CHAPITRE A3 Nombre dérivé Tangente Dérivées et formules usuelles

CHAPITRE A3 – Nombre dérivé , Tangente , Dérivées et formules usuelles
1 NOMBRE DERIVE ET TANGENTE
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, C sa représentation graphique dans un repère du plan et A le point de C d'abscisse a.
11/ Nombre dérivé de f en a
Soit h un réel non nul tel que a + h appartient à I et M point de C d'abscisse a + h.
Le coefficient directeur de la droite ( AM ) est :
( )
(
)
(
)
h
afhaf
hr −+ =.
Ce rapport est appelé taux de variation de f entre a et a + h.
Ou encore : taux d'accroissement de f en a.
r ( 0 ) n'existe pas, mais on s'intéresse à ce que devient r ( h ) lorsque h se rapproche de 0.
DEF
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soient a , h deux réels tel que a ∈ I, a + h ∈ I et h ≠ 0.
Si
( )
(
)
(
)
h
afhaf
hr −+ = tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a.
Ce nombre est appelé nombre dérivé de f en a et se note f ‘ ( a ).
On écrit :
( )
(
)
(
)
h
afhaf
Lima'f
h
−+
=
→0
Exemple Soit f la fonction définie sur  par :
( )
2
2
xx
xf + =. f est−elle dérivable en 1 ? Si oui, que vaut f ‘ ( 1 ) ?
Remarque : On a aussi :
( )
(
)
(
)
ax
afxf
Lima'f
ax
−
−
=
→
. Le nombre
(
)
(
)
ax
afxf
−
− tend vers
(
)
a'f , quand x tend vers a .
12/ Interprétation graphique
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On note C sa courbe représentative.
Soit a un réel tel que a ∈ I. On considère A le point de C d’abscisse a .
On supposes que f est dérivable en a .
Soit h un réel non nul, tel que a + h ∈ I .
On note M le point de C d’abscisse a + h .
La droite ( AM ) admet pour coefficient directeur : m ( h ) =
KKKKKKK
KKKKKKK
Lorsque h se rapproche de 0,
la droite ( AM ) se rapproche de
la direction de la droite ( AM ) se rapproche de
le coefficient directeur de ( AM ) tend vers
Donc, le coefficient directeur de la ……………………………………………….. est égal à :
(
)
=
→
hmLim
h0
=
→KKKKKKK
KKKKKKK
0h
Lim f ‘ ( a ).
On retiendra : f ‘ ( a ) est le coefficient directeur de la tangente à C au point d’abscisse a .
O
a
f ( a )
f ( a
+
h )
a
+
h
A
M
C
a
A
C
O

Exemple On donne ci−dessous la courbe représentative C d'une fonction f définie sur [ − 4 , 8 ]. On considère les points A, B, C, D,
E, F et G d'abscisses respectives − 3 , − 2 , 0 , 2 , 3 , 4 et 7.
Les tangentes en ces points sont respectivement T
A
, T
B
, T
C
, T
D
, T
E
, T
F
et T
G
.
 Déterminer f ( − 3 ) , f ( − 2 ) , f ( 0 ) , f ( 2 ) ,
f ( 3 ) , f ( 4 ) et f ( 7 ).
 Déterminer f '( − 3 ) , f '( − 2 ) , f '( 0 ) ,
f '( 3 ) et f '( 4 ) .
 On donne f '( 2 ) = 0 et f '( 7 ) = 3
2
−.
Tracer T
D
et T
G
.
2/ FONCTIONS DERIVEES DES FONCTIONS USUELLES
21/ Définitions
DEF
 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I, si f est dérivable en tout réel a de I.
Autrement dit, si pour tout réel a de I, il existe un réel d fini tel que :
(
)
(
)
d
h
afhaf
Lim
h
=
−+
→0.
 Si f est dérivable sur I, on appelle fonction dérivée de f , et on note f ‘ , la fonction définie sur I, qui à tout réel a de I associe son
nombre dérivé
(
)
a'f .
22/ Dérivées des fonctions usuelles ( m , p réels ) ( n entier )
Soit f la fonction
définie sur par f ( x ) = f est dérivable sur et f ‘ ( x ) =
p
mx
+
1
x
2
p
3
 n
x
( avec n ≥ 1 ) 4
 2
x
5
 3
x
6
* n
x
1 (avec n ≥ 1 ) 7
*
x
1 8
2 3 4 5 6 7 8-1-2-3
2
3
4
5
-1
-2
-3
0 1
1
x
y
T
A
T
B
T
C
T
E
T
F
A
B
C
D
E
F
G

* 2
1
x 9
+
x 10
x
sin
11
x
cos
12
Démonstrations 1) Soit a un réel.
(
)
(
)
===
−+
hhh
afhaf KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK m.
Donc ,
(
)
(
)
( )
==
−+
→a'f
h
afhaf
Lim
h0………. Par conséquent, f ‘ ( x ) = m pour tout x ∈  .
2) & 3) Conséquences du cas général précédent.
4) Admise
5) Conséquence du cas général précédent. Mais, cela peut également être démontrer : Soit a un réel.
(
)
(
)
===
−+
hhh
afhaf KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 2a + h.
Donc ,
(
)
(
)
( )
==
−+
→a'f
h
afhaf
Lim
h0…………. Par conséquent, f ‘ ( x ) = 2x pour tout x ∈  .
6) Conséquence du 4)
7) Admise
8) Conséquence du cas général précédent. Mais, cela peut également être démontrer : Soit a un réel.
( ) ( )
hhhh
afhaf 1
-
×−===
−+
KKKKKK
KK
KKKKKKK
KKKKKKK
KK
K
KKKKK
K
=
( )
haa +
−1
Donc ,
(
)
(
)
( )
==
−+
→
a'f
h
afhaf
Lim
h0
………. Par conséquent, f ‘ ( x ) =
2
1
x
− pour tout x ∈ * .
9) Conséquence du 7)
10) Soit a un réel strictement positif.
(
)
(
)
aha
aha
h
afhaf
++
++
×=
−+
KKK
KKKKKKKKK
( ) ahah ++
=KKKKKKKK
aha ++
=1.
Donc ,
(
)
(
)
( )
==
−+
→a'f
h
afhaf
Lim
h0 ……… . Par conséquent, f ‘ ( x ) = x2
1 pour tout x ∈ 
+
* .
11) & 12) Admises
3/ OPERATIONS SUR LES FONCTIONS DERIVABLES

31/ Dérivée d’une somme
TH
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un ensemble I. Alors, u + v est dérivable sur I et on a :
(
)
'v'u'vu +=+ .
Exemples  Soit f définie sur * par :
( )
34
1
3
+−+= x
x
xxf . Soit f définie sur
+
par :
(
)
5
4
−++= xxxxf .
32/ Dérivée d’un produit
TH
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un ensemble I. Alors, u × v est dérivable sur I et on a :
(
)
'vuv'u'vu +=× .
En particulier, soit k une constante réelle. ku est dérivable sur I et on a :
(
)
'uk'ku ×=
En particulier, u
2
est dérivable sur I et on a :
(
)
u'u'u 2
2
=
Démonstration Soit a un élément de I.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
h
vuhavauhavauvu
h
auvhauv
×
−
+
+
+
−
×
=
−
+
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
h
vhav
auhav
h
auu
−
+
×++×
−
=
et
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
==
−
+
→
a'uv
h
auvhauv
Lim
h0
Exemples 1) f définie sur par :
(
)
235
2
+−= xxxf 2) f définie sur par :
(
)
xcosxxxxf −+−=
235
5310
3) f définie sur par :
(
)
(
)
xsinxxxf +−= 42
3
4) f définie sur * par :
( )
(
)
x
xxf 3
4
5
2
−=
5) f définie sur par :
( )
91172
2
+−
=xx xf 6) f définie sur par :
(
)
(
)
(
)
2
5752 xxxf −−=
7) f définie sur
+
par :
(
)
(
)
xxxf 1
2
+= . 8) f définie sur par :
(
)
(
)
22
53 −= xxf
33/ Dérivée de l’inverse d’une fonction
TH
Soit v une fonction dérivable sur un ensemble I telle que
(
)
0 ≠xv , pour tout x dans I.
Alors,
v
1est dérivable sur I et on a :
(
)
2
1
v
'v
'
v−= .
Démonstration Soit a un élément de I.
(
)
( )
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
hhavav
havav
h
havav
hav
havav
av
h
avhav
h
a
v
ha
v1
11
11
×
+×
+−
=
+×
+
−
+×
=
−
+
=
−+
(
)
(
)
( ) ( ) havavh
avhav
+×
×
−
+
−= 1.
D’où,
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
2
0
11
av
a'v
h
a
v
ha
v
Lim
h−=
−+
→.
34/ Dérivée d’un quotient

TH
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un ensemble I telle que
(
)
0≠xv , pour tout x dans I.
Alors,
v
u
est dérivable sur I et on a :
(
)
2
v
'vuv'u
'
v
u
−
=
En particulier, soit k une constante réelle.
v
k est dérivable sur I et on a :
(
)
2
v
'vk
'
v
k−=
Démonstration
v
u
v
u
1
×= d’où
2
11
v
u'
v
u
v
'u'
v
uKKKKKK
KK
KKK
KK
KK
=
−×+=
×+ ×=
Exemples 1) Soit f la fonction définie sur \
{
}
3
1 par :
( )
1
3
1
−
=
x
xf .
2) Soit f la fonction définie sur \
{
}
4
7 par :
( )
x
xf
4
7
5
−
=.
3) Soit f la fonction définie sur par :
( )
5
2
2
+
=x xf .
4) Soit f la fonction définie sur \ { 1 } par :
( )
1
38
−
+
=
x
x
xf .
5) Soit f la fonction définie sur par :
( )
1
53
2
+
+
=x
x
xf .