Mesure de Probabilité sous l`hypothèse d`équiprobabilité On

Mesure de Probabilité
Mesure de Probabilité
Mesure de Probabilité sous l’hypothèse d’équiprobabilité
Mesure de Probabilité dans le cas général
On suppose que Ω est fini, et que tous les éventualités ont la même
chance d’être réalisé :hypothèse d’équiprobabilité
Définition axiomatisée des probabilités
Soit un espace d’expérience, une application numérique P définie sur
P(Ω) est appelée mesure de probabilité si elle satisfait les trois
conditions:

(i) P(A) ≥ 0, ∀A ∈ P(Ω);




(ii)
P(Ω) = 1;

(iii) ∀ {Ai }1≤i≤m classe d’événements incompatibles ona
X
[



A
)
=
P(Ai ).
P(

i

Définition. S,. Laplace(1749)
La probabilité d’un événement A est la proportion des éventualités
favorables parmi toutes les éventualités possibles:
P(A) =
card(A)
nbr d’éléments deA
=
card(Ω)
nbr d’éléments deΩ
Remarque En général tous Ω y compris les infinis. Si Ω est un
ensemble avec une mesure bien définie (en m, m2 , m3 , Dh) alors
P(A) =
i
i
L’espace (Ω, P(Ω), P) est dit espace probabilisé
mesure(A)
mesure(Ω)
Donc la probabilité est une mesure normée (parmi d’autres) définie sur
des ensembles
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Mesure de Probabilité
Cas particulier : Probabilité sous l’hypothèse d’équiprobabilité
Multiplicités des Mesures de Probabilité
card(A)
En particulier si A = {w1 , . . . , wm } alors P(A) =
l’hypothèse d’équiprobabilité on retrouve
X
i=1
card(A)
P(A) =
X
Remarque: On peut munir un espace d’échantillonnage de plusieurs
probabilités: équiprobabilité,....
⇒ existence de multitude de modèles de probabilité
Question: Quelle est le modèle le plus adéquat? celui le plus proche
de la réalité?
Exemple Jet d’un dé
Modèle 1: sous l’hypothèse qu’il est non pipé (truqué) on a
P(1) = ... = P(6) = 1/6
Modèle 2: Sous l’hypothèse qu’il est pipé tel que les nombres pairs ont
des chances double d’apparaître:
P(wi ) Sous
P(wi ) = card(A) ∗ P(w1 ) =
i=1
card(A)
card(Ω)
card(Ω)
En effet P(Ω) =
X
P(wi ) = card(Ω) ∗ P(w1 ) = 1
i=1
⇒ P(w1 ) = 1/card(Ω)
P(2) = P(4) = P(6) = 2P(1) = 2P(3) = 2P(5)
⇒ P(2) = P(4) = P(6) = 2/9 et P(1) = P(3) = P(5) = 1/9
«Il faut utiliser les modèles, non y croire.» Henri Theil
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Mesure de Probabilité
Propriétés d’une mesure de probabilité
Propriétés d’une mesure de probabilité
Propriété 1
Propriété 2
La mesure de probabilité est monotone est soustractive
1
Si A et B sont incompatibles alors
Si B ⊂ A alors P(B) ≤ P(A) et P(A − B) = P(A) − P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
2
Corollaire 1
1
∀A, P(A) ≤ 1 (car A ⊂ Ω)
2
∀A, P(A) = 1 − P(A) (car A = Ω − A)
3
P(∅) = 0 (car ∅ = Ω − Ω)
Si A et B sont deux événements alors
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)(car A ∪ B = A ∪ (B − A ∩ B))
Corollaire 2
La mesure de probabilité est sous additive
Remarque. Si Ω est continu alors P(A) = 0 ; A = ∅.
Exemple: Ω = [0, 100], ∀x ∈ Ω, P(x) = 0: en effet, La largeur
(mesure) d’un point dans un segment est nulle.
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P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)
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Règles de comptage
Règles de comptage
Règles de comptage: Définition
Règles de comptage: tirages successifs avec remise
A. Tirages successifs avec remise (au hasard) de n unités d’une
population contenant N unités: : Après chaque tirage on observe
l’unité puis on la remet à ça place
Chaque résultat est une sélection ordonnée et avec répétition de n
unités
Dénombrer=calculer le nombre=compter
Comptage= dénombrement= ou analyse combinatoire
But: dénombrer les résultats d’une expérience aléatoire ou les
éventualités d’un événement (les éléments d’un ensemble)
Exemples:
Nombre de résultats possibles d’une course?
Nombre d’affectations possibles des ouvriers aux différentes
taches?
Nombres de préférences (ordonnancement de marques) possibles
d’un consommateur?...
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Les tirages successifs avec remise de n boules d’une caisse
contenant N boules
La sélection d’un Échantillon Simple Avec Remise (ESAR) de
taille n d’une population de taille N
Problème: Nombre des tirages possibles (card(Ω))? Nombre
d’échantillons possibles (ordonnés avec répétition)?
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Règles de comptage
Règles de comptage
Règles de comptage: tirages successifs avec remise (suite)
Règle de comptage: tirages successifs sans remise
Solution Le premier tirage peut se faire de N façons différentes
Pour chaque résultat du premier tirage, le 2ième tirage se fait à son
tour de N façons différentes, donc les deux tirages se font de
N ∗ N = N 2 façons différentes,
Ainsi les n tirages se font donc de N n façons différentes
B. Tirages successifs sans remise de n unités d’une population
contenant N unités (n ≤ N): après chaque tirage on ne remet pas
l’unité à ça place
Chaque résultat est une sélection ordonnée et sans répétition de n
unités: Arrangement
La sélection d’un Échantillon Simple Sans Remise (ESSR) de
taille n d’une population de taille N
Résultat
Le nombre des tirages successifs avec remise de n unités parmi N
unités est
card(Ω) = N n
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Problème: Nombre de tirages possibles (card(Ω))? Nombre
d’échantillons possibles?
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Règles de comptage
Règles de comptage
Règles de comptage: tirages successifs Sans remise (suite)
Règle de comptage: tirages simultanés
Solution Le premier tirage peut se faire de N façons différentes
Pour chaque résultat du premier tirage, le 2ième tirage se fait à son
tour de N − 1 façons différentes, donc les deux tirages se font de
N ∗ (N − 1) = N!/(N − 2)! façons différentes,
Ainsi les n tirages se font donc de
N ∗ (N − 1) ∗ . . . ∗ (N − n + 1) = N!/(N − n)! façons différentes
C. Tirages simultanés de n unités d’une population contenant N
unités (n ≤ N): tirages em même temps des unités
Chaque résultat est une sélection non ordonnée et sans répétition de
n unités: combinaison
Résultat
Le nombre de tirages successifs sans remise de n unités parmi N est
le nombre des arrangements:
card(Ω) = AnN =
Problème: Nombre de résultats possibles? Nombre d’échantillons
possibles (non ordonnés sans répétition)
N!
(N − n)!
N!
= N!, c’est le nombre des permutations
(N − N)!
possibles de N unités
N.B. AN
N =
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Règles de comptage
Règles de comptage
Règle de comptage: tirages simultanés (suite)
Règle de comptage: Exemple
Solution: Chaque combinaison peut produire n! arrangements des n
unités parmi N:
AnN = n! ∗ CNn
Exemple. Dans une population constitué de 10 enfants, 6 filles et 4
garçons. On sélectionne 3 personnes. Quelle est la probabilité d’avoir
trois filles?
63
Tirages successifs avec remise P(A) = 3 = 9.6%
10
C63
Tirages simultané P(A) = 3 = 16.66%
C10
A3
Tirages successifs sans remise P(A) = 36 = 16.66%
A10
N.B. Pour le calcul de la probabilité d’un événements dont l’ordre n’est
pa pris en considération le tirage successifs sans remise est
équivalent au tirage simultané (utiliser les combinaisons)
Résultat
Le nombre des tirages simultanés de n unités parmi N est le nombre
des combinaisons:
card(Ω) = CNn =
AnN
N!
=
n!
n!(N − n)!
N. B. CN1 = N, CNN = 1, CNn = CNN−n
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