Chapitre VIII - Complexes (Partie II) 9 Notation exponentielle de la

Chapitre VIII - Complexes (Partie II)
9 Notation exponentielle de la forme trigonométrique
Définition 1. Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme :
z = r eiθ
où r = |z| et θ = arg z [2 π]
Cette écriture est appelée forme exponentielle de z.
Remarque. • Pour tout r réel positif non nul et θ réel, z = r eiθ = r (cos θ + i sin θ)
eiθ
•
est le nombre complexe de module 1 et dont un argument est θ.
Pour tout réel θ, eiθ = cos θ + i sin θ
π
i0
•
π
e
e =1
e
i2
eiπ
π
iπ
e = −1
=i
e
−i 2
i2
Qv
ei0
Q
u
O
= −i
z = r eiθ
π
i3
•
z = −2 e
n’est pas écrit sous forme exponentielle (car −2 < 0)
π
mais
i3
z = eiπ × 2 e
π
i π+ 3
=2e
i
=2e
4π
3
π
est sous forme exponentielle.
−z = r ei(θ+π)
e
−i 2
z̄ = r e−iθ
On retrouve les propositions 9 et 10.
′
Soit z = r eiθ et z ′ = r ′ eiθ deux nombres complexes non nuls, r > 0, r ′ > 0 et n ∈ N.
•
1.
2.
z̄ = r e−iθ
−z = r e
iθ
′
avec |z̄ | = r
i(θ+π)
avec |−z | = r
′ iθ ′
′ i(θ+θ ′)
3.
zz =re ×r e
4.
z n = (r eiθ )n = r n einθ
5.
′
z
r eiθ
r
= ′ iθ ′ = ′ ei(θ −θ )
′
z
r
r e
′
=rr e
avec |z z | = r r
′
avec |z n | = r n
z r
avec ′ = ′
r
z
et
arg (z̄ ) = −θ [2π]
et
arg (−z) = θ + π [2π]
et
arg (z z ′) = θ + θ ′ [2π]
et
arg (z n) = n θ [2π]
z
arg ′ = θ − θ ′ [2π]
z
et
π
2i
eiπ
Exemple 1. Écrire sous forme algébrique les nombres complexes : z1 = 3 e 3 ; z2 = 2 e −iπ ; z3 =
π.
i
!
2e 4
√
√
2π
3
1
2π
• z1 = 3 cos
= −3 + i 3 3
+ i sin 3 = 3 − + i
• z2 = 2 × (−1) = −2
3
2
2
2
2
!
√
√
√
√
π
3π
eiπ
2
1 i π− 4
3π
2
3π
1
1 i
1
• z3 =
= 2 e 4 = 2 cos
−
= − 2 +i 2
e
+ i sin
+i
=
π =
i4
2
4
2
2
4
2
4
4
2e
√
√
3−i
Exemple 2. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes :
z1 = −3 + 3 i 3 ;
z3 =
et
z4 = (1 + i)5.
2i
!
!
√
√
q
√ √
2π
2π
−1
3 3
3
2π
−3
=6
= 6 cos
• |z1| = (−3)2 + 3 3 2 = 36 = 6 donc z1 = 6
+i
+i
+ i sin
= 6 ei 3
3
2
6
2
3
6
π
!
√
√
−i
π
π
π
π π
√
−4i
−i
i
i − −
2π
3
1
3−i 2e 6
6
6 = −i
2
6 2 =e
=2e
•
3−i=2
−i
et 2 i = 2 e
donc z3 =
=
π =e
e 3 z3 est un quotient de nombres complexes
2
2i
2
i
2e 2
√ !
√
√ i π 5 √ 5 i 5π
√ iπ
√
5π
2
2
5
= 2 e 4 = 4 √2 e i 4
+i
donc z4 = (1 + i) =
2e 4
z4 est une puissance de nombre complexe
= 2e 4
• 1+i= 2
2
2
i
π
Exemple 3. Soit z = 3 e 3 . Montrer que z 57 est un nombre réel. Préciser son signe.
57 π
arg (z 57 ) = 57 arg z =
= 19 π = 9 × 2 π + π [2 π] soit arg (z 57) = π [2 π].
3
57
De plus, 3 > 0, donc z est un nombre réel négatif .
On a plus précisément : z 57 = 357 eiπ = −357
√ iπ
Exemple 4. Soit A, B et C trois points
du plan complexe d’affixes respectives : zA = 2 e 4 ; zB = 4 + 2 i et zC = −5 − i. Montrer que A, B et C alignés.
√
√ !
√ iπ √
2
2
=1+i
donc zA B = zB − zA = 4 + 2 i − (1 + i) = 3 + i et zA C = zC − zA = (−5 − i) − (1 + i) = −6 − 2 i = −2 (3 + i)
+i
zA = 2 e 4 = 2
2
2
zA C = −2 zA B
donc les points A, B et C sont alignés.
√
Exemple 5. Soit A, B et C d’affixes : zA = −2 i ; zB = −
•
•
3 + i et zC =
√
3 + i. Mettre
zB − zA
sous forme exponentielle, en déduire la nature de ABC.
zC − zA
√
√
√ i 2π
π
zB − zA − 3 + i + 2 i − 3 + 3 i 3 2 e 3
π
= √
= √
=
=e
= ei 3 de module 1 et d’argument [2 π]
√ iπ
zC − zA
3
3 +i+2i
3 +3i
3 2e 3
zB − zA AB
π
z
−
z
B
A
= arg(zB − zA) − arg(zC − zA) = AC ; AB = [2 π]
et
arg
zC − zA = AC = 1 soit AB = AC
zC − zA
3
π
donc ABC est un triangle équilatéral car c’est un triangle isocèle dont l’angle au sommet est égal à .
3
Proposition 1. Formule de Moivre
Pour tout réel θ et tout entier naturel n,
(eiθ)n = einθ
Proposition 2. Formules d’Euler
2π π
i
−
3
3
soit
(cos θ + i sin θ)n = cos (n θ) + i sin (n θ)
iθ
−iθ
Pour tout réel θ, cos θ = e + e
2
Démonstration. Pour tout réel θ, eiθ = cos θ + i sin θ
et
et
sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
e−iθ = cos θ − i sin θ. Sommer et soustraire membre à membre puis conclure.