TD_esp_var_sergene_16_17

Espérance, variance, séries génératrices
TD
PC
Chapitre 17
I.
2016-2017
Applications directes du cours
Exercice 1
PP
(Xn )n∈N∗ une suite de variable aléatoires indépendantes de
b(p) pour p ∈]0, 1[.
∗
Pour k ∈ N xé, On note (Ek ) l'évènement le premier
Exercice 3
P
Soit
Déterminer la fonction de répartition et la série génératrice d'une
loi
variable
succès lors de tirages successifs indépendants à pile ou face avec
p est obtenu au k\
-ième lancer.
[
(Ek ) à l'aide des symboles
,
et des évènements
∗
{Xi = 1} et {Xi = 0} pour i ∈ N .
probabilité de succès
X
suivant la loi de Poisson
Exercice 4
On note
S
P(λ).
P
la somme de deux dés équilibrés.
Ecrire
1. Déterminer la loi de
Exercice 2
P
X ,→ P(λ), pour λ > 0 xé.
Déterminer la loi de 2X , son espérance
S.
2. Déterminer l'espérance de
S.
3. Déterminer la variance de
S.
Soit
II.
A savoir rédiger
Exercice 5
Soit
et sa variance.
a > 0.
valeurs dans
PP CCP PSI 2015
2.
On considère une variable aléatoire discrète
N∗
X
à
admet-elle une espérance ? Une variance ?
3. Déterminer la série génératrice.
telle que :
∀n ∈ N∗ , P[X = n] =
X
Exercice 6
a
n(n + 1)
X
Soit
.
PP
une variable aléatoire discrète, valeurs dans
N.
E[X 2 ] existe, alors E[X] aussi, et que X
Justier que si
1. Déterminer la valeur de
III.
a.
admet
une variance.
Exercices
Exercice 7
PP
X une variable aléatoire suivant une
mètre λ > 0. Calculer
1
E
X +1
Soit
Exercice 10
loi de Poisson de para-
PPP
X ,→ P(λ), pour λ > 0. Montrer
Z
1 +∞ −x n
P[X ≤ n] =
e
x dx
n! λ
Soit
Exercice 11
que, pour tout
n ∈ N,
approximation binomiale-Poisson PP
Des machines fabriquent des plaques de tôle destinées à être em-
Exercice 8
pilées ; on estime à
P
X suivant
V(X).
A partir la fonction génératrice d'une variable
Poisson
P(λ),
Exercice 9
déterminer
E(X), E(X 2 ),
et
la loi de
PP
n boules blanches et n boules rouges. On tire
n boules dans celle-ci et on note X le nombre de
Une urne contient
simultanément
boules rouges obtenues lors de ce tirage.
Quelle est la loi de
X,
son espérance, sa variance ?
de
1
à
n
la proportion de plaques inutilisables.
n,
numérotées
en les prenant au hasard.
1. Pour
toire
n = 2000, quelle est la loi suivie par la variable aléaN nombre de plaques inutilisables parmi les 2000 ?
(on utilisera une loi de probabilité adaptée) ;
2. Quelle est la probabilité pour que
rieure à
N
soit strictement infé-
3?
3. quelle est la probabilité pour que
à
TD ch.17 Espérance, variance, séries génératrices
0.1%
L'utilisation de ces plaques consiste à en empiler
N
soit inférieure ou égale
3?
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Espérance, variance, séries génératrices
Maths
PC
M. Roger
IV.
Pour aller plus loin
Exercice 12
Exercice 16
PPP Modèle d’assurance
PP Casino
On suppose qu'à la roulette d'un Casino, on obtient la couleur
Des sinistres surviennent sur une année avec une probabilité
p ∈]0, 1[.
Chaque sinistre à un coût xe de
C
pour l'assureur.
Chaque client paye une prime annuelle d'assurance
1. Pourquoi peut-on modéliser par une famille
N
b(p)
variables aléatoires de loi
les
N
π.
(Xi )1≤i≤N
S
de
clients d'un assu-
le solde annuel des sinistres
pour l'assureur ?
4. Donner une valeur de
π
S?
Soit
X
- s'il gagne, il arrête de jouer et empoche le double de sa mise.
- s'il perd, il double sa mise et rejoue.
a) On suppose la fortune du joueur innie.
Montrer que le jeu s'arrête avec une probabilité égale à 1 (i.e.
Que se passe-t-il si au lieu de doubler, il décide de tripler sa mise
lorsqu'il rejoue ?
c) Le joueur n'est en fait pas si fortuné qu'il le prétend : il ne
99%.
possède que
PP
n
2n − 1
euros ce qui l'autorise à ne pouvoir jouer que
parties. Que devient son espérance de gain ?
une variable aléatoire suivant une loi géométrique de pa-
ramètre
p ∈ ]0, 1[.
Exercice 17
a) Calculer
E[X(X − 1) . . . (X − r + 1)]
b) Retrouver ce résultat par les séries génératrices.
Exercice 14
Soit
- il mise initialement 1 euro sur la couleur noire ;
b) On suppose toujours la fortune du joueur innie.
la prime annuelle d'un assuré pour
que l'assureur soit rentable une année avec une probabilité
Exercice 13
X et Y deux
(Ω, P ).
variables aléatoires réelles sur l'espace proba-
Montrer que :
|Cov(X, Y )| 6
Exercice 15
PP
On s'intéresse aux nombres de clients arrivant à l'un des deux guichets (A et B) d'une banque. Pour cela modélisons le problème
de la manière suivante : Le nombre de client quittant la le d'at-
X , est modélisé par une loi de Poisson P (λ). Le choix
A par le i ème client est modélisé par une loi Bernoulli
b(p). Ainsi Yi vaut 1 avec probabilité p si le ième client choisit
bien le guichet A et 0 avec probabilité 1 − p sinon. On supposera de plus que toutes les variables (Xi , Yi ) sont indépendantes.
X
X
Yk .
Posons de plus S =
tente, noté
PP
bilisé
p
V(X)V(Y )
de guichet
k=1
PP Sondage
1. Que représente
Une population de personnes présente une propriété donnée avec
une proportion inconnue
2. Que vaut
p ∈ ]0, 1[.
n personnes et l'on pose Xi = 1 si le
i-ème individu présente la propriété étudiée, 0 sinon. On considère
que les variables aléatoires Xi ainsi dénies sont indépendantes
et suivent toute une loi de Bernoulli de paramètre p.
a) Quelle est la loi suivie par
ε > 0.
Sn /n.
Etablir
Sn
1
P − p > ε 6
n
4nε2
ε = 0, 05, quelle valeur de n choisir pour que Sn /n soit
de p à ε près avec une probabilité supérieure à 95 % ?
d) Pour
voisin
4. En déduire
S
suit une loi de Poisson.
P{Y =k} ({X = n})
Exercice 18
PPP estimateurs statistiques
X1 , . . . , Xn des variables mutuellement indépendantes
2
suivant une même loi d'espérance m et de variance σ .
n
n
2
1 X
1X
On pose X̄n =
Xi et V̄n =
Xi − X̄n
n i=1
n − 1 i=1
Soient
Sn = X1 + · · · + Xn ?
b) Déterminer espérance et variance de
S?
P{X=n} ({Y = k}) ?
3. Montrer que
On choisit un échantillon de
c) Soit
la couleur rouge sinon (bref, on
presque sûrement). Déterminer l'espérance de gain du joueur.
3. Quelle est la variance de
supérieure à
1/2,
ne suppose pas de 0 vert. . . ). Un joueur fortuné joue selon le
protocole suivant :
reur ?
2. Quelle est l'espérance de
noire avec la probabilité
TD ch.17 Espérance, variance, séries génératrices
a) Calculer espérance et variance de
b) Calculer l'espérance de
Exercice 19
Soit
X
X̄n .
V̄n .
PP
une variable aléatoire discrète, valeurs dans
Supposons que
E[X 2 ]
existe, a-t-on
E[X]
R.
existe ?
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