denombrement et probabilites - Le blog de Mesures Physiques
DENOMBREMENT ET PROBABILITES
I) Dénombrement :
Définitions :
- Tirages au hasard = équiprobabilité des tirages
- Tirages successifs = emploi de l’arrangement :
- Tirages simultanés = emploi de combinaison :
Propriétés :
- =+()
Si A et B disjoint alors : = 0
- Soit E un ensemble fini, soit et le complémentaire de dans :
= ()
Arrangements :
Soit avec 0 tel que :
=!
!
Cas particulier : 0! = 1 = 0
0 et
0= 1 . De plus, si = alors
=!
Combinaisons :
Soit avec 0 tel que :
=
=
!=!
!!
Et
=
=1
1+1
Triangle de Pascal :
\
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
:)
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
9
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
10
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
11
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
12
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
13
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
14
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
Binôme de Newton : (+)=
. ×
=0 ; avec ; et .
Permet le calcul de
combinaison facilement et
sans calculette .
Et facilite le développement
de (+)
Sans Ordre
Avec
Ordre
Sans
Remise
Avec
Remise
!
1! × 2! × ×!
Répétition
II) Probabilités :
Propriétés :
- Soit , deux évènements liés.
=() × () ; avec ()0
+ = 1 et =
- Soit 0 :
=+()
Si et sont incompatible alors : = 0
Si et sont indépendant alors : =()
- Variance, Ecart type et Espérance:
=.()
=0 et =2()² et =()
Si = 0 , la variable X est centrée en 0.
: Indication sur la moyenne.
dispersion.
Probabilités totales :
Soit Ω un univers lié à une expérience aléatoire, et 1;2;; des parties de Ω :
=1+2++()
Probabilités discrètes :
- Loi uniforme : équiprobabilité des tirages.
- Loi de Bernoulli :
0 Echecs
1 Succès
(=)
1
- Loi Binomiale :
Répétition d’une expérience de Bernoulli de paramètre α, fois.
Paramètres : ;
==
.. (1)
=. et =.. (1 ) et =.
=0
.. (1)
- Loi de Poisson :
Le nombre X d’événement aléatoires décrit un processus de Poisson :
La probabilité de réalisation au cours d’une petite période , est proportionnelle à , soit : =.
Elle est indépendante de ce qui s’est produit antérieurement.
La probabilité de 2 apparitions sur le même est négligeable.
Pour traduire une loi Binomiale en loi de Poisson, il faut : +
0 .=
On suppose cette approximation possible lorsque : 20 et 0,1
== et ===
!
- Expérience à 2 issus : Succès / Echecs
- Probabilité de succès : paramètre
- = et =(1 )
Probabilités Continues :
- Généralités : L’univers image est un intervalle de :
; = ; = ; = ; =.
= ; = 0 et lim+. = 1
- Loi Uniforme sur 0 ; 1 ou ; :
0 ; 1 = 1 et = = 0
; =
=+
2 et =2
12
- Loi exponentielle de paramètre λ :
Soit +, =.. tel que + et = avec ; et 0 ; + :
; =...
=() ; =
Avec =( ) et =( )
; + = 1 0 ; = 1 ..=.
0
= ; = ;
Si ; > 0 : >>+ =(>
=1
et =1
2
- Loi Normale :
S’applique à une variable aléatoire continue dépendant d’un grand nombre de causes indépendantes
dont les effets s’additionnent et dont aucune n’est prépondérante. Elle donne lieu à une courbe de Gauss :
Permet l’approximation de la loi Binomiale si est grand et ( ; = 1 )0
On approxime par une loi Normale ( ; ) tel que : =. et =.. et () ()
Attention : X est une variable discrète car elle prend ses valeurs dans et Y est une variable continue car
elle prend ses valeurs entre 0 et 1. On doit faire la correction de continuité en ajoutant un intervalle à
l’étendue de la Gaussienne :
De plus, pour pouvoir utiliser la «Table de la loi Normale centrée réduite » , il faut définir une nouvelle
variable (Z) telle que : =
. Et =().
Avec = =1
222
.
; et = 1 ().
Intervalle
=.
Courbe de Gauss définissant
la variable Y, tel que :
On ajoute un demi-intervalle de chaque coté (soit 1 intervalle en tout) de la Gaussienne pour diminuer l’erreur
d’approximation discrète d’une courbe continue.
1
/
3
100%
