Fiche 6 Lois continues (1) I Densité de Probabilité, Espérance

Fiche 6 Lois continues (1) I Densité de Probabilité, Espérance, Variance. a) Densité Une rivière est en crue dès que son débit excède 200m3/s. Une étude de ces crues anciennes permet de modéliser la loi de la variable X donnant le débit de la rivière en crue par une densité f définie par : 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 200 𝑓 𝑥 =
!
! ! 𝑠𝑖 𝑥 < 200 𝑓 𝑥 = 0
Trouver la valeur de a pour que f soit bien une densité de probabilité. // Film « densité de proba » b) Calculer l’espérance de X, c’est-‐à-‐dire l’amplitude d’une crue moyenne, puis sa variance. // Film espérance et variance d’une va continue c) Donner la fonction de répartition F(x) de X, où 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). Quelle est la probabilité que X soit supérieure à 500 ?, comprise entre 300 et 500 ? // Film fct de répartition d’une va continue d) Pour s’entrainer Soit X l’heure d’arrivée de A pour son rendez-‐vous hebdomadaire de 10h avec son patron. Une étude faite par le patron sur 3 ans permet de modéliser X par une loi continue dont la densité est la fonction affine par morceaux suivante : 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 9 𝑓 𝑥 = 0
𝑠𝑖 9 ≤ 𝑥 ≤ 10, 𝑓 𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟 9,0 𝑒𝑡 (10, 𝑎)
𝑠𝑖 10 ≤ 𝑥 ≤ 11, 𝑓 𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟 10, 𝑎 𝑒𝑡 (11,0)
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 11 𝑓 𝑥 = 0
-‐ Calculer a pour que f soit bien une densité de probabilité -‐ Calculer E(X) et V(X) -‐ Calculer p(9,5<X<10,5) II Lois usuelles a) Loi uniforme Supposons établi que l’attente X d’une rame de métro à une heure de l’après-‐midi est une variable uniforme sur l’intervalle [0,8] (le temps étant compté en minutes). Calculer E(X) et V(X). Quelle est la probabilité d’attendre moins de 5 minutes. // Film loi uniforme (corrigé avec rappel de cours) b) Loi exponentielle La densité de la loi exponentielle est définie par : 𝑓 𝑥 = 0 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑓 𝑥 = 𝜃𝑒 !!" 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Retrouver les formules de E(X), V(X) ainsi que la fonction de répartition de X. Exemple : θ=1/2000, X est la durée de vie en heures d’un lave-‐vaisselle, donner son temps moyen de bon fonctionnement (MTBF). // Film loi exponentielle