R S

I - Introduction
Introduction à la biomécanique
Etienne-Jules Marey et Georges Demenÿ en France, Eadweard Muybridge aux Etats-Unis
ont été les premiers a avoir mis en place des outils d’évaluation du mouvement à la fin du
XIXème siècle.
I. Description du mouvement
Lancer franc
Vue de profil
Trajectoire de la balle après le lâcher ?
Vue de dessus
I. Description du mouvement
Lancer du marteau
2
3
1
Sens de rotation
Flannagan, JO 1908
Trajectoire après le lâcher ?
Vue de dessus
I. Description du mouvement
• Translation : le déplacement du centre de masse rend
compte de la trajectoire parabolique du sauteur
I. Description du mouvement
!
Importance du choix du point : la trajectoire de
la main gauche ne rend pas bien compte du
mouvement global
I. Description du mouvement
• Rotation : le sauteur est vu comme l’ensemble
{haut du corps + bas du corps}
analyse de l’angle aux hanches au cours du saut
II. Représentation du mouvement
Un mouvement humain se passe toujours dans les trois
dimensions de l’espace
La représentation de ce mouvement doit se faire dans
un repère bien défini
Repère cartésien
r
k
r
i
x
O
z
r
j
y
II. Représentation du mouvement
Repère exocentré : vision d’un observateur extérieur
O
II. Représentation du mouvement
Repère egocentré : vision que le sujet a de son propre
mouvement par rapport à lui-même
O
II. Représentation du mouvement
Repère allocentré : vision que le sujet a de son propre
mouvement par rapport à un élément extérieur (ici
l’aire de réception)
O
II. Représentation du mouvement
Modélisation du corps en segments rigides.
• Pour chaque solide du corps, on définit :
- un repère mobile par rapport au repère Galiléen (fixe),
- un point proximal : centre articulaire "proche du corps",
- un point distal : centre articulaire "éloigné du corps".
Ce qui donne un segment de droite orienté du point proximal au point distal : un
vecteur
r
k
z
D
O'
r
i
x
O
r
j
P
y
PD
II. Représentation du mouvement
• Exemple
:
Modèle de Winter
(1990) à 14 segments
II – Vitesse linéaire
I. Référentiels et coordonnées cartésiennes.
I.1. Référentiel.
• En cinématique, nous utilisons deux types de référentiel
:
- Ro référentiel du monde, du labo lié à la terre pour analyser le mouvement de
l’athlète en général.
- R* référentiel barycentrique lié au corps humain, d’origine CG pour analyser les
mouvements des segments du corps les uns par rapport aux autres. Ces axes sont
issus du CG et sont constamment parallèles à ceux de Ro.
(R*)
(R0)
O
(R*)
G
G
I. Référentiels et coordonnées cartésiennes.
I.2. Coordonnées cartésiennes.
Quelque soit le point M, il est repéré par rapport à un référentiel précis.
Ici, nous définissons le référentiel (O, , , ) avec pour origine O et ses 3 axes (x,y,z)
d’où
r r r
i j k
- les coordonnées cartésiennes du point M :
z
r
 ai 
 r
M  bj 
 ckr 
 
M
r
k
y
Avec a, b et c des réels.
r
j
O
r
i
x
II. Vitesse linéaire.
II.1. Position.
G
G
d
t0
t1
0
OG1 = 2
0.5
t2
0
OG2 = 5
0.5
II. Vitesse linéaire.
II.3. Vitesse de déplacement.
• Unité : [m.s-1]
- Vitesse moyenne :
VM =
OM (t + ∆t) − OM (t)
∆t
Exemple :
t1 : objet en A,
t2 : objet en B,
OA = d1
OB = d2
m
d 2 − d1 ∆d
=
Vm =
t 2 − t1
∆t
m.s-1
s
d2
d1
O
A
B
∆d
x
II. Vitesse linéaire.
II.3. Vitesse de déplacement.
- Vitesse instantanée :
 OM (t + dt ) − OM (t )  d OM (t )
=
Vi = lim 

dt →0
dt
dt


• Direction tangente à la
trajectoire du mobile M,
• Sens du mouvement,
• Norme de la vitesse.
VM (t1 )
M (t1)
M (t2)
VM (t 2 )
II. Vitesse linéaire.
II.4. Mathématiquement.
- La vitesse est la dérivée de la position :
d OM (t )
V=
dt
 x
 
OM  y 
z
 
Dérivation
 dx

= x& 

 dt

dy

V
= y& 
 dt

 dz

= z& 

 dt

II. Vitesse linéaire.
II.5. Trois méthodes de calcul numérique.
OM(t + dt) − OM(t)
V1 =
dt
OM(t + dt) − OM(t − dt)
V2 =
2dt
OM(t) − OM(t − dt)
V3 =
dt
Ces trois méthodes sont toutes
justes !
III. Accélération linéaire.
III.1. Accélération moyenne.
• Unité : [m.s-2]
am =
V (t + ∆t) − V (t)
∆t
- L’accélération est la variation de vitesse entre deux
instants t1 et t2.
m.s-1
m.s-2
v2 − v1 ∆v
am =
=
t 2 − t1 ∆t
s
III. Accélération linéaire.
III.2. Accélération instantanée.
- L’accélération est la dérivée de la vitesse :
 V (t + dt ) − V (t )  d V (t )
=
ai = lim 

dt →0
dt
dt


 dx

&
=
x


 dt

dy

V
= y& 
 dt

 dz

= z& 

 dt

Dérivation
••
ax = x
d v d 2 OM
a=
=
dt
dt 2
••
a ay = y
••
az = z
III. Accélération linéaire.
III.4. Propriétés.
• Mouvement rectiligne uniforme : vitesse constante !
V = V0 = cste
V
dV d (cste) r
a=
=
=0
dt
dt
III. Accélération linéaire.
III.4. Propriétés.
• Mouvement uniformément accéléré : accélération constante !
a = a0 = cste
a
V0
dV
a=
⇒ V = at + V0
dt
III – Angles articulaires
I. Angles Segmentaires.
• Un angle segmentaire est l’angle mesuré entre
l’horizontale et le segment.
Application à la position de
repos :
θt
t : tronc
θt=90°
θc
θj
c : cuisse
j : jambe
θ
p
p : pied
θc=90°
θj=90° θ =180°
p
II. Angles intersegmentaires.
• Un angle intersegmentaire est l’angle articulaire c’est à
dire l’angle entre les deux segments de manière à former
un angle de 0° à la position neutre (rappel !).
θhan= θc - θtr
Hanche
θhan
Genou
Cheville
θche
θgen= θj - θc
θgen
θche= θp - θj - 90°
III. Mesure des angles.
• Comment en pratique calculer ou mesurer ces angles
lors d’un mouvement ?
• Mesure Goniomètre
• Principe : modification de
la résistance du circuit
électrique proportionnelle à
l’angle
III. Produit scalaire et angles.
• Calcul possible à partir des positions des articulations :
Hypothèses :
• axe du genou fixe
• rotation parfaite autour d ’un axe
cosθ =
HG • GC
HG × GC
H
G
C
III. Produit scalaire et angles.
• Définitions :
Le produit scalaire est un produit de deux vecteurs dont le résultat est un scalaire
(nombre réel).
Il se symbolise par un point entre les deux vecteurs : "."
Vecteur . Vecteur = scalaire
r
b
θ
r
a
r ax
a
ay
r bx
b
by
r r
a ⋅ b = a x bx + a y by
r r r r
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos θ
III. Produit scalaire et angles.
• Propriétés :
r r r r
a ⋅b = b ⋅ a
- commutativité :
-
-linéarité : avec k et l des scalaires :
- distributivité :
r r
r r
ka ⋅ lb = k ⋅ l (a ⋅ b )
r r r r r r r
c ⋅ (a + b ) = c ⋅ a + c ⋅ b
θ =π
-Si les deux vecteurs sont orthogonaux :
2
⇒ cos(θ ) = 0
r r
⇒ a ⋅b = 0
IV – Vitesse angulaire
I. Trajectoire curviligne.
Principe.
• On s’intéresse au mouvement d’un point pour une trajectoire quelconque ( pas
forcément en ligne droite !)
• On étudie la relation entre la vitesse linéaire et la courbure
Courbure faible
Courbure
élevée
I. Trajectoire curviligne.
I.1. Abscisse curviligne.
• Quelque soit l’objet (P) étudié lors de son déplacement, on peut exprimer sa
position sur la trajectoire suivie soit :
- en donnant les 3 coordonnées cartésiennes,
- en donnant son abscisse curviligne S.
Une seule coordonnée !
z
O'
r
k
rO
i
x
P
S
r
j
y
I. Trajectoire curviligne.
I.1. Abscisse curviligne.
• Définition :
L’abscisse curviligne est la distance algébrique parcourue par l’objet depuis l’origine.
Il faut pour cela :
- orienter la trajectoire
- choisir l’origine O’
P
O'
r
k
rO
i
x
S
r
j
y
L’abscisse curviligne est la position du point P sur
la courbe par rapport à O’
I. Trajectoire curviligne.
I.1. Abscisse curviligne.
• Coordonnée curviligne :
S = O' P
• Abscisse curviligne positive ou négative
>0
• Déplacement de A vers B noté :
<0
A
r
k
O'
rO
i
x
r
j
O’
B
∆S = AB
∆S
y
I. Trajectoire curviligne.
I.2. Vitesse curviligne.
• Vitesse moyenne :
∆r r' − r OB − OA AB
Vm =
=
=
=
∆t
t'−t
t'−t
t'−t
A ∆r B
r
k
O′
r
i
x
O
r
r
r′
r
j
Vm
y
I. Trajectoire curviligne.
I.3. Repère de Fresnet.
• Dans le repère local défini par les vecteurs unitaires suivant :
uT
: Vecteur unitaire tangent à la trajectoire
uN
: Vecteur unitaire normal à la trajectoire
La vitesse au point A est :
A
uN
uT
v
v = v ⋅ uT
La vitesse instantanée est toujours
tangentielle à la courbe
I. Trajectoire curviligne.
I.3. Accélération curviligne.
• Dans ce même repère, l’accélération curviligne se décompose alors comme la
somme des deux parties suivantes :
aT
: l’accélération tangentielle, le long de la courbe.
aN
: l’accélération normale, perpendiculaire à la courbe.
uT
A
uN
aN
aT
a = aT + aN
a
a = aT ⋅ uT + aN ⋅ uN
I. Trajectoire curviligne.
I.3. Accélération curviligne.
• Donc :
dv
aT =
dt
a
2
v
aN =
e
2
dv
v
a=
uT +
uN
dt
e
- Quand la courbe est circulaire : e est le rayon du cercle.
- Quand la courbe tend vers une droite : e tend vers ± ∞ !
v2
→0
e
soit
aN → 0
II. Mouvement circulaire.
II.1. Repérage.
Si un objet ponctuel est en mouvement sur la circonférence d’un cercle, sa
trajectoire est alors un cercle de rayon R dans le plan (O, x, y)
• Position repérée par l’angle θ(t) :
z
M
R
O
θ
S
y
A
rad
S
θ=
R
x
N.B.: Cas particulier pour θ =2π alors 2π =circonférence / R
m
m
II. Mouvement circulaire.
II.2. Vitesse angulaire.
ω
La vitesse angulaire est noté
M angulaire θ associé au point M.
C’est la variation instantanée de la position
• Algébriquement :
z
ωM
M
θ
O
y
dθ (t ) &
θ 2 − θ1
ω (t ) =
= θ (t ) =
dt
t 2 − t1
• Vectoriellement :
x
dθ
ω=
k
dt
Avec k le vecteur
normal au plan du
cercle
II. Mouvement circulaire.
II.3. Lien entre la vitesse angulaire et la vitesse
linéaire.
• Définition du produit vectoriel :
Le produit vectoriel est un produit de deux vecteurs dont le résultat est un
troisième vecteur qui est perpendiculaire aux deux autres.
Il se symbolise par : " ∧ "
Les trois vecteurs forment un repère direct !!
Vecteur ∧ vecteur = vecteur
r r r
c = a ∧b
II. Mouvement circulaire.
II.3. Lien entre la vitesse angulaire et la vitesse
linéaire.
• Deux calculs possibles du produit vectoriel :
Produit en croix
 c x   a x   bx   a y b z −by a z 

      
 c y  =  a y  ∧  by  =  a z bx − bz a x 
c  a  b  a b −b a 
 z  z  z  x y x y
Calcul algébrique
r
c
r
b
r
a
II. Mouvement circulaire.
II.3. Lien entre la vitesse angulaire et la vitesse
linéaire.
• Deux calculs possibles du produit vectoriel :
r
c
r
r r
c = a ⋅ b sin θ
r orthogonal au plan formé par
c
Calcul géométrique
et
v r
a b
r
b
θ
r
a
II. Mouvement circulaire.
II.3. Lien entre la vitesse angulaire et la vitesse
linéaire.
Dans le cas général pour deux points mobiles A et B d’un même solide, on a
:
m.s-1
m.s-1
ω
m
v A = vB + AB ∧ ω
rad.s-1
exprime la manière dont le solide tourne dans son ensemble !
II. Mouvement circulaire.
II.4. Mouvement d’un solide.
• Pour repérer un point dans l’espace
3 paramètres de position x, y, z
Z
Y
X
• Pour repérer un solide dans l’espace
3 paramètres de position x, y, z
3 paramètres d’orientation α, β, γ
γ
β
Z
α
X
Y
II. Mouvement circulaire.
II.4. Mouvement d’un solide.
• Exemple de paramètres d’orientation
pour un avion: α : lacet β : tangage
γ : roulis
α
β
γ
!
Importance de l’ordre des angles
II. Mouvement circulaire.
II.5. Accélération angulaire.
Le rayon est le lien entre les déplacements linéaires et angulaires :
v = R ∧ω
v = R ⋅ ω sin( R,ω )
=1
z
ωM
M
R
O
θ
y
v = Rω = rθ&