Problèmes de dynamique, sans énergie - Jean

Problèmes de dynamique du point, sans énergie
I24. d’après CCP 2000.
g = 9,8 m.s–2.
1. On laisse tomber (sans vitesse initiale) d'une hauteur deux billes de même rayon, l’une de masse
, l’autre plus légère, de masse 2mh=1
B
10, 7 kgm=2
B20, 058 kgm=. Ces deux billes sont freinées par une force de
frottement visqueux proportionnelle à leur vitesse : f
F=−αv , étant un coefficient positif qui est le même pour les
deux billes.
α
=−β
a) A quelle équation différentielle la vitesse v, selon la verticale descendante Ox, satisfait-elle ?
b) En déduire en introduisant . ()vt /mτ=α
c) Représenter le graphe correspondant.
d) Donner une expression approchée de pour t. ()vt << τ
e) Commenter.
f) Trouver l'équation horaire . ()xt
g) Donner une expression approchée de pour t. ()xt << τ
h) Commenter.
2. Dans cette question, on reprend l'analyse précédente, mais la force de frottement est proportionnelle au carré de la
vitesse : 2/
f
Fvvv , étant un coefficient positif qui est le même pour les deux billes. β
a) Etablir l'équation différentielle à laquelle satisfait la vitesse d'une bille selon l'axe vertical descendant si cette bille
est lâchée sans vitesse initiale.
b) Quelle est la dimension physique de ?
1/2
(/)mg β
c) Montrer que a pour expression ()vt () th
l
l
gt
vt v v =, étant une quantité que l'on déterminera.
On utilisera un changement de variable ramenant l’intégrale à calculer à
l
v
2
11
ln
21
1
dx x
x
x
+
=−
−
∫
.
exp( ) exp( ) exp( ) exp( ) sh( )
ch() sh() th()
22
xx xx
xx x
+−−−
== ch()
x
x=
vg<<
d) Tracer le graphe correspondant.
e) Quelle est la signification physique de v ?
l
f) Donner une expression approchée de vt pour t. () /
l
g) Commenter.
h) En déduire l'équation horaire xt , sachant que () th ln chudu u=
∫
.
i) Donner une expression approchée de xt jusqu'au terme en t inclus.
On donne les développements limités pour x petit :
() 4
24 6 2345
ch( ) 1 ... ; ln(1 ) ...
224720 2345
xx x xxxx
xxx=+ + + + + =−+−++
t=−ω
j) Commenter.
k) On reprend l'étude de la chute des deux billes. Dans les deux cas, on admet la même valeur .
Montrer que le mouvement de B est une chute libre dans le vide, avec une excellente précision relative que l'on
calculera.
4
12 10 SI
−
β=×
1
l) Quel est l'écart de distance entre les deux billes en fin de chute.
m) Commenter.
II41. Point matériel sur un plateau oscillant.
1) Un plateau horizontal est animé par rapport à la Terre d'un mouvement
sinusoïdal vertical, de part et d'autre du point 0 fixe, d'amplitude a et de
pulsation . Son altitude est za , l'axe Oz étant vertical ascendant.
On pose sur le plateau un point matériel A de masse m. On suppose que la
pulsation est telle qu'à chaque instant le point matériel A reste sur le
plateau. Déterminer l'accélération z du plateau en fonction de sa cote z.
ωcos
ω
2) Déterminer la réaction R
exercée par le plateau sur le point matériel A en
fonction de la cote z du plateau.
3) Déterminer la cote z du plateau pour laquelle le module de
MR
est
maximal.

4)Déterminer la cote du plateau pour laquelle le module de R
m
z est minimal,
5)Déterminer la cote du plateau pour laquelle le module de R
0
z est égal au poids du point matériel A.
6) On augmente très lentement la pulsation des oscillations du plateau, sans changer l’amplitude a. Déterminer la
pulsation maximale pour laquelle le point A ne décolle jamais du plateau.
ω
2
ω
7) Calculer pour :
2
ω-2 8 cm 9,8 m.sag==
8) La pulsation du plateau est maintenant supérieure à . A l'instant , la cote du plateau est égale à et
sa vitesse z est nulle. Déterminer l'instant auquel le point A décolle du plateau.
ω2 ω0t=z a−
3
t
9) Déterminer, à l'instant , la cote et la vitesse du plateau.
3
t3 z3 z
10) Calculer , et pour .
3
t3 z3 z
36 rad/sω=π
11) Déterminer et calculer la cote maximale atteinte par le point A et l'instant correspondant.
4
z4 t
III27. Hystérésis de frottement, d’après X 1999.
Rappel de la loi du frottement solide.
L'action du solide B sur le solide A en contact se décompose en une composante
normale N
G
et une composante tangentielle
T
G
vérifiant :
NT s
G
G
µ≤ en l'absence de glissement entre A et B
NT d
G
G
µ= lorsqu'il y a glissement de A sur B.
µs et µd sont appelés coefficients de frottement respectivement statique et
dynamique et vérifient l'inégalité : .
sd µ≤µ
Une des difficultés conceptuelles majeures pour la description d'un système comportant du frottement solide est
l'impossibilité de prévoir les positions d'équilibre et le bilan des forces à moins de connaître de façon détaillée l'histoire
de la mise en équilibre. Le but de ce problème est d'illustrer ce phénomène d'hystérésis sur un exemple simple.
Une brique parallélépipédique de poids est en contact avec
une paroi solide inclinée d'un angle θ par rapport au plan horizontal
et est reliée à un ressort de raideur k (figure 1). Soit µ
mg
s le coefficient
de frottement statique ; on supposera pour simplifier que le
coefficient de frottement dynamique µd est nul et qu'un frottement
visqueux permet alors l'arrêt du mouvement à la position
d’équilibre sans frottement. On note x le raccourcissement du
ressort (x = 0 correspond au ressort détendu) et g la force qu’il
exerce sur la brique. On cherche à déterminer cette déformation x à
l'équilibre en fonction de l'angle θ. On note . /bm=gk
)
b−µθ+θ<<µ θ+θ
<θ
+
1
F
igure 1
1) On suppose d’abord, pour cette seule question, . Déterminer la position d’équilibre en fonction de et
.
0
s
µ= xθ
b2) On revient désormais au cas . Donner les plages de valeurs possibles de x à l'équilibre dans les cas : 0
s
µ>
2.a) ; 0θ=
2.b) ; /2θ=π
3) Montrer pour θ compris entre et qu’il y a équilibre si bx. 0/2π
()(
cossin cossin
ss
4) La paroi est primitivement horizontale et le ressort détendu (x0 = 0). On incline progressivement et très lentement
la paroi, l'angle θ variant de 0 à π/2. On note les angles où la brique se met à glisser et les valeurs de x où elle
s’arrête de glisser. Pendant ce glissement, l’angle n’a pratiquement pas varié.
i
+
θi x+
θ
4.a) La brique ne glisse pas sur la paroi tant que θ. Quand θ atteint θ (ou le dépasse d’un infiniment petit),
la brique glisse et s’arrête pour la valeur x de x. Déterminer l'angle d'inclinaison pour lequel le glissement
apparaît. Pour cet angle, déterminer la nouvelle valeur d'équilibre x en fonction de θ et b.
1
+1 +
1
+
θ1
+
1
+
4.b) On augmente l'angle d'inclinaison; un nouveau glissement apparaît pour l'angle . Établir la relation entre ,
et µ
+
θ2
+
θ1
+
θ2s.
4.c) Pour chaque il existe un intervalle
+
i
x
[
[
1
,
ii
++
+
θθ de non glissement ; écrire la relation de récurrence liant et
.
+
θi
+
+
θ1i
5) On effectue maintenant le parcours inverse en partant de la verticale. On note θet les angles successifs de
glissement et les positions d'équilibre correspondantes.
−
i
−
i
x
Problèmes de dynamique, sans énergie, page 2

5.a) Quelle équation détermine l’inclinaison pour laquelle a lieu le premier glissement ?
1
−
θ
5.b) Ecrire la relation de récurrence liant et .
i
−
θ1i
−
+
θ
5.c) Exprimer les valeurs d’arrêt après glissement en fonction de b et .
i
x−i
−
θ
Problèmes de dynamique, sans énergie, page 3
)
−
θ
z
6) Représenter qualitativement sur un même graphe où est porté en
abscisse et en ordonnée l’évolution de x et lorsqu’on fait croître θ de
à , puis décroître de à 0. On utilisera le fait que les points
,
()
,
()
et ( se situent sur des courbes
simples dont on précisera les équations. Ci-contre le résultat de la
commande maple :
θ
xθ
0/2π θ /2π
()
,
ii
x
++
θ1,i
ix
++
+
θ,
ii
x
−−
θ1,
ii
x
−
+
> plot([sin(x),sin(x)+0.3*cos(x),sin(x)-0.3*cos(x)],x=0..Pi/2);
IV13.
Dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, on repère un mobile P de masse m et de vecteur position
xy
rxu yu zu=++
 gu=− grâce à un repère cartésien Oxy . Ce mobile est pesant et la pesanteur est gzz
uu=
. L’air,
animé de la vitesse ux
− uniforme et constante, lui applique la force −λ
()
vu , où v désigne la vitesse de P. A
l’instant 0, on lance P de l’origine O avec la vitesse 00 0xx zz
vvuvu=+
. L’origine O est au sommet d’une montagne
de sorte que le mouvement n’est pas limité aux altitudes positives. On pose . /wmg=λ
1) Démontrer que le mouvement s’effectue dans le plan Oxz .
2) Déterminer les coordonnées de la vitesse en fonction du temps et des constantes du problème.
3) Déterminer les coordonnées de la position en fonction du temps et des constantes du problème.
4) Trouver l’équation paramétrée de l’asymptote de la trajectoire.
()()
fxtz==gt
>
w
5) Calculer la hauteur z du sommet de la trajectoire si v.
S00 z
6) Si , calculer le rapport de la hauteur atteinte à celle qui l’aurait été en l’absence de freinage par l’air.
0z
v=
V. À propos des avalanches, d’après centrale 2006.
A. Rôle des coefficients de frottement.
1) On considère un bloc de neige de masse m reposant sur un plan incliné
dont la pente est repérée par l’angle (figure 2). Le contact entre la neige et ce
plan, décrit par les lois de Coulomb sur le frottement, est caractérisé par des
coefficients de frottement statique et dynamique . On rappelle ces lois :
soit T la composante de la force exercée par un corps sur l’autre située dans le
plan tangent commun aux deux corps et la composante normale à ce plan
tangent ; s’il y a glissement,
α
s
µd µ
N
d
T ; s’il n’y a pas glissement,
N=µ s
T
N<µ ;
. On note g l’accélération de la pesanteur.
ds −
=µ ≤µ2 9, 8 m . s
Montrer que l’équilibre est possible tant que et exprimer l’angle
critiqueα. c
α≤α
c
2) La masse de neige en équilibre sur une pente d’angle α subit une légère
perturbation qui lui donne une vitesse initiale vu
c
0x
, v . Exprimer son accélération a en fonction de g, µ et .
00>s d
µ
3) Animée d’une vitesse v, la masse de neige arrive dans une région où l’angle α prend une valeur plus faible,
constante. À quelle condition portant sur le mouvement est-il ralenti puis stoppé ?
1α
4) Expliquer comment l’observation de nombreuses avalanches permet de déduire des valeurs numériques pour µ et
. s
d
µ

B. Modèle de frottement sur sol rugueux.
Lorsque l’avalanche rencontre dans sa course un sol rugueux, elle est soumise à de nouvelles forces de frottement
dont on étudie ici une modélisation (figure 3).
Problèmes de dynamique, sans énergie, page 4
=
La masse de neige en mouvement est assimilée à un
parallélépipède rectangle d’épaisseur d (selon ), de
longueur l (selon x) et de largeur L (selon ). Le
contact avec le sol s’effectue donc sur un rectangle d’aire
.
y
z
SLl
L’avalanche est formée de paquets de neige sphériques
de masse descendant la ligne de plus grande pente
avec une vitesse
0
m
x
vvu= . Ces blocs sont empilés en
couches distantes de b perpendiculairement à la pente.
Dans une couche donnée, parallèle au plan Oxz , les bl
sont en moyenne distants de a selo les directions x et
. Au niveau du sol, ils rencontrent des aspérités
assimilées à des cylindres de section circulaire et d’axe
parallèle à
(
, séparés d’une distance . Ces chocs, caractérisés par l’angle d’incidence i fixé, obéissent à la loi
suivante : le vecteur vitesse v
ocs
n
z
)
Oz r∆
du bloc a deux composantes, une composante normale au plan tangent commun au
bloc et à l’aspérité et une composante n
v
t
v située dans ce plan tangent ; après le choc t v est inchangé et est nul.
n
v
1) Un bloc se déplaçant selon avec une vitesse moyenne x v
, exprimer la fréquence
f
des chocs qu’il subit.
2) Quel est le nombre moyen de blocs dans la couche en contact avec le sol ?
1
N
3) Combien de chocs l’avalanche dans son ensemble subit-elle pendant dt ? On notera dN ce nombre.
4) Pendant un choc, un bloc subit un changement de quantité de mouvement 0
p∆ . Déterminer sa projection
sur l’axe 0x
p∆
x.
5) Soit x
PPu= la quantité de mouvement de l’avalanche. En déduire la variation de quantité de mouvement
causée par les chocs durant dt .
chocs
dP
6) En déduire que la force de frottement rugueux s’exerçant sur l’avalanche est 22
0
2
cos
rug x
mSv i
Fu
ar
=−∆
7) Soit m la masse totale de l’avalanche. Montrer que rug
F se met sous la forme 2
rug x
mgv
F
d
=−ξu
en donnant
l’expression du paramètre de rugosité en fonction de , , b et i. ξg r∆
8) Expliquer pourquoi dépend de la nature du sol sur lequel l’avalanche s’écoule. ξ
9) Un ou plusieurs paramètres du modèle pourraient dépendre de la vitesse, de sorte que ξ pourrait en dépendre
aussi. Lesquels selon vous ?
C. Dynamique de l’avalanche.
L’avalanche de masse et d’épaisseur d dévale désormais une pente d’angle sous les effets conjugués de son
poids, du frottement sec obéissant aux lois de Coulomb (partie A) et du frottement rugueux de la partie B décrit par la
relation de B.7. On rappelle que
mα
22
=1argth
du u
aa
au−
∫ et
()
th ln chudu u=
∫
.
1) Déterminer l’équation du mouvement selon sous la forme d’une équation différentielle pour . x
()
vt
2) Exprimer la vitesse limite atteinte par l’avalanche et la calculer numériquement pour , ,
et .
l
v35α=° 0, 3
d
µ=
2md=32 10 m.s− ξ=
3) Exprimer l’évolution de la vitesse de l’avalanche, avec la condition initiale . On éliminera α et
au profit de .
()
vt
()
0v=0
d
µl v
4) Déterminer la distance parcourue par l’avalanche depuis son point de départ.
()
xt
5) Application numérique : quelle distance l’avalanche a-t-elle parcourue lorsqu’elle atteint sa vitesse limite à 10 %
près ?

Réponses
I. 1.a) dv
mmg
dt =−αv
; 1.b)
(
)
[
] 1exp /vg ;1.d) v ; 1.e) vitesse limite ; 1.f) t=τ− −τ gt
()()
exp 1
t
xgt
⎡⎤
⎥
=τ+τ−−
⎢
τ
⎣⎦
; 1.g) 2
1
2
xgt ; 2.a)
2
dv
mmg
dt =−βv
; 2.b) une vitesse ; 2.e) vitesse limite; 2.f) v ; 2.h) gt
2
1
1
ln ch
v
xg =gt
v
; 2.i) 34
2
2
1
1
212
gt
xg ;
2.k)
tv −+
…
2
3
21
1
21, 1 4 . 1 0
13
2
xgt h
m
gt
−
−β
ε ;
2.l)
=−=−
2
12 21
11 2, 5 cm
3
h
xx mm
β⎛ ⎞
⎟
⎜
−−=
⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
.
v
t
0
1
v
II. 1) ; 2) Rm
2
zz=−ω
 2
()
z
g zu=−ω ; 3) ; 4) z ; 5) z ; 6)
M
za=−ma= =
002
g
a
ω= ;
7) ; 8) Le décollage se produit pour
211, 07 rad/sω=
()
32
1arccos g
t ; 9)
a
=−
ωω32
g
z; ou =ω33
sinza t=ωω
2
324
1g za a =ω−
ω
 ; 10) zt ; z ; 11)
33
0, 0276 m 0,102 s===
31, 416 m/s 3
43 0, 246 s
z
tt ;
g
=+ =
2
3
43 0, 130 m
2
z
zz g =+ =
.
III. 1) xb ; 2.a) sin=θs
x<µb++
=θ
cos sin sin
s++
µθ+θ=θ22 sinxb
++
=θ+
µθ+θ=θ
ossin
s−−
=µ θ+θ+
θ+θ=θi
−
) =θ
; 2.b) x ; 4.a) ; xb ;
4.b) − ; ; 4.c) − ;
5.a) 1c ; 5.b) µ ; 5.c) ; 6) les points
()
et
sont sur la courbe xb , les points
(
b=1
tan s
+
θ=µ 11 sin
22 1
+11
cos sin sin
si
ii
++
++
11 11
cos sin sin
si
ii
++
++ sin
i
xb
−
=θ,
ii
x
++
θ
(
,
ii
x
−−
θsin
)
1,i
ix
++
+
θ sont sur la courbe xb et les points
sont sur la courbe xb ; voir ci-contre.
()
sin cos
s
=θ−µθ
)
)
=θ+µ θ (
1, ii
x
−−
+
θ
(
sin cos
s
IV. 2)
()
()
0exp x
xv ; u tu
m
=−−+
λ
()
()
0exp z
zv ;
3)
w tw
m
=+ −−
λ
()
()()
01exp x
m
xv ; u t
m
=−−− +
λ
λut
()
()()
01exp z
mw twt
m
=+−− −
λ
λ
zv ;
4)
()
0x
m
xv et uu−+λt
()
0z
m
zvwwt+−λ ; 5)
()
00
ln 1
zz
S
mv mw v
z ;
6)
w
=−+
λλ
()
21 ln2 0,614
S
S
z
z=−=
′.
V.A. 1) ; 2) arctan
cs
α=µ 2
1
sd
s
ag ; 3) .
µ−µ
=+µ tan d α<µ
V.B. 1) /
f
vr=∆ ; 2) NS ; 3) dN ; 4) ∆ ; 5) dP .
2
1/a=N fdt=i=dN p=∆
12
00
cos
x
pp 0chocs x
V.C. 1) 2
sin cos
d
dv ; 2) v
g
dt d
⎛⎞
⎟
⎜
=α−µα− ⎟
⎜⎟
⎟
⎜
⎜ξ
⎝⎠
()
1
sin cos 25, 6 m. s
ld
vd ; 3)
−
=ξα−µα=th l
l
gv t
vv ;
4)
d
=ξ
ln ch l
dgvt
gd
⎛⎞ξ⎟
⎜
=⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
ξ=
x ; 5) x. 169 m
Problèmes de dynamique, sans énergie, page 5