Chapitre 9 : Terminale S Les fonctions trigonométriques Fiche d’objectifs du chapitre 9 SAVOIR 2016 - 2017 SAVOIR FAIRE Rappels de première Cosinus et sinus d’un réel Valeurs remarquables Savoir utiliser les formules de trigonométrie pour transformer une expression algébrique . Cosinus et sinus des angles associés Savoir résoudre des équations ou inéquations trigonométriques . Formules d’addition et de duplication Fonctions trigonométriques Parité et périodicité des fonctions cos et sin Savoir étudier une fonction faisant intervenir les fonctions cos et sin . Dérivée et variations des fonctions cos et sin , cos u et sin u . lim x 0 sin x cos x 1 et lim x 0 x x 1 I – Rappels de première : I . 1 Cosinus et sinus d’un réel : Définition : On se place dans un repère orthonormé O, i , j . On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1. A tout réel x on fait correspondre un réel M sur le cercle trigonométrique tel que i , OM x radians. On définit cos x comme étant l'abscisse du point M et sin x comme son ordonnée. Conséquences : x , 1 sin x 1 1 cos x 1 I . 2 . Valeurs remarquables : 6 4 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 0 1 2 2 2 3 2 1 angle 0 cos sin 2 sin 2 x cos 2 x 1 I . 3 Cosinus et sinus des angles associés : Pour tout réel x , on a : 1) Angles opposés : cos x cos x sin x sin x 2) Angles supplémentaires : cos x cos x sin x sin x 3) Angles différant de : cos x cos x sin x sin x cos 2 x sin x 4) Angles complémentaires : sin x cos x 2 I . 4 Formules d’addition : Formules d’addition a , b 1) cos a b cos a cos b sin a sin b 2) cos a b cos a cos b sin a sin b 3) sin a b sin a cos b cos a sin b 4) sin a b sin a cos b cos a sin b Formules de duplication a 1) cos 2a cos 2 a sin 2 a 2 cos 2 a 1 1 2sin 2 a 2) sin 2a 2 cos a sin a 1 cos 2a 3) cos 2 a 2 1 cos 2a 4) sin 2 a 2 3 I . 5 Résolution d’équations trigonométriques : a) Résolution de cos x = cos a : Résoudre dans l'équation cos x cos 6 b) Résolution de sin x = sin a : Résoudre dans ; l'équation sin x sin 5 2 4 II – Fonctions trigonométriques : II . 1 . Définition : Définitions : 1) La fonction cosinus , notée cos , est la fonction définie sur 2) La fonction sinus , notée sin , est la fonction définie sur par cos : x par sin : x cos x . sin x . II . 2 . Périodicité et parité : Définition : Soit f une fonction définie sur et un réel T . f est périodique de période T ( ou T - périodique ) si , x , f x T f x Propriété : Les fonctions cos et sin sont 2 - périodique : x , cos x 2 cos x sin x 2 sin x Remarques : Dans un repère , les courbes représentatives des fonctions cos et sin " se répètent " tous les 2 . Donc on va étudier ces deux fonctions sur un intervalle d'amplitude 2 . Définition : Soit f une fonction définie sur un ensemble D f symétrique par rapport à 0 . 1) f est paire si , x D f , f x f x 2) f est impaire si , x D f , f x f x Propriété : 1) La fonction cos est paire : x 1) La fonction sin est impaire : x , cos x cos x , sin x sin x Remarques : Dans un repère orthogonal : 1) la courbe représentative de la fonction cos est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées . 2) la courbe représentative de la fonction sin est symétrique par rapport à l'origine du repère . 3) On étudiera donc ces deux fonctions sur 0; , puis on " étendra sur la périodicité . 5 " en utilisant la parité , puis II . 3 . Dérivabilité et variations des fonctions cos et sin : Propriétés : ( admises ) 1) a) Les fonctions cos et sin sont continues et dérivables sur et sin' cos et cos' sin b) Si la fonction u est dérivable sur , alors les fonctions cos u et sin u sont dérivables sur et sin u ' u ' cos u et cos u ' u ' sin u 2) D'après le cercle trigonométrique , les tableaux de variations des fonctions cos et sin sur 0; sont : x 0 x variations de cos 0 variations de sin 3) Les courbes représentatives de cos et sin sont appelées des sinusoïdes : 6 II . 4 . Limites et taux d’accroissement : Propriété : sin x 1 x 0 x lim cos x 1 0 x 0 x lim Démonstration : 7