Les documents, téléphones portables, ordin

Lycée Berthollet PCSI2 2016-17
DS6 de mathématiques, samedi 1er avril 2017 (3h00)
Les documents, téléphones portables, ordinateurs et calculatrices sont interdits
Exercice 1 Analyse et algèbre
On rappelle que RNest l’espace vectoriel des suites réelles. On note les suites u= (un)n∈Net on définit
A=¶u∈RN|uCV©et B=¶u∈RN|XunCV©.
1. Y a-t-il des inclusions entre ces deux ensembles ? Justifier vos réponses en vous aidant, le cas
échéant, d’un contrexemple.
2. Lesquels sont des sous-espaces vectoriels de RN?
3. Montrer que l’application lim qui, à un élément u∈A, fait correspondre limuest linéaire.
4. Y a-t-il des inclusions entre les deux ensembles Bet Ker(lim)? Justifier vos réponses en vous aidant,
le cas échéant, d’un contrexemple.
Exercice 2 Algèbre linéaire dans R3
On considère le R-espace vectoriel E=R3, ainsi que les deux sous-ensembles Fet Gde Edéfinis par :
F={(x,y,z)∈E,x+2y=3z}et G={(a,a,a),a∈R}.
1. Prouver que Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels de E.
2. Déterminer une base de F.
3. Déterminer F∩G. Les espaces Fet Gsont-ils supplémentaires dans E?
On définit l’application fde Edans lui-même définie par :
∀(x,y,z)∈E,f(x,y,z) = Å2x+3y−5z,x
2−z 2,x+y−2zã.
4. Prouver que fest une application linéaire.
5. Déterminer une base de Ker f. L’application fest-elle injective ?
6. Soit (a,b,c)∈R3. Échelonner le système linéaire f(x,y,z) = (a,b,c), d’inconnues réelles x,y,z.
En déduire que Im f=F. L’application fest-elle surjective ?
7. Prouver que, pour tout (x,y,z)∈R3,f(f(x,y,z)) ∈G.
En déduire, sans calcul supplémentaire, que f3=f◦f◦f=0.
Exercice 3 Des polynômes et des probabilités
Soit n≥2. On considère l’expérience aléatoire suivante : on dispose de deux urnes. Dans chacune
d’elles se trouvent 200 boules numérotés de −99 à 100. On tire au hasard une boule dans chacune des deux
urnes, et on nomme respectivement aet bles deux numéros obtenus. On considère alors l’univers
Ω= [[−99,100]]2=¶(i,j)∈N2| −99 ≤i≤100 et −99 ≤j≤100©.
On construit à l’aide des deux numéros obtenus le polynôme Q=X2+2aX +b.
Pour iet jdans [[−99,100]], on note Ail’évènement “ avaut i” et Bjl’évènement “ bvaut j”.
1. Pour (i,j)∈[[−99,100]]2, déterminer P(Ai)et PÄBjäet en déduire PÄAi∩Bjä.
Les évènements élémentaires Ai∩Bjde Ωsont-ils équiprobables ?

2. Exprimer en fonction de aet b: le discriminant ∆de Q, les polynômes Q0et Q00, ainsi que le
polynôme composé Q0(X−1) = Q0◦(X−1).
3. On définit les évènements suivants :
•Z0: “ 0 n’est pas racine de Q” ;
•Z1: “ 0 est racine simple de Q” ;
•Z2: “ 0 est racine double de Q”.
(a) Que dire de (Z0,Z1,Z2)?
(b) Exprimer Z0en fonction de B0et en déduire P(Z0).
En exprimant Z1et Z2à l’aide des Aiet Bj, calculer P(Z1)et P(Z2).
On définit un nouveau polynôme Rde la manière suivante :
•Si 0 n’est pas racine de Q, on pose R=Q0;
•Si 0 est racine simple Q, on pose R=Q0(X−1);
•Si 0 est racine double de Q, on pose R=Q00.
(c) Déterminer la probabilité de l’évènement C: “ 0 est racine de R”.
(d) Sachant que 0 est racine de R, déterminer la probabilité que 0 soit aussi racine (simple ou double)
de Q.
4. On pose Ul’évènement “ 1 est racine de Q”, et Dl’évènement “ 2X−2 divise Q”. Déterminer
P(U), puis P(D).
5. Déterminer la probabilité de l’évènement M: “ Qadmet une racine double ”.
6. Montrer que l’évènement E; “ Qadmet deux racines réelles non nulles de signes opposés “ est égal
à l’évènement “ b<0 ”.
Déterminer la probabilité de Esachant que a=42.
7. (a) Déterminer la probabilité de l’évènement I1: “ le polynôme Qest irréductible dans C[X]”.
(b) Prouver que la probabilité de l’évènement I2: “ le polynôme Qest irréductible dans R[X]” est
inférieure ou égale à 1
2.
Exercice 4 Endomorphismes d’espaces de matrices
Soit n∈Ntel que n≥2.
•On note Mn(R)l’espace vectoriel des matrices carrées de taille n.
•On note Sn=¶M∈Mn(R)|tM=M©l’ensemble des matrices symétriques de taille n.
•On note An=¶M∈Mn(R)|tM=−M©l’ensemble des matrices antisymétriques de taille n.
1. Soit Tl’application qui, à toute matrice M∈Mn(R), associe T(M) = tM.
(a) Montrer que Test une symétrie vectorielle de Mn(R).
(b) Préciser le sous-espace par rapport auquel (resp. parallèlement auquel) agit cette symétrie.
(c) Que peut-on en déduire sur Snet An?
On se donne une matrice S∈Snet on note uSl’application qui, à toute matrice M∈Mn(R), associe la
matrice uS(M) = S M S.
2. Montrer que uSest un endomorphisme de Mn(R).
3. Montrer que si Sest inversible, alors uSest un automorphisme de Mn(R), en explicitant u−1
S.
4. (a) Rappelez sans preuve la formule exprimant t(MN), pour Met Ndans Mn(R).
(b) Montrer que uS(Sn)⊂Snet uS(An)⊂An.
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