DENOMBREMENT ET PROBABILITES I) Dénombrement : Sans Ordre Définitions : - Tirages au hasard = équiprobabilité des tirages - Tirages successifs = emploi de l’arrangement : 𝐴𝑝𝑛 𝑛 - Tirages simultanés = emploi de combinaison : 𝑝 Propriétés : - 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐵 − 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴 ∩ 𝐵) Si A et B disjoint alors : 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐴 ∩ 𝐵 = 0 Sans Remise 𝐶𝑛 𝐴𝑛 Avec Remise 𝑛! 𝑛1 ! × 𝑛2 ! × … × 𝑛𝑘 ! 𝑛𝑝 𝑝 Répétition Soit E un ensemble fini, soit 𝐴 ∈ 𝐸 et 𝐴 le complémentaire de 𝐴 dans 𝐸 : - 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐴 = 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸 − 𝐶𝑎𝑟𝑑 (𝐴) Arrangements : Soit 𝑝 ∈ ℕ avec 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 tel que 𝑛 ∈ ℕ : 𝐴𝑝𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! Cas particulier : 0! = 1 = 𝐴00 et 𝐴0𝑛 = 1 . De plus, si 𝑛 = 𝑝 alors 𝐴𝑛𝑛 = 𝑛! Combinaisons : 𝑝 𝑛 𝐴 𝑛! Soit 𝑝 ∈ ℕ avec 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 tel que 𝑛 ∈ ℕ : 𝐶𝑛𝑝 = 𝑝 = 𝑝!𝑛 = 𝑝! 𝑛 −𝑝 𝑛 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 Et 𝑝 = 𝑛 − 𝑝 = + 𝑝−1 𝑝 𝑛\𝑝 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ! Triangle de Pascal : 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Permet le calcul de combinaison facilement et sans calculette :). Et facilite le développement de (𝑎 + 𝑏)𝑛 1 4 1 10 5 1 20 15 6 1 35 35 21 7 1 56 70 56 28 8 1 84 126 126 84 36 9 1 120 210 252 210 120 45 10 1 165 330 462 462 330 165 55 11 1 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 Binôme de Newton : (𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑛 𝑘=0 Avec Ordre 1 14 1 𝑛 . 𝑎𝑛 −𝑘 × 𝑏 𝑘 ; avec 𝑎; 𝑏 ∈ ℂ et 𝑛 ∈ ℕ. 𝑘 𝑝 II) Probabilités : Propriétés : - Soit 𝐴, 𝐵 deux évènements liés. 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃𝐵 (𝐴) × 𝑃(𝐵) ; avec 𝑃(𝐵) ≠ 0 𝑃𝐴 𝐵 + 𝑃𝐴 𝐵 = 1 et 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ - Soit 𝑃 𝐴 ≠ 0 : 𝑃𝐴 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃𝐴 𝐵 + 𝑃𝐴 𝐶 − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) Si 𝐵 et 𝐶 sont incompatible alors : 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 = 0 Si 𝐴 et 𝐵 sont indépendant alors : 𝑃 𝐵 = 𝑃𝐴 (𝐵) - Variance, Ecart type et Espérance: 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑖=0 𝑥𝑖 . 𝑓(𝑥𝑖 ) et 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋 2 − 𝐸(𝑋)² et 𝜎 𝑋 = Si 𝑋 = 0 , la variable X est centrée en 0. ⇒ E X : Indication sur la moyenne. ⇒ V X : Indication sur la dispersion. 𝑉(𝑋) Probabilités totales : Soit Ω un univers lié à une expérience aléatoire, et 𝐴1 ; 𝐴2 ; … ; 𝐴𝑛 des parties de Ω : 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴1 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴2 + ⋯ + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝑛 ) Probabilités discrètes : - Loi uniforme : équiprobabilité des tirages. Loi de Bernoulli : 𝑋𝑖 𝑃(𝑋 = 𝑋𝑖 ) 0 ⟶ Echecs 1−𝛼 - 1 ⟶ Succès 𝛼 Expérience à 2 issus : Succès / Echecs Probabilité de succès 𝛼 : paramètre 𝐸 𝑋𝑖 = 𝛼 et 𝑉 𝑋𝑖 = 𝛼(1 − 𝛼) - Loi Binomiale : Répétition d’une expérience de Bernoulli de paramètre α, 𝑛 fois. Paramètres : 𝑛 ; 𝛼 𝑛 𝑃 𝑋=𝑘 = . 𝛼 𝑘 . (1−𝛼)𝑛−𝑘 𝑘 𝐸 𝑋 = 𝑛. 𝛼 et 𝑉 𝑋 = 𝑛. 𝛼. (1 − 𝛼) et 𝑃 𝑋 ≤ 𝐾 = 𝑛 𝑘=0 𝑘. 𝑛 . 𝛼 𝑘 . (1−𝛼)𝑛−𝑘 𝑘 - Loi de Poisson : Le nombre X d’événement aléatoires décrit un processus de Poisson : La probabilité de réalisation au cours d’une petite période ∆𝑡, est proportionnelle à ∆𝑡, soit : 𝑃 = 𝑝. ∆𝑡 Elle est indépendante de ce qui s’est produit antérieurement. La probabilité de 2 apparitions sur le même ∆𝒕 est négligeable. 𝑛 → +∞ Pour traduire une loi Binomiale en loi de Poisson, il faut : 𝑝 → 0 𝑛. 𝑝 = 𝜆 On suppose cette approximation possible lorsque : 𝑛 ≥ 20 et 𝑝 ≤ 0,1 𝐸 𝑋 =𝑉 𝑋 =𝜆 et 𝑃 𝑘 =𝑃 𝑋=𝑘 = 𝜆𝑘 𝑘! 𝑒 −𝜆 Probabilités Continues : - Généralités : L’univers image est un intervalle de ℝ : 𝑃 𝐶 ;𝐷 𝑃 𝐶 = 𝑃 𝐶 ;𝐷 = 𝑃 𝐶 ;𝐶 = 𝑃 𝐶 ;𝐷 =0 = 𝑃 𝐶 ;𝐷 𝑥 𝑑 = ∫𝑐 𝑓 𝑡 . 𝑑𝑡 et lim𝑥→+∞ ∫𝑎 𝑓 𝑡 . 𝑑𝑡 = 1 - Loi Uniforme sur 0 ; 1 ou 𝑎 ; 𝑏 : 𝑃 0 ; 1 = 1 et 𝑃 ∅ = 𝑃 𝑥 = 0 𝑃 𝑎 ;𝑏 = 𝑏 − 𝑎 𝐸 𝑋 = 𝑎+𝑏 2 et 𝑉 𝑋 = 𝑏−𝑎 2 12 - Loi exponentielle de paramètre λ : Soit 𝜆 ∈ ℝ+∗ , 𝑓𝜆 = 𝜆. 𝑒 −𝜆.𝑡 tel que 𝑓𝜆 ∈ ℝ+ et 𝐷𝑓 = 𝐼 avec 𝐶 ; 𝐷 ∈ 𝐼 et 𝑎 ∈ 0 ; +∞ : 𝑑 = ∫𝑐 𝜆. 𝑒 −𝜆.𝑡 . 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑑 − 𝐹(𝑐) ⟺ 𝑃 𝐶 ; 𝐷 𝑃 𝐶 ;𝐷 = 𝑒 −𝜆𝑐 − 𝑒 −𝜆𝑑 Avec 𝐹 𝑑 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑑) et 𝐹 𝑐 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑐) 𝑃 𝑎 ; +∞ 𝑎 = 1 − ∫0 𝜆. 𝑒 −𝜆.𝑡 = 𝑒 −𝜆.𝑎 = 1 − 𝑃 0 ;𝑎 𝑃 𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑 = 𝑃𝑋 𝐶 ; 𝐷 = 𝑃 𝐶 ; 𝐷 Si 𝑢 ; 𝑣 > 0 : 𝑃 𝑋>𝑢 𝑋 > 𝑢 + 𝑣 = 𝑃( 𝑋 > 𝑣 1 1 𝐸 𝑋 = 𝜆 et 𝑉 𝑋 = 𝜆 2 - Loi Normale : S’applique à une variable aléatoire continue dépendant d’un grand nombre de causes indépendantes dont les effets s’additionnent et dont aucune n’est prépondérante. Elle donne lieu à une courbe de Gauss : Permet l’approximation de la loi Binomiale si 𝑛 est grand et (𝑝 ; 𝑞 = 1 − 𝑝) ↛ 0 On approxime par une loi Normale ℵ(𝜇 ; 𝜎) tel que : 𝜇 = 𝑛. 𝑝 et 𝜎 = 𝑛. 𝑝. 𝑞 et 𝑃(𝑋) → 𝑃(𝑌) Attention : X est une variable discrète car elle prend ses valeurs dans ℕ et Y est une variable continue car elle prend ses valeurs entre 0 et 1. On doit faire la correction de continuité en ajoutant un intervalle à l’étendue de la Gaussienne : Courbe de Gauss définissant la variable Y, tel que : Intervalle 𝑃 𝑌 = 𝑃 𝑋 . 𝑑𝑋 On ajoute un demi-intervalle de chaque coté (soit 1 intervalle en tout) de la Gaussienne pour diminuer l’erreur d’approximation discrète d’une courbe continue. De plus, pour pouvoir utiliser la «Table de la loi Normale centrée réduite » , il faut définir une nouvelle variable (Z) telle que : 𝑍 = Avec 𝜙 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑌−𝜇 . Et 𝑃 𝑎 ≤ 𝑍 ≤ 𝑏 = 𝜙 𝑏 − 𝜙(𝑎). 𝜎 𝑥 1 ∫−∞ 2𝜋 𝑒 −𝑡 2 2 . 𝑑𝑡 ; et 𝜙 −𝑥 = 1 − 𝜙(𝑥).