Chapitre 1.11 – Le théorème de Gauss

Chapitre 1.11 – Le théorème de Gauss
Le flux
Le flux est une grandeur scalaire correspondant à une
grandeur physique évaluée sur une surface multipliée par
la surface en question.
Notation mathématique :
flux = Φ
Unité (mètre) :
[Φ ] = X⋅ m 2
où
X : unité grandeur physique
La ville de Toronto peut être considérée
comme étant un flux immobilier.
Exemple : Flux immobilier
On peut évaluer le flux immobilier d’une ville en multipliant la hauteur des édifices
(grandeur physique) en m par la surface qu’ils occupent au sol en m2. Le flux
immobilier aura comme unité le m3.
Situation A : Le flux immobilier d’un cartier.
Un cartier est constitué d’un édifice A d’une
hauteur hA de 50 m, d’un édifice B d’une
hauteur hB de 75 m et d’un édifice C d’une
hauteur hC de 100 m. La superficie des édifices
est illustrée sur le schéma ci-contre. On désire
évaluer le flux immobilier de ce cartier.
300 m
100 m
200 m
A : 50 m
B : 75 m
100 m
200 m
C : 100 m
200 m
Évaluons le flux immobilier des édifices A, B et C. Puisque la hauteur des édifices est
constante sur toute la surface, le flux sera uniquement le produit de la hauteur avec la
surface :
Φ A = hA AA
Φ B = hB AB
Φ C = hC AC
⇒
Φ A = (50)(100 × 300)
⇒
Φ A = 1,5 × 10 6 m 3
⇒
Φ B = (75)(200 × 200)
⇒
Φ B = 3,0 × 10 6 m 3
⇒
Φ C = (100 )(100 × 200 )
⇒
Φ C = 2,0 × 10 6 m 3
Le flux immobilier total du cartier sera la somme des flux évalués individuellement :
Φ = ∑Φi
⇒
Φ = ΦA + ΦB + ΦC
⇒
Φ = 1,5 × 10 6 + 3 × 10 6 + 2 × 10 6
⇒
Φ = 6,5 × 10 6 m 3
i
(
) (
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
) (
)
Page 1
Le flux électrique
Le flux électrique Φ e est un scalaire correspondant au module du champ électrique
perpendiculaire E ⊥ évalué
sur une surface multiplié par l’airev A de la surface. Puisque
v
le champ électrique E est vectoriel, il faut définir la surface A vectoriellement à l’aide
d’une normale à la surface vafin d’effectuer un
v produit scalaire transformant ainsi le
produit du champ électrique E avec la surface A en scalaire :
v
v
Flux électrique Φ e lorsque E v
Flux électrique Φ e lorsque E
est constant sur la surface plane A
est arbitraire sur la surface
v v
Φ e = ∫∫ dΦ e = ∫∫ E ⋅ dA
v v
Φ e = E ⋅ A = ± EA cos(θ )
θ
v
E
v
A
A
v
dA
E⊥ = E cos(θ )
v
E
v v
Rappel : E ⋅ A = E x Ax + E y Ay + E z Az
où
Φ e : Le flux électrique ( N ⋅ m 2 /C )
dΦ e : Flux électrique infinitésimal évalué sur une surface infinitésimal ( N ⋅ m 2 /C )
v
v
v
E : Champ électrique évalué sur la surface A ou dA (N/C)
v
E ⊥ : Module du champ électrique perpendiculaire à la surface A (N/C)
( E ⊥ = E cos(θ ) )
v
2
A : Surface sur laquelle le flux électrique est évalué (m )
A : Aire de la surface sur laquelle le flux électrique est évalué (m2)
v
dA : Élément de surface infinitésimal sur laquelle on évalue le flux électrique (m2)
v
v
θ : Angle entre le champ électrique E et le vecteur surface A
Conventions :
Flux électrique positif
v v
Φ e = E ⋅ A > 0 ⇒ θ < 90°
θ
v
E
v
A
Fux électrique négatif
v v
Φ e = E ⋅ A < 0 ⇒ θ > 90°
θ
v
E
v
E
v
A
θ
Φe < 0
Φe > 0
Lorsqu’une surface est fermée (forme un
volume fermé),
l’orientation du vecteur
v
surface A point toujours vers l’extérieur
du volume formé par la surface.
Flux électrique nul
v v
Φ e = E ⋅ A = 0 ⇒ θ = 90°
v
A1
v
A5
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Φe = 0
v
A6
v
A2
v
A4
v
A3
v
A
z
y
x
Page 2
Situation 1 : Le flux électrique dans un champ électrique uniforme. Un cerceau
circulaire en plastique de 50 cm de rayon est placé dans un champ électrique uniforme
de 800 N/C. Le plan du cerceau fait un angle α de 30o avec l’orientation du champ
électrique. On désire calculer la valeur absolue du flux électrique qui traverse le
cerceau.
Évaluons la surface totale du cerceau :
A = π R2
⇒
A = π (0,50 )
2
A = 0,7854 m 2
⇒
Représentons la situation :
v
v
• E : Champ électrique uniforme ( E = 800 N/C )
v
E
α
v
v
• A : Surface du cerceau ( A = 0,7854 m 2 )
v
A
θ
v
• α : Angle entre E et le plan du cerceau ( α = 30° )
v
v
• θ : Angle entre E et la normale du cerceau A
Évaluons le flux électrique à partir de l’expression avec champ électrique constant :
v v v v
v v
v v
Φe = E ⋅ A
Φ e = E A cos(θ )
(Produit scalaire : A ⋅ B = A B cos(θ ) )
⇒
⇒
v v
Φ e = E A cos(90° − α )
⇒
Φ e = (800 )(0,7854 ) cos(90° − (30°)) (Remplacer valeurs numériques)
⇒
Φ e = 314 N ⋅ m 2 /C
(Remplacer θ = 90° − α )
(Évaluer Φ e )
Situation 2 : Le flux à travers une sphère entourant une
bille chargée. Une petite bille porte une charge q = −8 µC .
On désire évaluer le flux électrique à travers une surface
sphérique de rayon R centré sur la bille, pour (a) R = 2 m
et (b) R = 4 m .
v
dA = dA rˆ
−q
z
R
x
y
A = ∫∫ dA = 4πR 2
Puisque le champ électrique n’est pas constant, évaluons le flux électrique à partir de
l’intégrale
v v
Φ e = ∫∫ dΦ e ⇒
Φ e = ∫∫ E ⋅ dA
⇒
 Q  v
Φ e = ∫∫  k 2 rˆ  ⋅ dA
 r 
⇒
Φ e = ∫∫ k
Q
(R )
2
v
rˆ ⋅ dA
v
Q
(Charge ponctuelle : E = k 2 rˆ )
r
(Distance r constante : r = R )
v
Q
ˆ
r
⋅
d
A
(Factoriser constante)
R 2 ∫∫
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
⇒
Φe = k
Page 3
v
Remplaçons le vecteur surface infinitésimal dA par une expression séparant
l’orientation et le module :
Φe = k
Q
R2
v
ˆ
r
⋅
d
A
∫∫
⇒
Φe = k
Q
R2
∫∫ rˆ ⋅ (dA rˆ )
v
(Orientation surface radiale : dA = dA rˆ )
⇒
Φe = k
Q
R2
∫∫ dA
(Produit scalaire : rˆ ⋅ rˆ = 1 )
⇒
Φe = k
Q
4πR 2
R2
⇒
Φ e = 4π kQ
⇒
Φe =
(
)
(Aire d’une sphère : A = 4π R 2 )
(Simplifier R 2 )
Q
(Remplacer ε 0 = 1 / 4π k )
ε0
On réalise que le flux électrique qui traverse la sphère en question dépend uniquement
de la charge à l’intérieur de la sphère et ne dépend en aucun cas de la taille de la sphère.
Ainsi, nous pouvons répondre à la question (a) et (b) simultanément :
Φe =
Q
ε0
(− 8 × 10 )
−6
⇒
Φe =
⇒
Φ e = −9,05 × 105 N ⋅ m 2 /C
(8,85 × 10 )
−12
(a) et (b)
Le théorème de Gauss
Le théorème de Gauss permet d’affirmer que le flux électrique
mesuré sur une surface fermée quelconque est proportionnel à
la charge électrique se trouvant à l’intérieur de la surface en
question. Ce théorème est une réécriture permettant d’illustrer
qu’une charge électrostatique génère un champ électrique
coulombien et qu’une distribution de charges génère un champ
électrique total respectant le principe de superposition vectoriel :
Φ e (sf ) =
où
Qint
ε0
Φ e (sf ) : Flux électrique totale sur la surface fermée ( N ⋅ m 2 /C )
Qint : Charge électrique à l’intérieur de la surface fermée (C)
ε 0 : Constante électrique, ε 0 = 8,85 × 10 −12 C 2 N -1m -2
( ε 0 = 1 / 4π k )
Afin d’illustrer que le calcul du flux électrique s’effectue sur une surface fermée, on utilise la
notation d’une intégrale double avec un cercle (ce qui ferme le parcours d’intégration) :
v v
Φ e (sf ) = ∫∫ E ⋅ dA
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 4
Preuve : (en construction)
Le champ électrique généré par une charge ponctuelle est de la forme :
v kQ
E = 2 rˆ
r
Charges à l’extérieur de la surface de Gauss
Charges à l’intérieur de la surface de Gauss
• Le flux électrique entrant nécessite peu
de surface avec un champ électrique fort.
• Le flux électrique sortant nécessite
beaucoup de surface avec un champ
électrique faible.
• Puisque l’augmentation de la surface
s’effectue au rythme où le module du
champ électrique diminue, la somme des
flux est nulle et nous avons :
• Le flux électrique mesuré sur une petite
surface de Gauss nécessite peu de surface
avec un champ électrique fort.
• Le flux électrique mesuré sur une grande
surface de Gauss nécessite beaucoup de
surface avec un champ électrique faible.
• Puisque l’augmentation de la surface
s’effectue au rythme où le module du
champ électrique diminue, le flux total ne
dépend pas de la surface, car l’ensemble
des lignes de champ sont toujours captées :
Φ e (sf ) = 0 car Qint = 0
Φ e (sf ) =
Qint
ε0
Situation A : La charge mystère. Une charge mystère a été introduite à l’intérieur d’un cube
de 2 mètre de côté. Le flux électrique a été évalué sur les six faces du cube :
Φ 1 = 10 Nm 2 /C ,
Φ 2 = 5 Nm 2 /C ,
Φ 3 = −30 Nm 2 /C ,
Φ 4 = −10 Nm 2 /C ,
Φ 5 = 10 Nm 2 /C , Φ 6 = 0 Nm 2 /C . On désire évaluer la charge totale à l’intérieur du cube.
Évaluons le flux électrique total sur la surface fermée du cube :
6
Φ e = ∑ Φ i = (10 ) + (5) + (− 30 ) + (− 10 ) + (10 ) + (0 ) = −15 Nm 2 /C
i =1
Avec le théorème de Gauss, on peut évaluer la charge à l’intérieur :
Φe =
Qint
ε0
(
⇒
Qint = Φ ε 0 = (− 15) 8,85 × 10 −12
⇒
Qint = −1,33 × 10 −10 C
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
)
Page 5
Situation 3 : Le champ électrique d’une TRIUC. On désire démontrer, à l’aide du
théorème de Gauss, que le module du champ électrique à une distance R d’une TRIUC
portant une densité linéique de charge λ est
2k λ
E=
R
Considérons une surface de Gauss fermée autour de notre tige
de forme cylindrique touchant au point P situé à une distance
R de la tige. On constante trois sections de surface :
disque gauche G, disque droite D et un cylindre C
Les deux disques étant parallèle au champ électrique généré
par la tige possède un flux électrique nul :
Φ e (Disque ) = ∫∫ dΦ e = ∫∫ E dA cos(90°) = 0
Évaluons le flux électrique sur la surface d’un cylindre de rayon R et de hauteur L centré
sur la tige infini :
v v
Φ e = ∫∫ dΦ e ⇒
Φ e = ∫∫ E ⋅ dA
⇒
v
Φ e = ∫∫ (E rˆ ) ⋅ dA
v
(Champ radial cylindrique : E = E rˆ )
⇒
Φ e = ∫∫ (E rˆ ) ⋅ dA rˆ
v
(Surface radiale cylindrique : dA = dA rˆ )
⇒
Φ e = ∫∫ E dA
(Produit scalaire : rˆ ⋅ rˆ = 1 )
⇒
Φ e = E ∫∫ dA
(Module du champ E constant sur la surface)
⇒
Φ e = E (2π RL)
(Surface cylindre : A = 2π RL )
⇒
Φ e = 2π RLE
Évaluons la charge à l’intérieur du cylindre de hauteur H :
Qint = λ L
Appliquons le théorème de Gauss afin d’évaluer le champ électrique à une distance R
de la tige :
Φ e (sf ) =
Qint
ε0
⇒
(2π RLE ) = (λL )
⇒
E=
λ
2π ε 0 R
(Isoler E)
⇒
E=
2 kλ
R
(Remplacer ε 0 =
ε0
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Remplacer Φ e (sf ) et Qint )
1
4π k
)
Page 6
Situation 4 : Le champ électrique d’une PPIUC. On désire démontrer, à l’aide du
théorème de Gauss, que le module du champ électrique généré par une PPIUC portant
une densité surfacique de charge σ est
E=
σ
2ε 0
Considérons une surface de Gauss fermée autour de notre
plaque de forme cylindrique de rayon R touchant au point P
situé à une distance z de notre plaque. On constante trois
sections de surface :
disque du haut H, disque du bas B et un cylindre C
Le cylindre étant parallèle au champ électrique généré par
la plaque possède un flux électrique nul :
Φ e (Cylindre) = ∫∫ dΦ e = ∫∫ E dA cos(90°) = 0
Évaluons le flux électrique sur la surface du disque du haut :
v v
Φ e = ∫∫ dΦ e ⇒
Φ e = ∫∫ E ⋅ dA
v
v
(Champ perpendiculaire plaque : E = E k )
⇒
v v
Φ e = ∫∫ E k ⋅ dA
v
v
Φ e = ∫∫ E k ⋅ dA k
⇒
Φ e = ∫∫ E dA
v v
(Produit scalaire : k ⋅ k = 1 )
⇒
Φ e = E ∫∫ dA
(Module du champ E constant sur la surface)
⇒
Φ e = Eπ R 2
(Surface disque : A = π R 2 )
⇒
( )
( )
v
v
(Surface plane : dA = dA k )
Puisque le flux électrique sur le disque du bas est identique au flux électrique du disque
du haut par symétrie, nous avons le flux électrique total suivant sur la surface fermée :
Φ e (sf ) = 2Φ e = 2 Eπ R 2
Évaluons la charge à l’intérieur du cylindre de rayon R :
⇒
Qint = σ A
Qint = σ π R 2
Appliquons le théorème de Gauss afin d’évaluer le champ électrique généré par la
plaque :
Φ e (sf ) =
Qint
ε0
⇒
(2 Eπ R ) = (σ πε R )
2
2
(Remplacer Φ e (sf ) et Qint )
0
⇒
E=
σ
2ε 0
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Isoler E)
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