Le couple gyroscopique

Le couple gyroscopique
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Considérons une roue de bicyclette suspendue à une fourche d’axe vertical d’axe~z0. La roue est entraînée en rotation
par un moteur à vitesse de rotation constante ˙
θ = ω autour de l’axe~y1. Si la roue touchait le sol, elle avancerait selon ~x1.
Avec un guidon, on peut faire varier l’angle ψ entre une direction horizontale fixe~x0et la direction ~x1.
Considérons le point M situé sur la jante de rayon rà la colatitude α lorsque θ =0.
On a : −−→
OM =r[sin( θ + α )~x1+cos( θ + α )~z0]
Sa vitesse s’écrit :
~
V=r˙
θ cos( θ + α )~x1−˙ θ sin( θ + α )~z0+r˙ ψ sin( θ + α )~y1
où le dernier terme provient de la dérivée d
dt~x1=˙
ψ ~z0×~x1=˙ ψ ~y1.
Dérivons cette vitesse. On obtient :
~
Γ=r¨ θ cos( θ + α )~x1−¨ θ sin( θ + α )~z0+r¨ ψ sin( θ + α )~y1
+r−˙ θ
2sin(
θ + α )~x1−˙ θ
2cos(
θ + α )~z0+r˙ ψ
˙
θ cos( θ + α )~y1
+r˙
θ
˙
ψ cos( θ + α )~y1−r˙ ψ
2sin(
θ + α )~x1
où le dernier terme provient de la dérivée d
dt~y1=˙
ψ ~z0×~y1=−˙ ψ ~x1.
Cette accélération s’écrit encore :
~
Γ=r¨
θ [cos( θ + α )~x1−sin( θ + α )~z0]
+r¨ ψ sin( θ + α )~y1
−r˙
θ
2[sin(
θ + α )~x1+cos( θ + α )~z0]
−r˙ ψ
2sin(
θ + α )~x1
+2r˙ θ
˙
ψ cos( θ + α )~y1
où on reconnaît :
— ligne 1 : l’accélération tangentielle dans le mouvement de rotation autour de l’axe de la roue (module égal à r¨ θ )
~
Γt
θ
=r¨ θ [cos( θ + α )~x1−sin( θ + α )~z0]
1

— ligne 2 : l’accélération tangentielle dans le mouvement de rotation autour de l’axe de la fourche (module égal à d¨ ψ
ou dest la distance du point M à la fourche),
~
Γt
ψ
=r¨ ψ sin( θ + α )~y1
— ligne 3 : l’accélération centripète dans le mouvement de rotation autour de l’axe de la roue (module égal à r˙
θ
2et
dirigée vers le centre),
~
Γc
θ
=−r˙ θ
2[sin(
θ + α )~x1+cos( θ + α )~z0] = −˙ θ
2−−→
OM
— ligne 4 : l’accélération centripète dans le mouvement de rotation autour de l’axe de la roue de la fourche (module
égal à d˙ ψ
2dirigé vers l’axe de la fourche),
~
Γc
ψ
=−r˙ ψ
2sin(
θ + α )~x1
— ligne 5 : l’accélération de Coriolis égale à 2~ Ω×~ Vravec ~ Ω=˙ ψ ~z0et ~ Vr=r˙ θ [cos( θ + α )~x1−sin( θ + α )~z0].
~
Γ2ΩV=2r˙
θ
˙
ψ cos( θ + α )~y1
Remarquons au passage que l’accélération de Coriolis provient de la somme des termes suivants :
~
Γ2ΩV=d
dt rsin(
θ + α )˙ ψ ~y1+r˙ θ cos( θ + α )d
dt~x1−r˙
θ sin( θ + α )d
dt~z0
Le premier est dû à variation de la vitesse d’entraînement ~ Ve=r˙
ψ sin( θ + α )~y1(induite par ˙ ψ ~z0)qui résulte de la va-
riation du bras de levier rsin(
θ + α )produite par ˙ θ . Le deuxième est la variation de vitesse relative ~ Vr=r˙ θ cos( θ + α )~x1−˙ θ sin( θ + α )~z0
produite par la rotation ˙
ψ ~z0.
Considérons au point M un élément de jante de masse dm, et calculons le moment dynamique au point O produit par
dm
~
Γ. Il vient :
d~ M=dm−−→ OM ×~ Γ
Or :
−−→
OM ×~ Γt
θ
=r2¨ θ ~y1
−−→
OM ×~ Γt
ψ
=r2¨ ψ
sin2(
θ + α )~z0−cos( θ + α )sin( θ + α )~x1
−−→
OM ×~ Γc
θ
=~ 0
−−→
OM ×~ Γc
ψ
=−r2˙ ψ
2cos(
θ + α )sin( θ + α )~y1
−−→
OM ×~ Γ2ΩV=2r2˙ ψ
˙
θ
sin(
θ + α )cos( θ + α )~z0−cos2( θ + α )~x1
Pour la suite, on simplifie les calculs en se limitant au cas ¨ θ =¨ ψ =0.
Cas d’une jante uniforme
Dans ce cas on a dm =m
2 π
d α . Intégrons d~ Mpour α variant de 0 à 2 π . L’intégrale des produits cos( θ + α )sin( θ + α ) =
1
2sin(2
θ +2 α )sera nulle. Par ailleurs comme cos2( θ + α ) = 1
2cos(2
θ +2 α ) + 1
2,seule l’intégrale du 1 2sera non nulle.
D’où :
~
M=m
2 π
2r2˙
ψ
˙
θ
2
π
0−1
2~x1d
α
soit :
~
M=−mr2˙ ψ
˙
θ ~x1=~ Ω×~ σ avec ~
Ω=˙ ψ ~z0
~
σ =mr2˙ θ ~y1
Si on calcule l’intégrale des forces dynamiques d~ F=md
α
2 π
~
Γon trouve ~ F=~ 0. Le torseur dynamique résultant est donc
un couple pur appelé couple gyroscopique. Il provient du moment dynamique produit principalement par les masses qui
se trouvent au voisinage de l’axe de la fourche. Les accélérations de Coriolis de ces masses, dirigées selon l’axe de la
roue, sont de sens opposées en haut et en bas. Elle produisent ce couple gyroscopique autour de l’axe ~x1. Les masses qui
sont en quadrature (au voisinage de l’axe ~x1) ont des accélérations de Coriolis quasiment nulles (leur vitesse relative ~ Vr
est parallèle à ~ Ω). Elle ne contribuent donc pas au couple gyroscopique.
Si la fourche est suspendue au plafond, et qu’on tourne le guidon, la roue va avoir tendance à s’incliner, dans ce
mouvement son centre de masse va s’écarter de la verticale du point de suspension. Le couple de rappel créé par la gravité
va équilibrer le couple gyroscopique. On peut ainsi écarter la roue de la verticale selon la direction ~y1en exerçant sur
2

le guidon une force selon ~x1. Cette force va faire précessionner la roue en ˙ ψ créant ainsi le couple gyroscopique qui va
équilibrer le couple de rappel de la gravité.
Cas de deux masses ponctuelles
S’il n’y a que deux masses ponctuelles de masse m/2 diamétralement opposées en
α et α + π , on trouve un moment
égal à :
~
M=−mr2˙
ψ
2cos(
θ + α )sin( θ + α )~y1
+2mr2˙
ψ
˙
θ
sin(
θ + α )cos( θ + α )~z0−cos2( θ + α )~x1
et une résultante dynamique égale à :
~
F=~ 0
(avec une seule masse m, on trouve le même moment dynamique ~ M, mais avec une résultante dynamique non nulle).
Les termes autour de ~y1et~z0sont à moyenne nulle quand les masses tournent. Le terme autour de~x1:
— passe par un maximum (en valeur absolue) de ~ M' −2mr2˙
ψ
˙
θ ~x1pour θ + α 'k π (masses au voisinage de l’axe
~z0),
— et un minimum (en valeur absolue) de ~ M'~ 0 pour θ + α '
π
2+k
π (masses au voisinage de l’axe ~x1),
— avec une valeur moyenne égale à ~ M=−mr2˙
ψ
˙
θ ~x1.
On retrouve le fait que l’origine dynamique du couple gyroscopique est l’accélération de Coriolis des masses qui se
trouvent au voisinage de l’axe de précession.
Cas de trois masses ponctuelles de masse m/3 situées à 120 degrés.
En remarquant que :
cos β +cos β +2
π
3+cos
β +4
π
3=0
sin
β +sin β +2
π
3+sin
β +4
π
3=0
cos2
β +cos2 β +2
π
3+cos2
β +4
π
3=0
sin2
β +sin2 β +2
π
3+sin2
β +4
π
3=0
on obtient encore ~ F=~ 0 et ~
M=−mr2˙
ψ
˙
θ ~x1
On trouve le même couple gyroscopique permanent que dans le cas de la jante uniforme. Il en est de même avec 4
masses en quadrature.
3