PROBABILITES

PROBABILITES
1) vocabulaire
Expérience aléatoire : expérience dont le résultat dépend totalement du hasard. (on lance un dé)
Univers (  ) : ensemble de tous les résultats de l'expérience. ( {1;2;3;4;5;6})
Événement : sous-ensemble de l'univers.
A = '' avoir un nombre pair''
B = ''avoir un multiple de trois''
Événement élémentaire : événement à un seul élément. C = '' avoir un multiple de 6''
Événement certain : ensemble contenant toutes les possibilités de l'univers ( c'est  )
D = '' avoir un nombre inférieur à 7''
Événement impossible : ensemble vide. F = '' avoir un nombre supérieur à 8''
Intersection : A ∩ B est l'événement contenant les éventualités qui appartiennent à A et à B.
Réunion : A ∪ B est l'événement contenant les éventualités qui appartiennent à A ou à B.
Le «ou» est un «ou inclusif» , on peut prendre les éventualités qui sont dans A et dans B.
Evénement contraire de A : événement noté A constitué des éventualités de  qui ne sont pas dans A.
Diagrammes de Venn :
Evénements incompatibles ou disjoints : deux événements dont l'intersection est vide.
On dit qu'un événement A est réalisé lorsque le résultat de l'expérience appartient à A.
2) modélisation
Loi de probabilité :
Soit une expérience aléatoire dont l'univers est  = { x 1 ; x 2 ;..... ; x n }.
On définit une loi de probabilité sur  en associant à chaque élément x i de  un réel pi
appartenant à [0;1] tels que p1 + p2 + ....... + pn = 1
Définitions :
Dans le cas où les x i sont des réels :
1=n
On appelle espérance de la loi de probabilité le réel E =
∑ p i×xi
1=1
i=n
On appelle variance de la loi de probabilité le réel V =
∑ pi x i – E
i=1
On appelle écart-type de la loi de probabilité le réel  =
V
2
i=n
=
∑ pi ×x 2i – E 2
i=1
Cas particulier : L'équiprobabilité
Lorsque tous les x i ont la même probabilité, on dit qu'il y a équiprobabilité sur  et
1
pour tout i pi= .
n
3) probabilité d'un événement
Définition :
Soit  = { x 1 ; x 2 ;..... ; x n }. l'univers d'une expérience sur lequel on a défini une loi de
probabilité.
On appelle probabilité associée à cette loi l'application P qui à tout événement A de  associe le
réel P(A) tel que :
P(∅) = 0 et si A ≠∅ alors P(A) est la somme des probabilités des x i appartenant à A.
Propriété :
P() = 1 et pour tout A⊂ et B⊂,
0P(A)1
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P( A ) = 1 - P(A)
Remarque : quand A et B sont incompatibles alors P(A∪B) = P(A) + P(B)
Cas particulier :
Dans le cas d'équiprobabilité alors P A=
card  A
card 
Exemple : on lance un dé non truqué, quelle est la probabilité d'avoir un multiple de 3.
4) variable aléatoire
Définition :
Soit  l'univers d'une expérience muni d'une probabilité .
On appelle variable aléatoire réelle toute application X de  vers ℝ.
L'ensemble des valeurs prises par X s'appelle l'univers image, il est noté X().
Définition :
Soit X une variable aléatoire définie sur  telle que X() = { x 1 ; x 2 ........ ; x n }
On note (X = xi ) l'événement «la variable aléatoire X prend la valeur xi»
La donnée des nombres P (X = xi ) pour i ∈{1;2;.....;n} est la loi de probabilité de X.
Définition :
Soit X une variable aléatoire définie sur  telle que X() = { x 1 ; x 2 ........ ; x n }
i=n
On appelle espérance de X le réel E(X) =
∑ P X=xi ×xi
i=1
i=n
On appelle variance X le réel V(X) =
∑ P X=xi ×x i – E X
i=1
On appelle écart-type de X le réel  X =
 V X
2
i=n
2
2
= ∑ P X=xi ×xi – E X
i=1
5) épreuve et schema de bernoulli et loi binomiale
Définition :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience qui n'a que deux issues possibles, l'une appelée le
succès (S) et l'autre l'échec ( S )
on lance une pièce : pile est S et face est S
On lance un dé : 1 est S et les autres résultats S
Exemples :
Définition :
Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité définie sur l'univers  = { S ; S } d'une épreuve
de Bernoulli telle p(S) = p avec p ∈ [0;1] et donc p( S ) = 1-p
p s'appelle le paramètre de cette loi.
Définition :
Pour n ≠ 0, un schéma de Bernoulli est une répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes dont p(S) = p. On dit que c'est un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p)
Loi binomiale
Définition :
Soit un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p). On note X la variable aléatoire qui à chaque
résultat de ce schéma de Bernoulli associe le nombre de succès.
La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.
Définition :
Quand on représente à l'aide d'un arbre un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, pour tout
n
entier naturel k  n , le nombre de de chemins réalisant k succès sur les n expériences est
k
que l'on lit « k parmi n ». Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.

Pour calculer
 
10
= 120 avec une calculatrice :
3
TEXAS :
10 MATH
PRB
CASIO :
10 OPTN
F6
nCr 3 ENTER
PROB
nCr 3 EXE
Propriété :
Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors pour tout entier
n
pk 1 – p n – k
naturel k  n on a P(X=k) =
k

Propriété :
Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors
E(X) = n.p et V(X) = n p (1-p)
6) proprietes des coefficients binomiaux
Propriété :
Pour tous les entiers naturels n ≠ 0 et k avec k  n :

n
0
=1

  
    
n
n
n
k
n
k
=1
=
n
n–k
n
n1
=
k1
k1
+
Triangle de Pascal : En utilisant la dernière propriété : « la somme des deux rouges donne la bleue »
p
n
0
1
2
3
4
5
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
6
1