PROBABILITES

PROBABILITES
1) vocabulaire
Expérience aléatoire : expérience dont le résultat dépend totalement du hasard. (on lance un dé)
Univers (  ) : ensemble de tous les résultats de l'expérience. ( {1;2;3;4;5;6})
Événement : sous-ensemble de l'univers.
A = '' avoir un nombre pair'' B = ''avoir un multiple de trois''
Événement élémentaire : événement à un seul élément. C = '' avoir un multiple de 6''
Événement certain : ensemble contenant toutes les possibilités de l'univers ( c'est  )
D = '' avoir un nombre inférieur à 7''
Événement impossible : ensemble vide. F = '' avoir un nombre supérieur à 8''
Intersection : A ∩ B est l'événement contenant les éventualités qui appartiennent à A et à B.
Réunion : A ∪ B est l'événement contenant les éventualités qui appartiennent à A ou à B.
Le «ou» est un «ou inclusif» , on peut prendre les éventualités qui sont dans A et dans B.
Evénement contraire de A : événement noté
A
constitué des éventualités de  qui ne sont pas dans A.
Diagrammes de Venn :
Evénements incompatibles ou disjoints : deux événements dont l'intersection est vide.
On dit qu'un événement A est réalisé lorsque le résultat de l'expérience appartient à A.
2) modélisation
Loi de probabilité :
Soit une expérience aléatoire dont l'univers est  = {
x1; x2
;..... ;
xn
}.
On définit une loi de probabilité sur  en associant à chaque élément
xi
de  un réel
pi
appartenant à [0;1] tels que
p1
+
p2
+ ....... +
pn
= 1
Définitions :
Dans le cas où les
xi
sont des réels :
On appelle espérance de la loi de probabilité le réel E =
∑
1=1
1=n
pi×xi
On appelle variance de la loi de probabilité le réel V =
∑
i=1
i=n
pixi– E2
=
∑
i=1
i=n
pi×xi
2– E2
On appelle écart-type de la loi de probabilité le réel  =
V

Cas particulier : L'équiprobabilité
Lorsque tous les
xi
ont la même probabilité, on dit qu'il y a équiprobabilité sur  et
pour tout i
pi=1
n
.
3) probabilité d'un événement
Définition :
Soit  = {
x1; x2
;..... ;
xn
}. l'univers d'une expérience sur lequel on a défini une loi de
probabilité.
On appelle probabilité associée à cette loi l'application P qui à tout événement A de  associe le
réel P(A) tel que :
P(∅) = 0 et si A ≠∅ alors P(A) est la somme des probabilités des
xi
appartenant à A.
Propriété :
P() = 1 et pour tout A⊂ et B⊂,
0P(A)1
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(
A
) = 1 - P(A)
Remarque : quand A et B sont incompatibles alors P(A∪B) = P(A) + P(B)
Cas particulier :
Dans le cas d'équiprobabilité alors
PA= cardA
card 
Exemple : on lance un dé non truqué, quelle est la probabilité d'avoir un multiple de 3.
4) variable aléatoire
Définition :
Soit  l'univers d'une expérience muni d'une probabilité .
On appelle variable aléatoire réelle toute application X de  vers ℝ.
L'ensemble des valeurs prises par X s'appelle l'univers image, il est noté X().
Définition :
Soit X une variable aléatoire définie sur  telle que X() = {
x1
;
x2
........ ;
xn
}
On note (X = xi ) l'événement «la variable aléatoire X prend la valeur xi»
La donnée des nombres P (X = xi ) pour i ∈{1;2;.....;n} est la loi de probabilité de X.
Définition :
Soit X une variable aléatoire définie sur  telle que X() = {
x1
;
x2
........ ;
xn
}
On appelle espérance de X le réel E(X) =
∑
i=1
i=n
PX=xi×xi
On appelle variance X le réel V(X) =
∑
i=1
i=n
PX=xi×xi– E X2
=
On appelle écart-type de X le réel
X
=
VX
∑
i=1
i=n
PX=xi×xi
2– EX2

5) épreuve et schema de bernoulli et loi binomiale
Définition :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience qui n'a que deux issues possibles, l'une appelée le
succès (S) et l'autre l'échec (
S
)
Exemples : on lance une pièce : pile est S et face est
S
On lance un dé : 1 est S et les autres résultats
S
Définition :
Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité définie sur l'univers  = { S ;
S
} d'une épreuve
de Bernoulli telle p(S) = p avec p ∈ [0;1] et donc p(
S
) = 1-p
p s'appelle le paramètre de cette loi.
Définition :
Pour n ≠ 0, un schéma de Bernoulli est une répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes dont p(S) = p. On dit que c'est un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p)
Loi binomiale
Définition :
Soit un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p). On note X la variable aléatoire qui à chaque
résultat de ce schéma de Bernoulli associe le nombre de succès.
La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.
Définition :
Quand on représente à l'aide d'un arbre un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, pour tout
entier naturel k  n , le nombre de de chemins réalisant k succès sur les n expériences est
n
k
que l'on lit « k parmi n ». Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.
Pour calculer
10
3
= 120 avec une calculatrice :
TEXAS : 10
MATH
PRB
nCr
3
ENTER
CASIO : 10
OPTN
F 6
PROB
nCr
3
EXE
Propriété :
Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors pour tout entier
naturel k  n on a P(X=k) =
n
k
pk
1–pn – k
Propriété :
Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors
E(X) = n.p et V(X) = n p (1-p)

6) proprietes des coefficients binomiaux
Propriété :
Pour tous les entiers naturels n ≠ 0 et k avec k  n :
n
0
= 1
n
n
=1
n
k
=
n
n – k
n
k
+
n
k1
=
n1
k1
Triangle de Pascal : En utilisant la dernière propriété : « la somme des deux rouges donne la bleue »
p
n0 1 2 3 4 5 6
01
11 1
2121
31 3 3 1
41 4 6 4 1
51 5 10 10 5 1
61 6 15 20 15 6 1