical de P est l'ensemble des nombres imaginaires purs.
Dénition 10.
On dit que z est
−−→
est l'axe du vecteur OM ∈ R2 .
l'axe du point M . On dit également que z
Pour résumer, on a la correspondance suivante :
nombre complexe
point
vecteur
z = x + iy ∈ C
M (x, y) ∈ P
−−→
OM (x, y) ∈ R2 .
Propriété 2.
Soient z et z 0 représentés par les points M et M 0 . Alors z + z 0
−−→ −−→ −−→
est représenté par le point N tel que ON = OM + OM 0 .
2.4 Conjugué d'un nombre complexe
Dénition 11.
Le conjugué d'un nombre complexe z = x + iy est z = x − iy .
Dans le plan complexe z est le symétrique de z par rapport à l'axe des abscisses.
Propriété 3.
Re(z) = z+z
, et Im(z) =
2
z = z,
z + z0 = z + z0,
z−z
,
2i
9
zz 0 = zz 0 . En particulier si λ ∈ R, λz = λz ,
z/z 0 = z/z 0
zn = zn.
Démonstration. On calcule séparément (a + ib)(c + id) et (a − ib)(c − id) pour
constater que le résultat est le même.
Proposition 9.
On a les équivalences suivantes.
z ∈ R ⇔ z = z,
z ∈ iR ⇔ z = −z.
2.5 Module d'un nombre complexe
Dénition 12.
Soit z = a + ib. On dénit le module de z par
√
|z| = a2 + b2 .
Lorsque z ∈ R le module de z coïncide avec sa valeur absolue.
On donne maintenant une autre expression du module de z . Selon les calculs que l'on veut mener, il peut être plus pertinent d'utiliser l'une ou l'autre
des expressions de |z|.
Proposition 10.
On a
|z| =
√
zz.
Propriété 4.
|zz 0 | = |z| |z 0 |,
|z/z 0 | = |z|/|z 0 |,
|z n | = |z|n ,
|z| = |z| = | − z|,
|z| = 0 ⇔ z = 0,
|z| = z ⇔ z ∈ R+ .
. Dans le plan complexe |z| représente la
distance de l'origine au point d'axe z , autrement dit la norme du vecteur
−−→
OM . De même |z−z 0 | représente la distance du point d'axe z au point d'axe
−−−→
z 0 , soit la norme du vecteur M M 0 . Ainsi l'ensemble des nombres complexes de
module 1 est représenté par un cercle de centre O et de rayon 1.
Interpretation geometrique
Proposition 11 (Inégalité triangulaire dans C).
Soient z, z 0 ∈ C. On a
|z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 |,
avec égalité si et seulement si z = 0 ou z 0 /z ∈ R+ .
10
Démonstration. On calcule :
|z + z 0 |2 = (z + z 0 )(z + z 0 ) = |z|2 + |z 0 |2 + 2Re(zz 0 ) ≤ |z|2 + |z 0 |2 + 2|z| × |z 0 |
donc
|z + z 0 |2 ≤ (|z| + |z 0 |)2
On peut généraliser cette inégalité à une somme de n termes z1 , . . . , zn :
|z1 + · · · zn | ≤ |z1 | + · · · + |zn |.
2.6 Forme trigonométrique et exponentielle
→
− →
−
Dénition 13. On note (O, i , j ) le repère orthonormé associé au plan com-
→
− −−→
plexe. Soit z ∈ C∗ . On appelle argument de z toute mesure de l'angle ( i , OM ),
où M est le point d'axe z . On le note Arg(z).
Un nombre complexe z a une innité d'arguments. Si θ est un
argument de z alors tous les θ + 2kπ sont aussi des arguments de z . On dit que
Arg(z) est déni modulo 2π . Pour cette raison toutes les égalités concernant
les arguments doivent être suivies de la notation [2π].
Cependant s'il faut choisir un argument en particulier on choisira sa valeur
principale, c'est-à-dire le seul qui appartienne à l'intervalle ] − π, π]. Un autre
choix possible serait de choisir celui qui appartient à l'intervalle [0, 2π[.
Remarque.
Remarque.
z = 0 n'admet pas d'argument car l'angle fait avec un vecteur
nul n'est pas déni.
Proposition 12.
Soient z, z 0 ∈ C∗ . On a
z = z 0 ⇔ |z| = |z 0 | et Arg(z) = Arg(z 0 )
[2π].
Calcul pratique de θ = Arg(a + ib) : on se sert de
(
cos θ =
sin θ =
Exemple.
√ a
,
a2 +b2
b
√
,
a2 +b2
ou
Calculer Arg(1 + i).
Dénition 14 (Forme trigonométrique).
θ = Arg(z)
b
tan θ = .
a
[2π], on a
Soit z ∈ C∗ . En notant ρ = |z| et
z = ρ(cos θ + i sin θ) .
forme trigonométrique
Cette écriture s'appelle la
de z . Réciproquement si
z = ρ(cos θ + i sin θ) avec ρ > 0 alors ρ, θ sont le module et l'argument de z .
Propriété 5.
Arg(zz 0 ) = Arg(z) + Arg(z 0 )
[2π],
11
Arg(z/z 0 ) = Arg(z) − Arg(z 0 ) [2π],
Arg(z n ) = nArg(z) [2π],
Arg(z) = −Arg(z)
[2π],
(
Arg(z) [2π],
si λ > 0,
Arg(λz) =
π + Arg(z) [2π], si λ < 0.
Démonstration. Seule la première est à montrer (les deux suivantes en découlent et les deux dernières sont évidentes). Soient z = ρ(cos θ + i sin θ) et
z 0 = ρ0 (cos θ0 + i sin θ0 ). Alors
zz 0 = ρρ0 (cos(θ + θ0 ) + i sin(θ + θ0 ))
Dénition 15 (Exponentielle complexe, forme exponentielle).
Soit θ ∈ R. On dénit
eiθ = cos θ + i sin θ
Soit z ∈ C∗ . En notant ρ = |z| et θ = Arg(z)
[2π], on a
z = ρeiθ .
Cette écriture s'appelle la
forme exponentielle de z.
quand θ varie, eiθ décrit l'ensemble des nombres complexes de
module 1, c'est-à-dire le cercle unité.
Remarque.
Propriété 6.
|eiθ | = 1 et Arg(eiθ ) = θ [2π],
0
eiθ = eiθ ⇔ θ = θ0 [2π],
0
0
ei(θ+θ ) = eiθ eiθ ,
einθ = (eiθ )n ,
0
0
ei(θ−θ ) = eiθ /eiθ ,
e−iθ = eiθ .
Démonstration. . . .
Théorème 2 (Formule d'Euler).
cos θ =
On a
eiθ + e−iθ
,
2
sin θ =
eiθ − e−iθ
.
2i
Démonstration. . . .
Théorème 3 (Formule de De Moivre).
On a
(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).
Démonstration. . . .
: la forme algébrique permet d'exprimer z en fonction du couple
partie réelle/partie imaginaire, alors que la forme trigonométrique permet d'exprimer z en fonction du couple module/argument. Cette dernière est plus adaptée aux calculs de produits, de puissances.
Moralité
12
2.7 Résolution d'une équation du second degré dans C.
Soient a, b, c ∈ R avec a 6= 0. On s'intéresse à l'équation
(E)
az 2 + bz + c = 0, z ∈ C.
Autrement dit on veut déterminer les nombres complexes z qui vérient cette
égalité. On remarque que (E) équivaut à
2
b
∆
z+
− 2 = 0,
2a
4a
où ∆ = b2 − 4ac est le discriminant. On en déduit le résultat suivant
Théorème 4.
On distingue trois cas :
√
−b± ∆
;
2a
−b
réelle z = 2a
1. si ∆ > 0, (E) admet 2 solutions réelles z =
2. si ∆ = 0, (E) admet 1 unique solution
;
3. si ∆ < 0, (E) admet 2 solutions complexes conjuguées z1 =
√
−b±i −∆
.
2a
Notons z1 et z2 les deux solutions de (E), avec z1 = z2 si ∆ = 0. On a
az 2 + bz + c = a(z − z1 )(z − z2 ) = a(z 2 − (z1 + z2 )z + z1 z2 ). En identiant les
coecients, on obtient le résultat suivant.
Théorème 5.
Les deux racines z1 et z2 de l'équation (E) sont déterminés par
leur somme et leur produit :
(
z1 z2 = ac ,
z1 + z2 = − ab .
√
√
√
Déterminer les racines du polynôme P (x) = x2 − ( 3 + 2)x + 6,
en commençant par essayer la méthode classique.
Exemple.
2.8 Dénition de ez pour z ∈ C
Jusqu'ici on a déni ex pour x ∈ R, et eiθ pour θ ∈ R. Autrement dit l'exponentielle est dénie pour les nombres réels et pour les nombres imaginaires
purs. On va voir maintenant comment dénir plus généralement ez pour z ∈ C.
Dénition 16.
Soit z = x + iy . On dénit
ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y).
Proposition
13.0 On a
0
ez+z = ez ez ,
0
0
ez−z = ez /ez ,
enz = (ez )n .
13