sujet de juin 2016

Université de Rouen
L2 Math/Info
Année 2015-2016
Algèbre
Examen du 15 juin 2016, durée 2h
L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE.
IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.
Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.
Questions de cours.
(a) Donner l’énoncé et la démonstration du lemme de Gauss dans l’anneau (Z,+,·).
(b) Démontrer que si αest racine d’ordre k(k≥2) du polynôme Palors αest racine
d’ordre k−1 de P0. Donner un exemple de polynôme Pà coefficients réels tel que 0
n’est pas racine de Pet tel que 0 est racine double de P0.
Exercice 1. Une suite (un)n∈Nest périodique s’il existe T∈N∗tel que un+T=unpour tout
ndans N. Le plus petit entier Tvérifiant la propriété précédente est appelé période de la
suite. On définit la suite (Fn)n∈Npar F0=F1=1 et pour tout n≥0, Fn+2=Fn+1+Fn.
(a) Calculer (et donner) les valeurs de F0,F1,F2,...,F8et F9.
(b) Montrer (par récurrence par exemple) que pour tout n∈N
Fn+8=F7Fn+1+F6Fn. (1)
(c) On se place dans (Z/3Z,+,·) et on pose vn=cl(Fn). Donner les valeurs de v0,v1,
v2,...,v8et v9(comme Z/3Z={cl(0),cl(1),cl(2)} il faut écrire les valeurs attendues
parmi cl(0), cl(1), cl(2)). Exprimer, à l’aide de (1), vn+8en fonction de vn+1et vn. En
déduire que (vn)n∈Nest périodique et déterminer sa période.
(d) On se place dans (Z/7Z,+,·) et on pose wn=cl(Fn). Donner les valeurs de w0,w1,
w2,...,w8et w9(même remarque qu’à la question précédente sachant que Z/7Z=
{cl(0),cl(1),...,cl(6)}). Exprimer, à l’aide de (1), wn+8en fonction de wn+1et wn. En
déduire l’expression de wn+16 en fonction de wn+1et wnet démontrer que la suite
(wn)n∈Nest périodique.
(e) Soit m∈N∗. On se place dans Z/mZet on pose un=cl(Fn).
-i- Montrer que f: (x,y)7→ (y,x+y) est une bijection de (Z/mZ)2dans lui-même.
-ii- Montrer que (un)n∈Nest périodique de période T≤m2−1. [indication : on pourra
dans un premier temps établir un lien entre un+2,un+1,unà l’aide de f, puis exprimer
unà l’aide de f,u0,u1et n.]
Exercice 2. Soit Gun ensemble à 4 éléments, notés {a,b,c,d}. On considère une loi de com-
position interne sur Gdont la table est la suivante
a b c d
a a b c d
b b a d c
c d c b a
d c d a b
1

La table donnée est-elle celle d’une loi de groupe ?
Exercice 3. Soient σ1la permutation et tla transposition
σ1=µ123456789
684739251¶,t=(1 2).
(a) Décomposer σ1en produit de cycles à supports disjoints et calculer la signature de σ1.
(b) Calculer l’ordre de σ1et exprimer σ2017
1.
(c) Calculer σ1◦t◦σ−1
1.
(d) Soit σune permutation de {1,...,9} telle que σ◦t=t◦σ. On cherche à caractériser σ.
-i- Montrer que σ(1) ∈{1,2} et que σ(2) ∈{1,2}.
-ii- Montre que σest de la forme σ=t◦τou σ=τavec τune permutation dont le
support est inclus dans {3,...,9}.
Exercice 4. Soit λet µdeux paramètres réels. Réaliser la division euclidienne du polynôme
P=X4+X3+λX2+µX+1 par Q=X2+2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur
λet µpour que Qdivise P.
Exercice 5. Décomposer en éléments simples dans C[X] la fraction rationnelle
F=X+4
(X2+1)2.
Donner la décomposition en éléments simples de Fdans R[X].
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