Les documents, téléphones portables, ordin

Lycée Berthollet
PCSI2 2016-17
DS6 de mathématiques, samedi 1er avril 2017 (3h00)
Les documents, téléphones portables, ordinateurs et calculatrices sont interdits
Exercice 1 Analyse et algèbre
On rappelle que RN est l’espace vectoriel des suites réelles. On note les suites u = (un )n∈N et on définit
¶
©
A = u ∈ RN | u CV
et
¶
B = u ∈ RN |
X
©
un CV .
1. Y a-t-il des inclusions entre ces deux ensembles ? Justifier vos réponses en vous aidant, le cas
échéant, d’un contrexemple.
2. Lesquels sont des sous-espaces vectoriels de RN ?
3. Montrer que l’application lim qui, à un élément u ∈ A, fait correspondre lim u est linéaire.
4. Y a-t-il des inclusions entre les deux ensembles B et Ker (lim) ? Justifier vos réponses en vous aidant,
le cas échéant, d’un contrexemple.
Exercice 2 Algèbre linéaire dans R3
On considère le R-espace vectoriel E = R3 , ainsi que les deux sous-ensembles F et G de E définis par :
F = {(x, y, z) ∈ E , x + 2y = 3z}
G = {(a, a, a) , a ∈ R} .
et
1. Prouver que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E.
2. Déterminer une base de F.
3. Déterminer F ∩ G. Les espaces F et G sont-ils supplémentaires dans E ?
On définit l’application f de E dans lui-même définie par :
∀(x, y, z) ∈ E ,
Å
ã
x z
f (x, y, z) = 2x + 3y − 5z, − , x + y − 2z .
2 2
4. Prouver que f est une application linéaire.
5. Déterminer une base de Ker f . L’application f est-elle injective ?
6. Soit (a, b, c) ∈ R3 . Échelonner le système linéaire f (x, y, z) = (a, b, c), d’inconnues réelles x, y, z.
En déduire que Im f = F. L’application f est-elle surjective ?
7. Prouver que, pour tout (x, y, z) ∈ R3 , f ( f (x, y, z)) ∈ G.
En déduire, sans calcul supplémentaire, que f 3 = f ◦ f ◦ f = 0.
Exercice 3 Des polynômes et des probabilités
Soit n ≥ 2. On considère l’expérience aléatoire suivante : on dispose de deux urnes. Dans chacune
d’elles se trouvent 200 boules numérotés de −99 à 100. On tire au hasard une boule dans chacune des deux
urnes, et on nomme respectivement a et b les deux numéros obtenus. On considère alors l’univers
Ω = [[−99, 100]]2 = (i, j) ∈ N2 | −99 ≤ i ≤ 100 et − 99 ≤ j ≤ 100 .
¶
©
On construit à l’aide des deux numéros obtenus le polynôme Q = X 2 + 2aX + b.
Pour i et j dans [[−99, 100]], on note Ai l’évènement “ a vaut i ” et B j l’évènement “ b vaut j ”.
Ä
ä
Ä
ä
1. Pour (i, j) ∈ [[−99, 100]]2 , déterminer P (Ai ) et P B j et en déduire P Ai ∩ B j .
Les évènements élémentaires Ai ∩ B j de Ω sont-ils équiprobables ?
2. Exprimer en fonction de a et b : le discriminant ∆ de Q, les polynômes Q0 et Q00 , ainsi que le
polynôme composé Q0 (X − 1) = Q0 ◦ (X − 1).
3. On définit les évènements suivants :
• Z0 : “ 0 n’est pas racine de Q ” ;
• Z1 : “ 0 est racine simple de Q ” ;
• Z2 : “ 0 est racine double de Q ”.
(a) Que dire de (Z0 , Z1 , Z2 ) ?
(b) Exprimer Z0 en fonction de B0 et en déduire P (Z0 ).
En exprimant Z1 et Z2 à l’aide des Ai et B j , calculer P (Z1 ) et P (Z2 ).
On définit un nouveau polynôme R de la manière suivante :
• Si 0 n’est pas racine de Q, on pose R = Q0 ;
• Si 0 est racine simple Q, on pose R = Q0 (X − 1) ;
• Si 0 est racine double de Q, on pose R = Q00 .
(c) Déterminer la probabilité de l’évènement C : “ 0 est racine de R ”.
(d) Sachant que 0 est racine de R, déterminer la probabilité que 0 soit aussi racine (simple ou double)
de Q.
4. On pose U l’évènement “ 1 est racine de Q ”, et D l’évènement “ 2X − 2 divise Q ”. Déterminer
P (U), puis P (D).
5. Déterminer la probabilité de l’évènement M : “ Q admet une racine double ”.
6. Montrer que l’évènement E ; “ Q admet deux racines réelles non nulles de signes opposés “ est égal
à l’évènement “ b < 0 ”.
Déterminer la probabilité de E sachant que a = 42.
7. (a) Déterminer la probabilité de l’évènement I1 : “ le polynôme Q est irréductible dans C[X] ”.
(b) Prouver que la probabilité de l’évènement I2 : “ le polynôme Q est irréductible dans R[X] ” est
inférieure ou égale à 12 .
Exercice 4 Endomorphismes d’espaces de matrices
Soit n ∈ N tel que n ≥ 2.
• On note Mn (R)
¶ l’espace vectoriel des
© matrices carrées de taille n.
• On note Sn = M ∈ Mn (R)|tM = M l’ensemble des matrices symétriques de taille n.
¶
©
• On note An = M ∈ Mn (R)|tM = −M l’ensemble des matrices antisymétriques de taille n.
1. Soit T l’application qui, à toute matrice M ∈ Mn (R), associe T (M) = tM.
(a) Montrer que T est une symétrie vectorielle de Mn (R) .
(b) Préciser le sous-espace par rapport auquel (resp. parallèlement auquel) agit cette symétrie.
(c) Que peut-on en déduire sur Sn et An ?
On se donne une matrice S ∈ Sn et on note uS l’application qui, à toute matrice M ∈ Mn (R), associe la
matrice uS (M) = S M S.
2. Montrer que uS est un endomorphisme de Mn (R).
3. Montrer que si S est inversible, alors uS est un automorphisme de Mn (R), en explicitant u−1
S .
4. (a) Rappelez sans preuve la formule exprimant t(MN), pour M et N dans Mn (R).
(b) Montrer que uS (Sn ) ⊂ Sn et uS (An ) ⊂ An .
2