Mesure de Probabilité sous l`hypothèse d`équiprobabilité On

Mesure de Probabilité
Mesure de Probabilité sous l’hypothèse d’équiprobabilité
On suppose que Ωest fini, et que tous les éventualités ont la même
chance d’être réalisé :hypothèse d’équiprobabilité
Définition. S,. Laplace(1749)
La probabilité d’un événement Aest la proportion des éventualités
favorables parmi toutes les éventualités possibles:
P(A) = card(A)
card(Ω) =nbr d’éléments deA nbr d’éléments deΩ
Remarque En général tous Ωy compris les infinis. Si Ωest un
ensemble avec une mesure bien définie (en m,m2,m3, Dh) alors
P(A) = mesure(A)
mesure(Ω)
Donc la probabilité est une mesure normée (parmi d’autres) définie sur
des ensembles
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Mesure de Probabilité
Mesure de Probabilité dans le cas général
Définition axiomatisée des probabilités
Soit un espace d’expérience, une application numérique Pdéfinie sur
P(Ω) est appelée mesure de probabilité si elle satisfait les trois
conditions:
(i)P(A)≥0,∀A∈ P(Ω);
(ii)P(Ω) = 1;
(iii)∀ {Ai}1≤i≤mclasse d’événements incompatibles ona
P([
i
Ai) = X
i
P(Ai).
L’espace (Ω,P(Ω),P)est dit espace probabilisé
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Mesure de Probabilité
Cas particulier : Probabilité sous l’hypothèse d’équiprobabilité
En particulier si A={w1, . . . , wm}alors P(A) =
card(A)
X
i=1
P(wi)Sous
l’hypothèse d’équiprobabilité on retrouve
P(A) =
card(A)
X
i=1
P(wi) = card(A)∗P(w1) = card(A)
card(Ω)
En effet P(Ω) =
card(Ω)
X
i=1
P(wi) = card(Ω) ∗P(w1) = 1
⇒P(w1) = 1/card(Ω)
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Mesure de Probabilité
Multiplicités des Mesures de Probabilité
Remarque: On peut munir un espace d’échantillonnage de plusieurs
probabilités: équiprobabilité,....
⇒existence de multitude de modèles de probabilité
Question: Quelle est le modèle le plus adéquat? celui le plus proche
de la réalité?
Exemple Jet d’un dé
Modèle 1: sous l’hypothèse qu’il est non pipé (truqué) on a
P(1) = ... =P(6) = 1/6
Modèle 2: Sous l’hypothèse qu’il est pipé tel que les nombres pairs ont
des chances double d’apparaître:
P(2) = P(4) = P(6) = 2P(1) = 2P(3) = 2P(5)
⇒P(2) = P(4) = P(6) = 2/9 et P(1) = P(3) = P(5) = 1/9
«Il faut utiliser les modèles, non y croire.» Henri Theil
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Mesure de Probabilité
Propriétés d’une mesure de probabilité
Propriété 1
La mesure de probabilité est monotone est soustractive
Si B⊂Aalors P(B)≤P(A)et P(A−B) = P(A)−P(B)
Corollaire 1
1∀A,P(A)≤1 (car A⊂Ω)
2∀A,P(A) = 1−P(A)(car A= Ω −A)
3P(∅) = 0 (car ∅= Ω −Ω)
Remarque. Si Ωest continu alors P(A) = 0;A=∅.
Exemple: Ω = [0,100],∀x∈Ω,P(x) = 0: en effet, La largeur
(mesure) d’un point dans un segment est nulle.
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Mesure de Probabilité
Propriétés d’une mesure de probabilité
Propriété 2
1Si Aet Bsont incompatibles alors
P(A∪B) = P(A) + P(B)
2Si Aet Bsont deux événements alors
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B)(car A∪B=A∪(B−A∩B))
Corollaire 2
La mesure de probabilité est sous additive
P(A∪B)≤P(A) + P(B)
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Règles de comptage
Règles de comptage: Définition
Dénombrer=calculer le nombre=compter
Comptage= dénombrement= ou analyse combinatoire
But: dénombrer les résultats d’une expérience aléatoire ou les
éventualités d’un événement (les éléments d’un ensemble)
Exemples:
Nombre de résultats possibles d’une course?
Nombre d’affectations possibles des ouvriers aux différentes
taches?
Nombres de préférences (ordonnancement de marques) possibles
d’un consommateur?...
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Règles de comptage
Règles de comptage: tirages successifs avec remise
A. Tirages successifs avec remise (au hasard) de nunités d’une
population contenant Nunités: : Après chaque tirage on observe
l’unité puis on la remet à ça place
Chaque résultat est une sélection ordonnée et avec répétition de n
unités
Les tirages successifs avec remise de nboules d’une caisse
contenant Nboules
La sélection d’un Échantillon Simple Avec Remise (ESAR) de
taille nd’une population de taille N
Problème: Nombre des tirages possibles (card(Ω))? Nombre
d’échantillons possibles (ordonnés avec répétition)?
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Règles de comptage
Règles de comptage: tirages successifs avec remise (suite)
Solution Le premier tirage peut se faire de Nfaçons différentes
Pour chaque résultat du premier tirage, le 2ième tirage se fait à son
tour de Nfaçons différentes, donc les deux tirages se font de
N∗N=N2façons différentes,
Ainsi les ntirages se font donc de Nnfaçons différentes
Résultat
Le nombre des tirages successifs avec remise de nunités parmi N
unités est
card(Ω) = Nn
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Règles de comptage
Règle de comptage: tirages successifs sans remise
B. Tirages successifs sans remise de nunités d’une population
contenant Nunités (n≤N): après chaque tirage on ne remet pas
l’unité à ça place
Chaque résultat est une sélection ordonnée et sans répétition de n
unités: Arrangement
La sélection d’un Échantillon Simple Sans Remise (ESSR) de
taille nd’une population de taille N
Problème: Nombre de tirages possibles (card(Ω))? Nombre
d’échantillons possibles?
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