Second degré - ambition

Première S Devoir surveillé Mme MAINGUY
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DEVOIR SURVEILLÉ – 1S
Second degré
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Exercice 1
1) Résoudre!les!équations!suivantes!en!utilisant!la!méthode!demandée!:!
!
a!/!!!
2x2+5x−3=0
!en!utilisant!le!discriminant.!
!
b!/!!
2x2−2x−3
2
=0
,!en!utilisant!la!forme!canonique!puis!la!forme!factorisée,!si!elle!existe.!
!
c!/!!
2x4+x2−1=0
,!en!effectuant!un!changement!de!variable.!
!
2) a!/!Résoudre!l’inéquation!:!
2x+3x2≤1
!
!
b!/!Étudier!le!signe!du!polynôme!
P
!défini!par!:!
P x
( )
=100x2+60x+9
.!
!
3) Comment!choisir!le!nombre!
a
!pour!que!le!polynôme!
ax2+6x+1
!possède!une!racine!double!?!Calculer!cette!
racine.!
!
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Exercice 2
´!Répondre!par!VRAI!ou!FAUX!en!justifiant!la!réponse!:!
On!pose!
f x
( )
=ax2+bx +c
!où!
a,b;c
!sont!trois!réels!et!
a≠0
.!
!
!a!/!!!Si!
c=0
!alors!
f x
( )
=0
!n’admet!aucune!solution.!
!b!/!!!Si!
f x
( )
≥0
!alors!
Δ>0
!
!c!/!!!Si!
a>0
!et!
c<0
!alors!l’équation!
f x
( )
=0
!admet!deux!solutions.!
! d!/!
x2+x−3
!change!deux!fois!de!signe.!
!
!
Exercice 3
Soit!
f x
( )
=x2+mx +m
!où!
m
!désigne!un!nombre!réel.!
! !1!/!!Pour!quelle!valeur!de!
m
!le!nombre!1!est-il!une!racine!de!
f
!?!Déterminer!alors!l’autre!racine.!
!2!/!!Calculer!le!discriminant!
Δ
!de!
f
défini!par!
f x
( )
=x2+mx +m
!
!!!!!!!!!a!/!En!déduire!les!valeurs!de!
m
!pour!lesquelles!
f
!admet!deux!racines.!
!!!!!!!!!b!/!Mettre!
f x
( )
!sous!forme!canonique.!En!déduire!la!valeur!de!l’extrémum!de!
f
,!préciser!s’il!s’agir!d’un!!
!!!!!!!!!!!!!!!minimum!ou!d’un!maximum.!
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Première S Devoir surveillé Mme MAINGUY
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Exercice 4
Les!questions!suivantes!sont!indépendantes.!
1) Déterminer!deux!nombres!dont!la!somme!est!
10
3
!et!dont!le!produit!est!
1
.!
2) Simplifier!l’expression!:!
A=3x2−6x−6
x2−3+2
( )
x+3+1
( )
.!
!
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Exercice 5
On!souhaite!poser!des!panneaux!solaires!sur!un!toit!qui!a!!la!forme!d’un!trapèze!rectangle!représenté!ci-dessous!par!le!
quadrilatère!
ABCD
.!
Les!panneaux!solaires!sont!représentés!par!le!rectangle!
MAPN
.!
!
!
!
!
!
AB =8m
!
!
AD =7m
!!
!
CB =3m
!
!
!
!
!
On!note!
h
!la!longueur!
AP
!en!
m
!et!
A h
( )
!l’aire!du!rectangle!
MAPN
!en!
m2
.!
1) Calculer!
tan
α
.!
2) En!déduire!que!
PN =14 −2h
.!
3) Exprimer!l’aire!
A h
( )
!du!rectangle!
MAPN
!en!fonction!de!
h
.!
4) Comment!doit-être!
h
!pour!que!
A h
( )
>24 m2
!?!
5) Dresser!le!tableau!de!variations!de!
A h
( )
!et!donner!l’aire!maximale!de!
MAPN
.!
!
!
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BONUS
1) Déterminer!un!polynôme!
P
!de!degré!2!tel!que!:!!!!
P x +1
( )
−P x
( )
=2x
!!et!!
P0
( )
=0
.!
2) En!déduire!la!somme!des!
n
!premiers!entiers!naturels!pairs!non!nuls!:!
S=2+4+…+2n
.!
3) En!déduire!la!somme!des!
n
!premiers!entiers!naturels!non!nuls.!
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