CHAPITRE A3 Nombre dérivé Tangente Dérivées et formules usuelles

CHAPITRE A3 – Nombre dérivé , Tangente , Dérivées et formules usuelles
1 NOMBRE DERIVE ET TANGENTE
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, C sa représentation graphique dans un repère du plan et A le point de C d'abscisse a.
11/ Nombre dérivé de f en a
M
f(a+h)
C
Soit h un réel non nul tel que a + h appartient à I et M point de C d'abscisse a + h.
f (a + h ) − f (a )
.
h
Ce rapport est appelé taux de variation de f entre a et a + h.
Ou encore : taux d'accroissement de f en a.
Le coefficient directeur de la droite ( AM ) est : r (h ) =
f(a)
A
O
a
a+h
r ( 0 ) n'existe pas, mais on s'intéresse à ce que devient r ( h ) lorsque h se rapproche de 0.
DEF
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soient a , h deux réels tel que a ∈ I, a + h ∈ I et h ≠ 0.
f (a + h ) − f (a )
Si r (h ) =
tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a.
h
Ce nombre est appelé nombre dérivé de f en a et se note f ‘ ( a ).
f (a + h ) − f (a )
On écrit : f ' (a ) = Lim
h →0
h
Exemple
2
Soit f la fonction définie sur par : f ( x ) = x + x . f est−elle dérivable en 1 ? Si oui, que vaut f ‘ ( 1 ) ?
2
Remarque : On a aussi : f ' (a ) = Lim
x →a
f (x ) − f (a )
f (x ) − f (a )
. Le nombre
tend vers f ' (a ) , quand x tend vers a.
x −a
x −a
12/ Interprétation graphique
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On note C sa courbe représentative.
Soit a un réel tel que a ∈ I. On considère A le point de C d’abscisse a .
On supposes que f est dérivable en a .
Soit h un réel non nul, tel que a + h ∈ I.
On note M le point de C d’abscisse a + h .
La droite ( AM ) admet pour coefficient directeur : m ( h ) =
KKKKKKK
KKKKKKK
C
A
O
a
Lorsque h se rapproche de 0,
la droite ( AM ) se rapproche de
la direction de la droite ( AM ) se rapproche de
le coefficient directeur de ( AM ) tend vers
KKKKKKK
= f ‘ ( a ).
h →0 KKKKKKK
Donc, le coefficient directeur de la ……………………………………………….. est égal à : Lim m(h ) = Lim
h →0
On retiendra : f ‘ ( a ) est le coefficient directeur de la tangente à C au point d’abscisse a .
On donne ci−dessous la courbe représentative C d'une fonction f définie sur [ − 4 , 8 ]. On considère les points A, B, C, D,
E, F et G d'abscisses respectives − 3 , − 2 , 0 , 2 , 3 , 4 et 7.
Les tangentes en ces points sont respectivement TA , TB , TC , TD , TE , TF et TG .
Exemple
Déterminer f ( − 3 ) , f ( − 2 ) , f ( 0 ) , f ( 2 ) ,
f ( 3 ) , f ( 4 ) et f ( 7 ).
TA
Déterminer f '( − 3 ) , f '( − 2 ) , f '( 0 ) ,
f '( 3 ) et f '( 4 ) .
On donne f '( 2 ) = 0 et f '( 7 ) = −
TE
y
5
4
F
B
2
.
3
A
G
TC
E
2
1
-3
TB
3
Tracer TD et TG .
-2
-1
0
TF
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8 x
-1
-2
-3
2/ FONCTIONS DERIVEES DES FONCTIONS USUELLES
21/ Définitions
DEF
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I, si f est dérivable en tout réel a de I.
f (a + h ) − f (a )
Autrement dit, si pour tout réel a de I, il existe un réel d fini tel que : Lim
=d.
h →0
h
Si f est dérivable sur I, on appelle fonction dérivée de f , et on note f ‘ , la fonction définie sur I, qui à tout réel a de I associe son
nombre dérivé f ' (a ) .
22/ Dérivées des fonctions usuelles ( m , p réels ) ( n entier )
Soit f la fonction
définie sur
par f ( x ) =
mx + p
1
x
2
p
3
x n ( avec n ≥ 1 )
4
x2
5
x3
6
*
*
1 (avec n ≥ 1 )
xn
1
x
f est dérivable
sur
et f ‘ ( x ) =
7
8
1
x2
9
x
10
sin x
11
cos x
12
*
+
Démonstrations
f (a + h ) − f (a ) KKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKK
=
=
= m.
h
h
h
f (a + h ) − f (a )
Donc , Lim
= f ' (a ) = ………. Par conséquent, f ‘ ( x ) = m pour tout x ∈ .
h →0
h
1) Soit a un réel.
2) & 3) Conséquences du cas général précédent.
4) Admise
5) Conséquence du cas général précédent. Mais, cela peut également être démontrer : Soit a un réel.
f (a + h ) − f (a ) KKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKK
=
=
= 2a + h.
h
h
h
f (a + h ) − f (a )
Donc , Lim
= f ' (a ) = …………. Par conséquent, f ‘ ( x ) = 2x pour tout x ∈ .
h →0
h
6) Conséquence du 4)
7) Admise
8) Conséquence du cas général précédent. Mais, cela peut également être démontrer : Soit a un réel.
K
K
KKKKKKK
f (a + h ) − f (a ) KKKKK KK KKKKKKK
KK
1
1
=
=
=−
× =−
a(a + h )
h
h
h
KKKKKK h
f (a + h ) − f (a )
Donc , Lim
= f ' (a ) = ………. Par conséquent, f ‘ ( x ) = − 12 pour tout x ∈ * .
h →0
h
x
9) Conséquence du 7)
10) Soit a un réel strictement positif.
f (a + h ) − f (a ) KKKKKKKKK
a+h + a
=
×
h
KKK
a+h + a
KKKKKKKK
=
h a+h + a
(
=
Donc , Lim
h →0
)
1
.
a+h + a
f (a + h ) − f (a )
+
= f ' (a ) = ……… . Par conséquent, f ‘ ( x ) = 1 pour tout x ∈ * .
h
2 x
11) & 12) Admises
3/ OPERATIONS SUR LES FONCTIONS DERIVABLES
31/ Dérivée d’une somme
TH
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un ensemble I. Alors, u + v est dérivable sur I et on a : (u + v )' = u '+v ' .
Exemples Soit f définie sur * par : f ( x ) = x 3 + 1 − 4x + 3 .
x
+
Soit f définie sur par : f ( x ) = x 4 + x + x − 5 .
32/ Dérivée d’un produit
TH
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un ensemble I. Alors, u × v est dérivable sur I et on a : (u × v )' = u ' v + u v ' .
En particulier, soit k une constante réelle. ku est dérivable sur I et on a : (ku )' = k × u '
( )
En particulier, u 2 est dérivable sur I et on a : u 2 ' = 2u ' u
Démonstration
Soit a un élément de I.
(uv )(a + h ) − (uv )(a ) = u (
h
=
et Lim
h →0
)× v (
) − u (a )v (a + h ) + u (a )v (a + h ) − u (
)× v (
h
u(
h
) − u (a ) × v (a + h ) + u (a ) × v (a + h ) − v (
)
h
(uv )(a + h ) − (uv )(a ) = (uv )' (a ) =
h
Exemples 1) f définie sur par : f ( x ) = 5x 2 − 3x + 2
(
3) f définie sur par : f ( x ) = 2 x 3 − 4x + sin x
)
)
(
(
8) f définie sur par : f (x ) = (3 x − 5)
2
5) f définie sur par : f ( x ) = 2x − 7x + 11
9
+
2
7) f définie sur par : f ( x ) = x + 1 x .
(
2) f définie sur par : f ( x ) = 10x 5 − 3x 3 + 5x 2 − cos x
4) f définie sur * par : f ( x ) = 5 x 2 − 3
4
x
6) f définie sur par : f ( x ) = (2x − 5 ) 7 − 5x 2
)
2
)
2
33/ Dérivée de l’inverse d’une fonction
TH
Soit v une fonction dérivable sur un ensemble I telle que v( x ) ≠ 0 , pour tout x dans I.
v'
Alors, 1 est dérivable sur I et on a : 1 ' = − 2 .
v
v
v
()
Démonstration
Soit a un élément de I.
(v1 )(a + h ) − (v1 )(a ) = v (a1+ h ) − v (1a ) = v (a )×v v(a(a) + h ) − v (av)(×av+(ah +) h ) = v (a ) − v (a + h ) × 1
h
h
=−
v (a + h ) − v (a )
1
×
.
h
v (a ) × v (a + h )
1 )(a + h ) − ( 1 )(a )
(
v ' (a )
v
v
D’où, Lim
=−
.
h →0
34/ Dérivée d’un quotient
h
v (a ) 2
h
v (a ) × v (a + h ) h
)
TH
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un ensemble I telle que v( x ) ≠ 0 , pour tout x dans I.
u' v − u v '
Alors, u est dérivable sur I et on a : u ' =
v
v
v2
k v'
En particulier, soit k une constante réelle. k est dérivable sur I et on a : k ' = − 2
v
v
v
()
()
Démonstration
u = u × 1 d’où  u  ' = u ' × 1  + u ×  1  ' = KK + u ×  − KKK  = KKKKKK
v
v
v2
v 
v 
 v  KK
 KK 
{}
{}
Exemples 1) Soit f la fonction définie sur \ 1 par : f ( x ) = 1 .
3
3x − 1
2) Soit f la fonction définie sur \ 7 par : f ( x ) = 5 .
4
7 − 4x
3) Soit f la fonction définie sur par : f ( x ) = 2 2 .
x +5
4) Soit f la fonction définie sur \ { 1 } par : f ( x ) = 8x + 3 .
x −1
3
x
+
5
5) Soit f la fonction définie sur par : f ( x ) = 2
.
x +1